Álgebra matricial by Judith Santos Teodoro

jstlpmx — 2021-05-24 15:26:54 UTC

Suma:
Existen distintos métodos, ya sea de manera algebraica o mediante el uso de geometría analítica

MÉTODO ALGEBRAICO

jstlpmx — 2021-05-24 15:28:22 UTC

Para sumar dos o más vectores se suman sus respectivas componentes de cada vector.

DATO IMPORTANTE.

jstlpmx — 2021-05-24 15:29:01 UTC

El método algebraico es conocido como método directo.
*Los métodos usando geometría analítica son conocidos como, el método del polígono, el método del triángulo y el método del paralelogramo se utilizan para la suma dos vectores.

jstlpmx — 2021-05-24 15:29:36 UTC

En caso de llevar a cabo la suma de dos vectores se usa la siguiente fórmula.

jstlpmx — 2021-05-24 15:29:57 UTC

Y se opera de esta manera:

MÉTODOS CON GEOMETRÍA ANALÍTICA.

jstlpmx — 2021-05-24 15:30:35 UTC

MÉTODO DEL TRIÁNGULO.
Para sumar dos vectores libres y se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo de uno coincida con el origen del otro vector.

jstlpmx — 2021-05-24 15:36:23 UTC

MÉTODO DEL PARALELOGRAMO.
Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.

jstlpmx — 2021-05-24 15:36:35 UTC

MÉTODO DEL POLÍGONO.
Consiste en colocar un vector a continuación del otro, de modo que el extremo de uno coincida con el origen del otro, y así sucesivamente, hasta colocar todos los vectores, la resultante será es aquel que va desde el inicio del primero al extremo del último vector.

PRODUCTOS.

jstlpmx — 2021-05-24 15:39:10 UTC

PRODUCTO PUNTO.
El producto punto de los vectores u = ⟨u₁, u₂, u₃⟩ y v = ⟨v₁, v₂, v₃⟩ viene dado por la suma de los productos de los componentes:

u ∙ v = u₁ v₁ + u₂ v₂ + u₃ v₃.

jstlpmx — 2021-05-24 21:18:41 UTC

(Recomendación)
Tenga en cuenta que, si u y v son vectores bidimensionales, calculamos su producto punto de manera similar. Por lo tanto, si u = ⟨u₁, u₂⟩ y v = ⟨v₁, v₂⟩, entonces

u ∙ v = u₁ v₁ + u₂ v₂.

¿Sabías qué?

jstlpmx — 2021-05-24 23:35:15 UTC

Cuando dos vectores se combinan bajo suma o resta, el resultado es un vector. Cuando dos vectores se combinan usando el producto punto, el resultado es un escalar. Por esta razón, al producto punto a menudo se llama producto escalar. También se le puede llamar el producto interno.

jstlpmx — 2021-05-24 23:45:28 UTC

EJEMPLO DE PRODUCTO PUNTO

jstlpmx — 2021-05-25 00:00:17 UTC

PRODUCTO POR ESCALAR.
El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

jstlpmx — 2021-05-25 00:27:03 UTC

jstlpmx — 2021-05-25 00:28:04 UTC

PROYECCIÓN.
El producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

jstlpmx — 2021-05-25 00:30:22 UTC

Propiedades del producto escalar.

jstlpmx — 2021-05-25 00:31:58 UTC

EJEMPLO.

jstlpmx — 2021-05-25 00:49:23 UTC

PRODUCTO CRUZ.
es una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional. El resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican, y por lo tanto normal al plano que los contiene.

jstlpmx — 2021-05-25 00:51:06 UTC

Propiedades del punto cruz.

jstlpmx — 2021-05-25 01:05:54 UTC

Estas propiedades se prueban mediante las propiedades de los determinantes. El vector u × v es perpendicular a los vectores u y v simultáneamente, y, por lo tanto, al plano que los contiene. Al igual que en la definición de un sistema de coordenadas derecho, el sentido del vector u × v está determinado por la regla de la mano derecha: al orientar los dedos de la mano derecha excepto el pulgar, desde el vector u hasta el vector v, el vector u × v apunta en la dirección del dedo pulgar.

jstlpmx — 2021-05-25 01:06:51 UTC

PRODUCTO TRIPLE.
Es una operación entre tres vectores que combina el producto escalar con el producto vectorial para obtener un resultado escalar. Se puede calcular también como el determinante de la matriz que se forma con las componentes de los vectores

jstlpmx — 2021-05-25 01:09:21 UTC

¿Cuál es la formula?

Para hallar una fórmula que permita calcular el valor del producto mixto a partir de las coordenadas de los vectores procedemos a realizar la sustitución del producto cruz.

Sean u, v, w ∈ R3 . El triple producto escalar se define por:

u · (v × w) = u · v × w =

u1(v2w3 − w2v3) − u2(v1w3 − w1v3) + u3(v1w2 − w1v2) =

jstlpmx — 2021-05-25 01:15:31 UTC

El producto mixto de los vectores es igual al producto escalar del primer vector por el producto vectorial de los otros dos. El producto mixto se representa por:

jstlpmx — 2021-05-25 01:16:18 UTC

El producto mixto de tres vectores es igual al determinante que tiene por filas las coordenadas de dichos vectores respecto a una base ortonormal.

jstlpmx — 2021-05-25 01:17:21 UTC

EJEMPLO.

¿QUÉ ES?

jstlpmx — 2021-05-25 01:30:25 UTC

Una determinante es una Notación matemática formada por una tabla cuadrada de números, u otros elementos, entre dos líneas verticales; el valor de la expresión se calcula mediante su desarrollo siguiendo ciertas reglas.

jstlpmx — 2021-05-25 02:02:07 UTC

NOTA.
Al determinante de una matriz cuadrada de orden n se le llama determinante de orden n.
(Se va a denotar por V1,V2,...,Vn , las filas de una matriz A en Mn ).

DIMENSIÓN 1x1

jstlpmx — 2021-05-25 02:08:39 UTC

Tiene la forma: A=(a)
El determinante de A es el único elemento de la matriz.

jstlpmx — 2021-05-25 02:10:21 UTC

Ejemplo:

DIMENSIÓN 2x2

jstlpmx — 2021-05-25 02:10:49 UTC

jstlpmx — 2021-05-25 02:12:27 UTC

Su determinante es:
Regla mnemotécnica: multiplicamos en las diagonales y las restamos.

jstlpmx — 2021-05-25 02:15:22 UTC

Ejemplo:

DIMENSIÓN 3x3

jstlpmx — 2021-05-25 02:15:54 UTC

Tiene la forma:

jstlpmx — 2021-05-25 02:19:01 UTC

Su determinante se calcula mediante la regla de Sarrus.

REGLA DE LAPLACE.

jstlpmx — 2021-05-25 02:32:31 UTC

Permite calcular el determinante de matrices cuadradas de cualquier dimensión, pero normalmente se utiliza para dimensión mayor que 3.

Versiones de la regla.

jstlpmx — 2021-05-25 02:33:20 UTC

Por fila:
Siendo aij los elementos de la fila i y Aij la que se obtiene al eliminar la fila i y la columna j a la matriz A.

jstlpmx — 2021-05-25 02:37:17 UTC

Ejemplo:

jstlpmx — 2021-05-25 02:39:29 UTC

Por columna:
El desarrollo por columnas es análogo. La fórmula para el desarrollo por la columna j es.

SEMBLANZA HISTÓRICA.

jstlpmx — 2021-05-26 12:49:51 UTC

El estudio de vectores y matrices es la médula del álgebra lineal. El estudio de vectores comenzó esencialmente con el trabajo del gran matemático irlandés sir William Hamilton (1805-1865). Su deseo de encontrar una forma de representar un cierto tipo de objetos en el plano y el espacio lo llevó a descubrir lo que él llamó cuaterniones. Esta noción condujo al desarrollo de lo que ahora se conoce como vectores.

¿QUÉ ES UN VECTOR?

jstlpmx — 2021-05-26 12:50:43 UTC

Es un segmento de recta dirigido que corresponde a un desplazamiento desde un punto A hasta otro punto B.

jstlpmx — 2021-05-26 15:40:17 UTC

Los vectores son matrices de un reglón o columna. Cada vector es un tipo especial de matriz. Así, por ejemplo, el vector reglón de n componentes (a1, a2,... an) es una matriz de 1x n, mientras que el vector columna de n componentes es una matriz de n x 1.

COMPONENTES DEL VECTOR

jstlpmx — 2021-05-26 15:57:01 UTC

En se denomina la primera componente del vector, x2 es la segunda componente, y así sucesivamente. En términos generales, xk se denomina la k-ésima componente del vector.

jstlpmx — 2021-05-26 17:21:14 UTC

jstlpmx — 2021-05-26 17:52:14 UTC

VECTOR RENGLÓN DE n COMPONENTES(VECTOR DIMENSIÓN n).

Un vector de n componentes se define como un conjunto ordenado de n números denominados escalares, escritos de la siguiente manera:

jstlpmx — 2021-05-26 17:55:19 UTC

jstlpmx — 2021-05-26 18:05:20 UTC

VECTOR COLUMNA DE n COMPONENTES( O VECTOR DE DE DIMENSIÓN n)
Es un conjunto ordenado de n números escritos de la siguiente manera:

jstlpmx — 2021-05-26 18:07:24 UTC

jstlpmx — 2021-05-26 18:07:38 UTC

VECTOR NULO O CERO.
Cualquier vector cuyos elementos sean todos cero se denomina vector cero. Juega el papel de elemento neutro para la suma de vectores. En cierto sentido es una anomalía pues no tiene dirección ni sentido.

jstlpmx — 2021-05-26 18:13:38 UTC

VECTOR UNITARIO.
Se trata de un vector de módulo = 1. En ciertas ocasiones, a los vectores unitarios también se les da el nombre de vector normalizado.

Por ello, el paso necesario para encontrar este tipo de vectores consiste en dividir un vector por su módulo.

Por lo tanto, si dividimos un vector por sí mismo, tendremos un vector unitario.

Al multiplicar un escalar por un vector unitario, el escalar dará la magnitud mientras que el vector unitario dará la dirección.

jstlpmx — 2021-05-26 18:17:59 UTC

El vector unitario tiene magnitud 1 y su dirección es paralela al eje.

jstlpmx — 2021-05-26 18:18:40 UTC

De igual manera los vectores unitarios tienen magnitud 1 y son paralelos a los ejes y y z, respectivamente.

jstlpmx — 2021-05-26 18:19:15 UTC

EJEMPLO.

MATRIZ DIAGONAL.

jstlpmx — 2021-05-26 18:24:58 UTC

Una matriz A=(aij)A=(aij) es diagonal cuando los elementos que no están en la diagonal son 0. Es decir, aij=0aij=0 si i≠ji≠j.
Ejemplo:
La matriz identidad es una matriz diagonal.

jstlpmx — 2021-05-26 18:28:02 UTC

Normalmente, las matrices diagonales se escriben indicando su diagonal. Por ejemplo, las matrices anteriores son:

jstlpmx — 2021-05-26 18:29:11 UTC

jstlpmx — 2021-05-26 18:29:59 UTC

MATRIZ BIDIAGONAL
*Una matriz AA es bidiagonal superior si sus todos los elementos por encima de la diagonal 1 y por debajo de la diagonal 0 son 0's.
Ejemplo.

jstlpmx — 2021-05-26 18:33:24 UTC

*Una matriz AA es bidiagonal inferior si sus todos los elementos por encima de la diagonal 0 y por debajo de la diagonal -1 son 0's.
Ejemplo.

jstlpmx — 2021-05-26 18:35:43 UTC

MATRIZ TRIDIAGONAL.
Una matriz AA es tridiagonal si sus todos los elementos por encima de la diagonal 1 y por debajo de la diagonal -1 son 0's.
Ejemplo.

NOTA.

jstlpmx — 2021-05-26 18:36:44 UTC

Las matrices diagonales, bidiagonales y tridiagonales son casos particulares de las matrices banda

MATRIZ TRIANGULAR

jstlpmx — 2021-05-26 18:38:50 UTC

Sea AA una matriz de dimensión mxn mxn,

Es una matriz triangular superior si tiene 0's por debajo de la diagonal, es decir, si aij=0aij=0 para i>ji>j.
Ejemplo.

jstlpmx — 2021-05-26 18:43:56 UTC

*Es una matriz triangular inferior si tiene 0's por encima de la diagonal, es decir, si aij=0aij=0 para iEjemplo.

MATRIZ SIMÉTRICA

jstlpmx — 2021-05-26 18:44:29 UTC

Una matriz AA es simétrica si es igual a su traspuesta, es decir, A=ATA=AT. Como consecuencia de la definición, la matriz AA tiene que ser cuadrada.
Ejemplo.

MATRIZ TRANSPUESTA.

jstlpmx — 2021-05-26 18:47:07 UTC

La matriz traspuesta de una matriz AA de dimensión mxn mxn es una matriz de dimensión nxm nxm que tiene por columnas a las filas de AA. Se denota como ATAT (o A′A′ si la matriz es real).
Ejemplo.

MATRIZ INVERSA.

jstlpmx — 2021-05-26 18:48:07 UTC

El producto de una matriz por su inversa es igual a la matriz identidad.

¿CÓMO SE CÁLCULA?

jstlpmx — 2021-05-26 18:50:02 UTC

Se calcula a través de los siguientes métodos.
El método de Gauss y el método por cálculo de determinantes.

jstlpmx — 2021-05-26 23:21:11 UTC

Ejemplo.

jstlpmx — 2021-05-26 23:27:51 UTC

Paso 1:Calculamos el determinante de la matriz.
En el caso que el determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa.

jstlpmx — 2021-05-26 23:30:05 UTC

Paso 2:° Hallamos la matriz adjunta.

Es aquella en la que cada elemento se sustituye por su adjunto.

jstlpmx — 2021-05-26 23:32:22 UTC

Paso 3:Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta.

jstlpmx — 2021-05-26 23:34:10 UTC

Paso 4: La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la matriz traspuesta de la adjunta.

MATRIZ NULA.

jstlpmx — 2021-05-26 23:34:44 UTC

Una Matriz Nula (Matriz Cero) es aquella matriz en la que todos sus valores son igual a 0

Un ejemplo de matriz nula es:

NOTA

jstlpmx — 2021-05-26 23:36:22 UTC

Una matriz cero es, al mismo tiempo, matriz simétrica, matriz anti simétrica, matriz nilpotente y matriz singular.

MATRIZ NILPOTENTE

jstlpmx — 2021-05-26 23:38:00 UTC

jstlpmx — 2021-05-27 00:15:25 UTC

Si es una matriz nilpotente entonces su determinante es cero. Que el determinante sea cero es una condición necesaria para ser una matriz nilpotente, aunque no es una condición suficiente.

jstlpmx — 2021-05-27 00:23:56 UTC

Ejemplo:

POTENCIA DE MATRICES.

jstlpmx — 2021-05-27 00:27:57 UTC

Sólo podemos calcular potencias de matrices cuadradas. Por ejemplo, la potencia A² es el producto de matrices A·A, lo que exige que A tiene que ser cuadrada.
Ejemplo.

MATRIZ CUADRADA

jstlpmx — 2021-05-27 00:56:45 UTC

Una matriz cuadrada es cuando tiene la misma cantidad de filas que de columnas. Formalmente, diremos que una matriz A es cuadrada si tiene n filas y n columnas, en este caso diremos que es de tamaño n. Escrito de forma exhaustiva, tenemos que:

jstlpmx — 2021-05-27 01:02:18 UTC

Las matrices cuadradas pueden tener distintos tamaños.
Ejemplos:
*Matriz cuadrada de tamaño 2x2.

jstlpmx — 2021-05-27 01:03:28 UTC

*Matriz cuadrada de tamaño , 3x3.

jstlpmx — 2021-05-27 01:05:27 UTC

*Matriz cuadrada de tamaño 4x4.

¿QUÉ ES UNA MATRIZ?

jstlpmx — 2021-05-27 13:36:52 UTC

Una matriz es una forma rectangular donde se ordenan los números reales mediante coordenadas reflejadas en los subíndices.
La dimensión de una matriz se representa como la multiplicación de la dimensión de la fila con la dimensión de la columna. Denominamos (m) para la dimensión de las filas y (n) para la dimensión de las columnas. Entonces, una matriz mxn tendrá m filas y n columnas.

SUMA DE MATRICES.

jstlpmx — 2021-05-27 13:41:13 UTC

Dadas dos o más matrices del mismo orden, el resultado de la suma es otra matriz del mismo orden cuyos elementos se obtienen como suma de los elementos colocados en el mismo lugar de las matrices sumadas

jstlpmx — 2021-05-27 13:50:37 UTC

¡Importante! La suma de matrices es conmutativa.

jstlpmx — 2021-05-27 13:51:11 UTC

Suma y restas de matrices (ambas deben ser del mismo tamaño) cantidad de renglones por columnas

NOTA

jstlpmx — 2021-05-27 13:51:27 UTC

Entrada es la posición en que se encuentra cada número.

jstlpmx — 2021-05-27 13:52:40 UTC

Ejemplo.

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ

jstlpmx — 2021-05-27 13:53:02 UTC

El resultado del producto de un escalar (un número real) por una matriz es una matriz con la misma dimensión. Dicha matriz se calcula multiplicando todas sus entradas por el escalar.

MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR.

jstlpmx — 2021-05-27 14:36:11 UTC

Una matriz la representamos con una letra del alfabeto en mayúscula (por ejemplo, A, B, C…), luego podemos explicitar sus elementos, para ello vamos a escribir sus números en una tabla que contendrá una determinada cantidad de filas y columnas.

jstlpmx — 2021-05-27 14:37:15 UTC

Una matriz es un arreglo regular de números en renglones y columna. Cuando trabajamos con matrices nos, referimos a los números reales como escalares. El termino multiplicación escalar se refiere al producto de números real por una matriz.

Tutorial de multiplicación de matrices

jstlpmx — 2021-05-27 14:38:14 UTC

https://www.youtube.com/watch?v=5jpvLtRlZtI

jstlpmx — 2021-05-27 14:39:10 UTC

Para obtener el producto matricial se debe considerar la multiplicación, es renglón por columna como se muestra a continuación.

DIVISIÓN

jstlpmx — 2021-05-27 14:40:19 UTC

La división de matrices se puede expresar como la multiplicación entre la matriz que iría en el numerador multiplicada por la matriz inversa que iría como denominador.

jstlpmx — 2021-05-27 14:41:09 UTC

También podemos dividir una matriz por un escalar z cualquiera. En este caso z=2.

jstlpmx — 2021-05-27 14:41:38 UTC

Cada elemento de la matriz queda dividido por el escalar z=2.

PROPIEDADES

jstlpmx — 2021-05-27 14:46:09 UTC

El determinante del producto de matrices es el producto de sus determinantes:

jstlpmx — 2021-05-27 14:47:38 UTC

El determinante de una matriz con alguna fila o columna de ceros es 0

Ejemplo.

jstlpmx — 2021-05-27 14:56:00 UTC

Se puede extraer factor común de una fila o columna multiplicando el determinante por el factor.

Ejemplo.
Extraemos el factor común 2 de la segunda fila:

jstlpmx — 2021-05-27 14:58:01 UTC

Se puede extraer el mismo factor común de n filas o columnas multiplicando el determinante por el factor elevado a n.

Esta propiedad es consecuencia de la propiedad anterior.
Extraemos el factor común 2 de la segunda y la tercera fila:

Ejemplo.

jstlpmx — 2021-05-27 15:15:43 UTC

Si se cambia el orden de una fila o de una columna, el determinante cambia de signo.

Ejemplo.
Cambiamos el orden de las filas segunda y tercera:

jstlpmx — 2021-05-27 15:17:12 UTC

Si se cambia el orden de

n filas o columnas, el determinante cambia de signo si n es impar.
Ejemplo.
Esta propiedad es una consecuencia de la propiedad anterior.

Cambiamos la primera fila por la segunda y, después, la segunda por la tercera. El determinante debe coincidir (número par de cambios):

jstlpmx — 2021-05-27 15:20:20 UTC

Si una matriz es invertible, el determinante de la inversa es el inverso del determinante:

jstlpmx — 2021-05-27 15:22:21 UTC

Ejemplo.

jstlpmx — 2021-05-27 15:24:14 UTC

El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta:

jstlpmx — 2021-05-27 15:24:55 UTC

Ejemplo.

jstlpmx — 2021-05-27 15:26:07 UTC

Si una matriz tiene filas o columnas linealmente dependientes, entonces su determinante es 0.

Ejemplo.
Las filas 2 y 3 de la matriz son múltiplos de la primera

jstlpmx — 2021-05-27 15:41:20 UTC

El determinante no cambia si se suman filas (o columnas) multiplicadas por números distintos de 0.

Ejemplo.
Hemos sumado 5 veces la fila 3 a la fila 1.

jstlpmx — 2021-05-27 15:44:37 UTC

El determinante de una matriz diagonal es el producto de los elementos de su diagonal.

Ejemplo.

jstlpmx — 2021-05-27 15:45:49 UTC

El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de su diagonal.

Ejemplo.