LA DERIVADA DE UNA FUNCION. by Keybell Quiel

ORIGEN

keybell21 — 2022-06-27 18:55:28 UTC

Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a.c), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta veinte siglos después (en el siglo XVII por obra de Issac Newton y Gottfried Leibniz). En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron origen:
• El problema de la tangente a una curva
• El teorema de los extremos: máximos y mínimos. En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como calculo diferencial.

CONCEPTO

victoriamurillo4 — 2022-06-27 19:12:40 UTC

La derivada de una función matemática es la razón o velocidad de cambio de una función en un determinado punto. Es decir, qué tan rápido se está produciendo una variación. Desde una perspectiva geométrica, la derivada de una función es la pendiente de la recta tangente al punto donde se ubica x.

EJEMPLOS DE APLICACIÓN

ortega081127 — 2022-06-27 21:56:55 UTC

• Derivada parcial, supongamos que estamos sobre un puente y observamos como varía la concentración de peces con el tiempo exactamente. Estamos en una posición fija del espacio, por lo que se trata de una derivada parcial de la concentración con respecto al tiempo manteniendo fijas la posición en la dirección "x", "y" o "z".

ortega081127 — 2022-06-27 21:58:29 UTC

• Derivada substancial con respecto al tiempo, supongamos que vamos en una canoa a la que no se comunica energía, sino que simplemente flota. En este caso, la velocidad del observador es exactamente la misma que la velocidad de la corriente "v". Al referir la variación de la concentración de peces con respecto al tiempo, los números dependen de la velocidad local de la corriente. Esta derivada es una clase especial de derivada total con respecto al tiempo que se denomina <> o, a veces (más lógicamente) derivada siguiendo al movimiento.

ortega081127 — 2022-06-27 21:59:13 UTC

• Derivada total con respecto al tiempo, supongamos que nos movemos en una lancha a motor que se mueve en el río en todas direcciones, unas veces en contra de la corriente, otras a través y otras a favor. Al referir la variación de concentración de peces con el tiempo, los números que resultan han de reflejar también el movimiento de la lancha. La variación de la concentración con el tiempo corresponde a la derivada total.

PROPIEDADES

anthoni05 — 2022-06-27 22:45:25 UTC

Las propiedades básicas de la derivada son:

La derivada de una suma de funciones es la suma de sus derivadas. Es decir, la derivada de
f(x)+g(x)f(x)+g(x) es igual a
f
′(x)+
g
′(x)f′(x)+g′(x)

La derivada del producto de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la derivada de la función. Es decir:
(k⋅f(x)
)
′=k⋅
f
′(x)(k⋅f(x))′=k⋅f′(x)

Estas dos propiedades son muy útiles para determinar, por ejemplo, la derivada de un polinomio, ya que un polinomio no es otra cosa que una suma de monomios de la forma
a
x
naxn. Por ello, para hallar la derivada de cualquier polinomio es suficiente conocer las derivadas
x
nxn.

La derivada de un producto de funciones se calcula de la siguiente manera: si
h(x)=f(x)⋅g(x)h(x)=f(x)⋅g(x), su derivada es igual a
h
′(x)=
f
′(x)⋅g(x)+f(x)⋅
g
′(x)h′(x)=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)
La derivada de un cociente de funciones se calcula de la siguiente manera: si
h(x)=
f(x)
g(x)
h(x)=f(x)g(x), su derivada es igual a...
h
′(x)=

f
′(x)⋅g(x)−f(x)⋅
g
′(x)

g
2(x)
h′(x)=f′(x)⋅g(x)-f(x)⋅g′(x)g2(x)

La derivada de una composición de funciones se calcula con la denominada regla de la cadena: si
h(x)=(g∘f)(x))h(x)=(g∘f)(x)), entonces su derivada es igual a
h
′(x)=
g
′(f(x))⋅
f
′(x)h′(x)=g′(f(x))⋅f′(x)