CollatzFractal

잎의 일부분을 확대해보면 전체와 동일한 모양이 계속적으로 반복되기 때문이다.

이처럼 부분의 모양이 전체의 모양을 닮는 자기유사성(self-similarity)을 가지면서 동일한 모양이 한없이 반복되는 순환성(recursiveness)을 보일 때, 이를 ‘프랙탈(fractal)’이라고 한다.

양치류의 잎 이외에도 자연에서는 프랙탈의 예를 다양하게 찾아볼 수 있다.

움푹 들어간 해안선 안에 또 굴곡진 해안선이 반복되는 리아스식 해안선, 큰 번개 줄기에서 작은 번개 줄기가 갈라져 나오고 또 더 작은 번개가 갈라져 나오는 번개, 그리고 눈(雪)의 결정도 프랙탈 모양이다.

이런 측면에서 프랙탈을 ‘자연의 기하(geometry of nature)’라고 부르기도 한다.

자신의 작은 부분에 자신과 닮은 모습이 나타나고 그 안의 작은 부분에도 자신과 닮은 모습이 무한히 반복되어 나타나는 프랙탈 구조 현상은 우리 주변의 많은 것들에서 쉽게 발견할 수 있습니다. 이러한 프랙탈 구조는 자연에서 쉽게 찾을 수 있는데요. 고사리와 같은 양치류 식물, 공작의 깃털 무늬, 구름과 산, 너울이 밀려오는 해안선의 모양, 은하의 신비스러운 모습, 번개의 궤적, 눈송이의 구조, 인체의 혈관과 신경조직, 폐 등이 모두 프랙탈 구조입니다.

오른쪽 그림과 같이 전체와 부분이 똑같은 형태가 무한히 반복되는 구조를 '프랙탈(fractal)'이라고 한다. 즉 프랙탈 도형이란 도형의 부분의 모양이 전체의 모양과 같거나 닮은 도형을 말한다.

프랙탈이라는 말은 라틴어인 '프랙터스(fraetus)'에서 따온 것으로 '부서진 상태'라는 뜻을 가지고 있다. 이와 같이 프랙탈의 구조는 어느 한 부분을 확대해서 보아도 그 구조가 바뀌지 않고 언제나 전체의 모양과 같은 모양을 유지한다.

또한 그 모양을 무한히 확대하여도 무한히 반복이 되는 특징이 있다.

그렇다고 2차원이라고 하기엔 평면은 아니기 때문에 2차원보다는 낮은 차원이라고 생각할수있다.

1차원과 2차원의 중간지점인 새로운차원의 개념을 도입했는데 바로 프랙탈 차원이다

프랙털(Fractal)이라는 용어는 1975년 브누아 망델브로(Benoit Mandelbrot)의 The Fractal Geometry of Nature에서 처음으로 이 단어를 사용하면서 명명되었다. 다만 프랙털의 개념 자체는 이전부터 인지되고 있었다. 예를 들면 카를 바이어슈트라스가 제시한 전구간 미분불능 연속함수는 프랙털의 성질을 보이고 있으며, 더 거슬러 올라가면 야코프 베르누이가 로그함수를 극좌표로 표현하면 자기유사성을 띠는 나선이 됨을 발견한 것이 있다.

그리고 어원은 '부서진'이라는 뜻의 라틴어 fractus에서 유래했다.

또한 프랙털 이론에서는 차원을 정의하는 방식을 달리하여 정수가 아닌 차원까지 생각할 수 있는데, 이를 하우스도르프 차원이라고 한다.