Dizemos que um conjunto G ≠ Ø munido de uma operação (×) é grupo se forem satisfeitas três propriedades:

·         Associativa

( a × b ) × c = a × ( b × c )

Não importa a ordem em que opera os elementos o resultado sempre será o mesmo

·         ∃ do elemento neutro (e)

·         O elemento neutro (e) no conjunto é o elemento que satisfaz a seguinte propriedade: e operado com qualquer elemento do conjunto é igual ao próprio elemento.

e × a = a × e

·         ∃ de simétrico de a^-1

·         Qualquer elemento (a) que você tiver no conjunto, vai existir o simétrico (a^-1) e esse simétrico vai satisfizer a seguinte propriedade:

a × a^-1 = e = a^-1 × a

a operado com o simétrico (a^-1) vai resultar no elemento neutro (e), independente de qual lado é operado.

 

Se um certo conjunto munido com a operação (×) satisfazer essas três propriedades você tem um grupo.

Existe uma estrutura ainda maior chamado Grupo Abeliano, é um grupo onde a propriedade * é conotativa onde a × b = b × a, isso é para quaisquer ∀ a, b ∈ G

            Para termos um subgrupo precisamos verificar se é diferente de vazio (Ø)  e se está contido no conjunto G.

Dizemos que Ø ≠ H ⊂ G é um subgrupo de G, se (H, ×) é um grupo.

·         Se H for diferente de vazio

H ≠ Ø

·         Se pegar dois elementos quaisquer ( h₁ , h₂ ∈ H) deve mostrar que h₁ operado com o simétrico de h₂^-1  pertence a H

h₁× h₂^-1  ∈ H

Observe que o elemento simétrico ( h₂^-1 ) sempre vai existir.