1654'te, arkadaşı Şövalye de Méré'nin teşvikiyle Pascal, kumar problemleri konusunda Pierre de Fermat ile yazıştı ve bu işbirliğinden matematiksel olasılık teorisi doğdu . ^{[ 22 ]} Belirli problem, bir oyunu erken bitirmek isteyen ve oyunun mevcut koşulları göz önüne alındığında, her birinin o noktadan itibaren oyunu kazanma şansına göre bahisleri adil bir şekilde bölmek isteyen iki oyuncudan oluşuyordu. Bu tartışmadan, beklenen değer kavramı ortaya çıktı. John Ross, "Olasılık teorisi ve onu izleyen keşifler, belirsizliğe, riske, karar almaya ve bir bireyin ve toplumun gelecekteki olayların gidişatını etkileme yeteneğine bakış açımızı değiştirdi." diye yazıyor. ^{[ 23 ]} Pascal, Pensées'de Tanrı'ya ve erdemli bir hayata olan inancını haklı çıkarmak için olasılıkçı bir argüman olan Pascal'ın bahsini kullandı . Ancak, Pascal ve Fermat, olasılık teorisinde önemli erken çalışmalar yapmalarına rağmen , alanı çok fazla geliştirmediler. Konuyu Pascal ve Fermat arasındaki yazışmalardan öğrenen Christiaan Huygens , konu hakkında ilk kitabı yazdı. Teorinin gelişimini sürdüren sonraki isimler arasında Abraham de Moivre ve Pierre-Simon Laplace yer alır . Fermat ve Pascal'ın olasılıklar hesabına yaptığı çalışmalar, Leibniz'in hesabın formülasyonu için önemli bir temel oluşturdu . ^{[ 24 ]}

Aritmetik Üçgen Üzerine İnceleme

Ana madde: Pascal üçgeni

Pascal üçgeni. Her sayı, hemen üstündeki iki sayının toplamıdır. Üçgen, binom katsayılarını göstermenin yanı sıra birçok matematiksel özelliği de gösterir.

Pascal'ın 1654'te yazılan ancak ölümünden sonra 1665'te yayınlanan Traité du triangle arithmétique adlı eseri , aritmetik üçgen adını verdiği, ancak günümüzde Pascal üçgeni olarak adlandırılan iki terimli katsayılar için kullanışlı bir tablo sunumunu tanımlamıştır . ^{[ 25 ] [ 26 ]} Üçgen ayrıca şu şekilde de gösterilebilir:

Ana madde: Pascal üçgeni

Pascal üçgeni. Her sayı, hemen üstündeki iki sayının toplamıdır. Üçgen, binom katsayılarını göstermenin yanı sıra birçok matematiksel özelliği de gösterir.

Pascal'ın 1654'te yazılan ancak ölümünden sonra 1665'te yayınlanan Traité du triangle arithmétique adlı eseri , aritmetik üçgen adını verdiği, ancak günümüzde Pascal üçgeni olarak adlandırılan iki terimli katsayılar için kullanışlı bir tablo sunumunu tanımlamıştır . ^{[ 25 ] [ 26 ]} Üçgen ayrıca şu şekilde de gösterilebilir:

01234560111111111234562136101531410204151551661

Üçgendeki sayıları özyinelemeyle tanımladı : ( m  + 1)inci satır ve ( n  + 1)inci sütundaki sayıya t _mn diyelim . O zaman t _mn  =  t _{m –1, n}  +  t _{m , n –1} , m  = 0, 1, 2, ... ve n  = 0, 1, 2, ... için. Sınır koşulları t _{m ,-1}  = 0, t _{−1, n} = 0 , m  = 1, 2, 3, ... ve n = 1, 2, 3, ...  için  . Üreteç t ₀₀  = 1. Pascal ispatla sonuca vardı,

TMN=(M+N)(M+N−1)⋯(M+1)N(N−1)⋯1.

Pascal, aynı incelemede matematiksel tümevarım ilkesinin açık bir ifadesini vermiştir . ^{[ 25 ]} 1654'te, p = 0, 1, 2, ..., k için ilk n pozitif tam sayının p'inci kuvvetlerinin toplamlarını ilişkilendiren Pascal özdeşliğini kanıtlamıştır . ^{[ 27 ]}

Aynı yıl Pascal dini bir deneyim yaşadı ve matematik alanındaki çalışmalarını büyük ölçüde bıraktı.

Pascal'ın sikloidi incelemesi , Augustin Pajou , 1785, Louvre

1658'de, Pascal diş ağrısı çekerken sikloid ile ilgili birkaç sorunu düşünmeye başladı. Diş ağrısı geçti ve bunu araştırmasına devam etmesi için gökten gelen bir işaret olarak aldı. Sekiz gün sonra makalesini tamamladı ^{[ 28 ]} ve sonuçları duyurmak için bir yarışma önerdi ^{[ 29 ]}

Pascal, sikloidin ağırlık merkezi , alanı ve hacmi ile ilgili üç soru önerdi ve kazanan veya kazananlar 20 ve 40 İspanyol dublonu ödül alacaktı . Pascal, Gilles de Roberval ve Pierre de Carcavi jüriydi ve her iki başvuru da ( John Wallis ve Antoine de Lalouvère tarafından ) yeterli bulunmadı. ^{[ 30 ]} Yarışma devam ederken Christopher Wren , Pascal'a sikloidin düzeltilmesinin kanıtı için bir teklif gönderdi ; Roberval derhal kanıtı yıllardır bildiğini iddia etti. Wallis, Wren'in kanıtını (Wren'e atıfta bulunarak) Wallis'in Tractus Duo'sunda yayınladı ve Wren'e ilk yayınlanan kanıt için öncelik verdi.

(Açıkça iddia edilen) Pascal'ın fıçı deneyinin bir çizimi

Pascal, fizikteki birçok alana katkıda bulunmuştur, en dikkat çekeni akışkan mekaniği ve basınç alanlarıdır. Bilimsel katkılarının şerefine, Pascal ismi basınç birimi SI'ye ve Pascal yasasına (hidrostatiğin önemli bir ilkesi) verilmiştir . Sürekli hareket makinesi arayışında ilkel bir rulet biçimi ve rulet çarkı ortaya koymuştur . ^{[ 31 ]}

Hidrodinamik ve hidrostatik alanlarındaki çalışmaları hidrolik sıvıların prensiplerine odaklanmıştır . İcatları arasında hidrolik pres (kuvveti çoğaltmak için hidrolik basınç kullanma) ve şırınga yer almaktadır. Hidrostatik basıncın sıvının ağırlığına değil, yükseklik farkına bağlı olduğunu kanıtlamıştır. Bu prensibi, suyla dolu bir varile ince bir tüp bağlayarak ve tüpü bir binanın üçüncü katının seviyesine kadar suyla doldurarak göstermiştir. Bu, Pascal'ın varil deneyi olarak bilinen şeyde varilin sızdırmasına neden olmuştur .

1647'de Pascal, Evangelista Torricelli'nin barometrelerle ilgili deneylerini öğrenmişti . Civa dolu bir tüpü ters çevirerek bir kase cıvaya yerleştirmeyi içeren bir deneyi tekrarladıktan sonra Pascal, tüpte biraz cıva tutan kuvvetin ne olduğunu ve tüpteki cıvanın üstündeki boşluğu neyin doldurduğunu sorguladı. O zamanlar, Descartes da dahil olmak üzere çoğu bilim insanı, bir boşluk yerine bir plenuma, yani tüm uzayı dolduran görünmez bir maddeye inanıyordu (" Doğa boşluktan nefret eder "). Bu, hareket halindeki her şeyin başka bir madde tarafından hareket ettirilen bir madde olduğu yönündeki Aristotelesçi düşünceye dayanıyordu. ^{[ 32 ]} Dahası, ışık cam tüpten geçiyordu ve bu da vakum yerine eter gibi bir maddenin boşluğu doldurduğunu gösteriyordu.

Bu damarda daha fazla deney yaptıktan sonra, Pascal 1647'de Experiences nouvelles touchant le vide ("Vakumla yeni deneyler") adlı eserini üretti. Bu eser, çeşitli sıvıların hava basıncıyla ne ölçüde desteklenebileceğini açıklayan temel kuralları ayrıntılı olarak açıklıyordu. Ayrıca, bir barometre tüpündeki sıvı sütununun üzerinde neden gerçekten bir vakum olduğunun nedenlerini de sağladı. Bu eseri, 1648'de yayınlanan Récit de la grande expérience de l'équilibre des liqueurs ("Sıvılarda denge üzerine büyük deneyin hesabı") izledi .

Pascal ayrıca bir tanım teorisi geliştirmek için De l'Esprit géométrique'i kullandı . Yazar tarafından tanımlanan geleneksel etiketler olan tanımlar ile dilin içinde olan ve herkes tarafından anlaşılan, çünkü doğal olarak referanslarını belirten tanımlar arasında ayrım yaptı. İkinci tür, özcülük felsefesinin karakteristiği olurdu. Pascal, yalnızca ilk türdeki tanımların bilim ve matematik için önemli olduğunu iddia etti ve bu alanların Descartes tarafından formüle edilen biçimcilik felsefesini benimsemesi gerektiğini savundu .

De l'Art de convincer ("İkna Sanatı Üzerine") adlı eserinde Pascal, geometrinin aksiyomatik yöntemini , özellikle de insanların daha sonraki sonuçların dayandığı aksiyomlara nasıl ikna oldukları sorusunu daha derinlemesine inceledi. Pascal, bu aksiyomlarda ve sonuçlarda insan yöntemleriyle kesinliğe ulaşmanın imkansız olduğu konusunda Montaigne ile aynı fikirdeydi . Bu ilkelerin yalnızca sezgi yoluyla kavranabileceğini ve bu gerçeğin hakikatleri ararken Tanrı'ya teslim olma gerekliliğini vurguladığını ileri sürdü

Aniden Pascal evinde savaş çıktı. Blaise, Jacqueline'e gitmemesi için yalvardı ama o kararlıydı. Ona kalmasını emretti ama o da işe yaramadı. Bunun merkezinde... Blaise'in terk edilme korkusu vardı... Jacqueline Port-Royal'e girerse mirasını geride bırakmak zorunda kalacaktı... [ama] hiçbir şey fikrini değiştirmeyecekti. ^{[ 39 ]}

Ekim 1651'in sonuna doğru, kardeşler arasında bir ateşkes sağlandı. Jacqueline, sağlıklı bir yıllık maaş karşılığında mirasının kendi payını kardeşine devretti. Gilberte'e mirası çeyiz olarak çoktan verilmişti. Ocak ayının başlarında, Jacqueline Port-Royal'e gitti. O gün, Gilberte'in kardeşiyle ilgili olarak söylediğine göre, "Küçük salonda bekleyen Jacqueline'i görmeden, çok üzgün bir şekilde odasına çekildi..." ^{[ 40 ]} Haziran 1653'ün başlarında, Jacqueline'in bitmek bilmeyen tacizlerinden sonra, Pascal kız kardeşinin mirasının tamamını resmen Port-Royal'e devretti; ona göre, "bir tarikat gibi kokmaya başlamıştı." ^{[ 41 ]} Babasının mirasının üçte ikisi artık gitmişken, 29 yaşındaki Pascal artık nazik bir yoksulluğa mahkûmdu.

Pascal bir süre bekar hayatı yaşadı. 1654'te Port-Royal'daki kız kardeşini ziyaretleri sırasında dünya işlerine karşı küçümseme gösterdi ama Tanrı'ya çekilmedi. ^{[ 42 ]}