Alephcero_tablero by Diana Granados

Segunda actividad

octavioparedes25 — 2018-04-04 12:35:01 UTC

Equipo: Aleph cero
Participantes:

Arenas Hernández Karen Marlene
González Chavez Nancy Yvette
Granados Romero Diana
Márquez Piñón Lizbeth
Paredes Rivera Octavio

Función a analizar:
x³ -6x² + 3x+10=0

1. Paso: Dominio de la función

octavioparedes25 — 2018-04-04 12:44:32 UTC

Con base al concepto de dominio, encontramos que la función x³ -6x² + 3x+10=0se encuentra en todos los reales.

"x" puede tomar cualquier valor del conjunto de todos los reales.
Dom= ( -∞, ∞ )

Material de ayuda:

9.1Paso: Gráfica.

nancy120500 — 2018-04-04 12:44:40 UTC

Con la aplicación de Fooplot, pudimos graficar de manera mas eficiente y exacta nuestra ecuación.
Finalmente se determina el rango de la función.

2. Paso: Obtener la primera derivada

lpinonm — 2018-04-04 12:47:30 UTC

Para obtenerla, se siguen las formulas generales establecidas a partir del concepto de Límites con incremento, para el caso de nuestra ecuación, nos encontramos con la formula
dy/dx xⁿ = nx^n-1

y dado las propiedades de las derivadas, podemos derivar por partes, es decir, cada uno de los componentes de la función .
Una vez establecido esto, nuestra derivada es:

3. Paso: Obtener la segunda derivada

lpinonm — 2018-04-04 12:48:09 UTC

Con base a la primera derivada obtenemos la segunda derivada con la finalidad de sacar su ritmo de crecimiento (positivo si cada vez crece o decrece más y negativo si cada vez crece o decrece menos) de la función.

f"(x)= 6x-12

4. Puntos críticos

lpinonm — 2018-04-04 12:49:12 UTC

Es cualquier valor en el dominio en donde la función no es diferenciable o cuando su derivada es 0. En otras palabras, cuando la tangente es horizontal.

Para hallarlas:
1. Tenemos que igualar a cero la primera derivada.
2. Hallar los valores de "x" ya sea por factorización o por la ecuación general sea el caso dado.

5. Paso: Función creciente y decreciente

lpinonm — 2018-04-04 12:49:38 UTC

A partir de los puntos críticos, y con ayuda del dominio, ambos establecidos en el primer paso y cuarto, podemos establecer una recta en la cual se ubicarán los puntos críticos con el fin de obtener lo intervalos en los cuales se encuentra donde crece y donde decrece.

Se dice que una función crece cuando la gráfica va hacia arriba, es decir va hacia el eje positivo de las y, de izquierda a derecha. Decrece si la función va hacia abajo, es decir, va hacia el lado negativo de la función, de izquierda a derecha.

Material de ayuda:

6. Paso: Puntos de inflexión

lpinonm — 2018-04-04 12:50:00 UTC

Un punto de inflexión es aquel en donde la gráfica cambia de concavidad, es decir, la curva atraviesa la tangente de la recta.

Para encontrar este punto se necesita primero encontrar la primera derivada (que se explico en el segundo paso), y despues volver a derivar, esta derivada, el resultado va a ser la segunda derivada: f''(x).
Al momento de igualar esta derivada a cero, nos va a llevar al punto exacto en donde la concavidad cambia. Tenemos que resolver la ecuación y encontrar x para f''(0), una vez encontrada, tenemos que evaluar la segunda derivada en puntos antes y después de este valor encontrado, en general, si un resultado es mayor a cero, se dice que tiene un mínimo y su el resultado es menor a cero se dice que es un máximo.

Para nuestra ecuación, se calcularon estos, y se adjunta una imagen. el resultado nos dice que solo existe un punto de inflexión, que es igual a 2

Material de ayuda:

7. Paso: Concavidad

lpinonm — 2018-04-04 12:50:20 UTC

Es la característica de una curva en el entorno de un punto en el que la tangente no la atraviesa. Se dice que dicha curva, en el punto dado, presenta una concavidad hacia el lado donde no se encuentra la tangente.

Es el doblez de la gráfica de una función. La concavidad se toma positiva si el doblez es hacia arriba y negativa si el doblez es hacia abajo.
Para obtenerla:
1. Debemos de tomar como punto de referencia nuestro punto de inflexión, en nuestro caso x=2.
2. Se toma la segunda derivada y a "x" le damos dos valores uno menor que 2 y otro mayor que éste. (n₁<2₂)
Si f"(-) = cóncava
si f" (+) = convexa
Teniendo como resultado:
f"(1)= -6<0, cóncavo
f"(3)= 6>0, covexa

8 Paso: Puntos principales de la funciónen (x,y)

lpinonm — 2018-04-04 12:50:35 UTC

Se realizará una tabla con dos columnas, una de ellas que tenga el eje 'x' y la otra el eje 'y'.
En la columna del eje 'x' se reemplazarán los valores ya anteriormente obtenidos en el punto 4 y 6, es decir los 2 puntos críticos y el punto de inflexión; estos serán puestos en la función original para encontrar los valores del eje 'y'.
Para obtener una mayor precisión se harán 'cortes o intersecciones con el eje y' que se logrará obteniendo x=0 en la función original.
Luego se harán los 'cortes o intersecciones en el eje x' donde y=0 en la función original.

6.1 Paso: Puntos de inflexión

octavioparedes25 — 2018-04-04 13:19:43 UTC

Para nuestra ecuación, se calcularon estos, y se adjunta una imagen, el resultado nos dice que solo existe un punto de inflexión, que es igual a 2

5.1 Función creciente y decreciente

kirishima_zen_dgr — 2018-04-04 13:31:10 UTC

Aquí se muestra la recta que representa el dominio de nuestra función, ubicando los puntos críticos, dividiéndola en tres intervalos. De los cuales tomamos valores antes y valores después, evaluándola en los mismos.
Obteniendo:
f(-1) = 18
f(1)=-6
f(4)=3
Por lo que podemos decir que en x=0.27 hay un máximo y en x=3.73 existe un mínimo.

8.1 Intersecciones con eje x

kirishima_zen_dgr — 2018-04-05 23:13:46 UTC

Por división sintética para obtener las raíces del polinomio:

8.2 Intersecciones con eje x

kirishima_zen_dgr — 2018-04-05 23:17:21 UTC

Por lo tanto existe raíz en x=-1, x=2 y en x=5

9. Paso: Gráfica

kirishima_zen_dgr — 2018-04-06 00:33:48 UTC

Con los puntos críticos y las raíces del polinomio construimos nuestra gráfica: