-주제를 선정한 이유에 대해 예시처럼 +버튼을 눌러 작성합니다.

-주제선정이유: ******

주제선정이유: 평소에 천문학에 대하여 관심이 많고 자료를 찾아보던 중 뉴턴이 우주에서의 물체의 운동 계산에 연관이 되어 있다는 것을 알고 관심이 생겼기 때문이다.

주제선정이유: 복소수와 복소평면은 전기공학에서 주파수 응답을 분석하는데 중요한 도구로 사용되고 복소수의 표현력,복소평면의 활용,주파수 응답 분석으로 전기공학에서 주파수 응답을 분석하고 이해하는데 필수적인 도구로 사용되여서 주제로 선정하게 되었습니다.

주제선정이유:

지금 학생들은 고등학교 공부라는 범주 안에서 미분을 배우고 있다.

미분을 오직 수능공부라고만 생각하고 있기 때문에 당연히 흥미가 떨어질 수 밖에 없는 것이다. 그러므로 우리가 지금 배우는 미분이, 어떻게 더 심화되어 세상의 다양한 분야에 쓰일 수 있는지 알아보고싶었다

주제선정이유: 수학1 수업 중에 선생님께서 피보나치 수열에 대해 언급하신 적이 있는데, 피보나치 수열은 어떤 특징이 있으며 내 진로인 생명과학 분야와 어떤 관계가 있는지 심층적으로 탐구해보고 싶다는 생각이 들었기 때문이다.

주제 선정 이유: 작년 수학시간에 신체,감성,지성으로 세가지 주기를 갖는 바이오 리듬을 삼가함수 그래프의 예시로 쓰였던 것이 생각나 바이오 리듬에 대해 더 구체적으로 탐구해보고 싶었습니다. 그러나 수업시간에 바이오 리듬에서 왜 삼각함수의 성질이 나오는지 집고 가지 못했고 이에 대해 궁금증이 생겨 바이오 리듬이 어떠한 이유에서 삼각함수의 성질이 나타나는지에 대해 흥미가 생겨 탐구하고 싶었습니다.

주제 선정 이유: 상용로그의 활용 단원에서 이자를 계산하는 문제를 보고 복리 계산에는 지수함수와 로그함수가 어떤식으로 활용되는지 궁금했기때문에 주제를 선정하게되었다.

이론적 배경: 주식은 이자의 개념과 닮아있기 때문에 복리를 통해 계산할 수 있다. 복리란 원금에 이자를 더한 것을 말한다. 주식에 적용해보면 원금에 수익금을 더한 것이 복리인 것이다. 이러한 복리는 초반에는 차이가 단리와 거의 없지만 시간이 지날수록 기하급수적으로 증가하게된다.

주제선정이유:

1학년 수학 심층 탐 활동 시간에, 보간법에 관해서 탐구를 했었는데, 당시 1학년 때 배운 지식 만으로는 다항식 개념을 활용한 선형 보간법 이외에 스플라인 보간법 같이 어려운 보간법은 아직 미적분학 등을 배우지 못해서 탐구에 제한이 있었다. 이제 수학1, 수학2에서 학습한 추가적인 내용을 바탕으로 기존에 탐구했던 보간법에서 더 나아가 탐구를 하고 싶어서 선정했다.

게다가 보간법이 모르는 값을 추정하여 측정되지 않은 데이터를 추정하는데 사용되는 등 데이터 분석하는데 많이 활용될 수 있는 수학적 내용이라, 더 탐구하고 싶었다.

선정이유: 예술에 사용된 수학적원리들은 대부분 감상할때 모르고 지나가기 마련이다. 이런 이유로 예술작품에 사용된 수학원리가 궁금해졌기 때문에 선정하게 되었다.

선정이유: 자동차를타고 어디를 갈때 구간단속시점에서 과속단속 카메라를 본적이 있다. 평소에도 과속단속카메라는 어떤 원리로 이루어졌을지 궁금했고 이 원리를 평균값을 활용해서 탐구해보면 좋을 것 같아 선정했다.

선정 이유: 작년 수학 과제 탐구를 진행하면서 상용로그를 활용한 일상 생활 속 한 사례로 숫자의 빈도수를 파악하여 숫자가 조작된 경우를 쉽게 찾아낼 수 있다는 벤포드의 법칙에 대해 알게 되었는데 이가 실제로 어떻게 작용하는 원리인지에 대한 궁금증이 생겼다. 통계 사례나 자료의 값을 바탕으로 상용로그를 활용해 벤포드의 법칙이 성립 되는지 직접 확인해보고 (상용로그를 활용하여) 일반화/검증 하는 것이 목표이다. 또한 측정된 숫자의 비율을 바탕으로 근사한 그래프를 토대로 함수식을 이끌어 내어 벤포드 법칙의 유의미함을 탐구해보고 싶다.

(화면캡쳐 또는 사진을 찍어서 함깨 올리기)

-오늘 탐구과정 중 어떤 파일이던지 상관 없습니다. 혹시 동영상을 봤다면 링크를 올려도 좋습니다.

1. 탐구방법:

2. 탐구한 내용:

3. 이번 시간 배우고 느낀점:

주제선정이유:

2학년 국제경제시간 미국발 고금리가 국내 경제에 미치는 영향을 조사한 적이 있었는데, 최근 연준의 금리 인하 소식을 듣고 시간의 흐름에 따라 금리가 오르고 내리는 것처럼 경기가 순환한다는 점에 주목하게 되었다. 이후 경기순환론에 대해 알아보던 중 경기순환그래프가 삼차함수의 개형과 부분적으로 유사함을 발견하였고 그 특징이 궁금해졌다. 따라서 경기순환 그래프의 특징을 조사하고, 국가별(혹은 사회구조별) 경기순환 그래프를 그린 후 이를 미분한 도함수의 특징을 분석해보고자 한다.

주제선정이유: 2학년 때 테셀레이션 기법을 다룬적이 있었는데 테셀레이션과 비슷한 프랙탈이 있어 무슨 차이가 있나 궁금하여 탐구해보려 함.

주제선정이유: 영화 속에서 여러 큐브들로 이루어진 공간을 탈출하기 위해서 큐브의 개수, 방 번호의 수학적 의미에 대해서 탐구하고 해결해 나가는 작중 인물들의 대사와 이론에 대해서 좀 더 심화하여 탐구하고자 주제를 선정하였다.

주제 선정 이유: 최근 수많은 분야에서 AI가 활용되고 있고, 인공지능의 연구가 활발히 이루어지고 있다. 때문에 수학 분야에서 인공지능이 어떻게 활용되고 있는지 호기심이 생겨 주제를 선정하게 되었다.

탐구 내용:

회로의 전달 함수를 라플라스 변환을 통해 구합니다. RC 회로의 경우 다음과 같은 전달 함수를 가질 수 있다:

\[ H(s) = \frac{1}{1 + RCs} \]

여기서 \( R \)은 저항값, \( C \)는 캐패시터 값입니다.

전달 함수를 복소수 형태로 변환합니다. 이를 위해 \( s = j\omega \)를 대입하여 주파수 응답을 얻습니다. 여기서 \( j \)는 허수 단위입니다. 따라서 전달 함수는 다음과 같이 표현됩니다:

\[ H(j\omega) = \frac{1}{1 + j\omega RC} \]

주파수 응답을 Bode Plot으로 시각화합니다. Bode Plot은 주파수에 따른 전달 함수의 크기와 위상을 보여줍니다. 복소수 전달 함수의 크기와 위상을 주파수에 대한 함수로 그래프로 나타냅니다.

Nyquist Plot은 회로의 안정성을 분석하는 데 사용됩니다. 복소평면 상에서 전달 함수를 그려 안정성을 확인합니다.

느낀 점: 탐구를 진행하며 이해하기 힘든 부분이 너무나 많았다. 덕분에 많은 깨달음과 지식을 얻을 수 있었던 뜻깊은 시간이었던 것 같다. 수학 문제에서만 보던 복소수가 이렇게 실용적으로 쓰일 수 있다는 사실이 매우 놀라웠고 흥미로웠다.

만약 3%씩 이라면 5백억이 된다. 이러한 복리를 계산해주는 사이트에서 자신이 원하는 수익률, 투자 원금, 계산 기간만 입력하면 하루하루 지날때 마다 달라지는 수익률과 수익을 한눈에 볼 수가 있었다. 수익률의 증가 폭이 40일 정도까지는 한 자리수로 증가하다가 두 자리수, 120일 정도가 지나서부턴 세 자리수 200일이 지나고부턴 천의 자리수 만큼씩 변화하는 것을 볼 수 있었다.

느낀점: 복리라는 것은 지수함수와 같이 처음에는 일차함수와 비슷하다고 느끼지만 시간이 지날수록 기하급수적인 변화를 보인 다는 것을 알게되었다. 백 만원으로 하루에 수익률이 3%만 되어도 1년이 지나면 500억을 만들 수 있다는 게 놀라웠지만 사람이 1년 내내 이득만 볼 수 없다는 것을 생각하면 투자란 어려운 거 같았다.

탐구한 내용: 아이작 뉴턴은 요한 베르누이가 낸 문제를 몇시간 앉아서 풀었는데, 그것이 바로 미분을 이용한 직선과 곡선의 차이를 설명하는 것이었다. 정답을 품은 편지가 베르누이의 책상에 도착했을 때, 첫 문장만 보고 바로 아이작 뉴턴의 답이라는 것을 알았고, “사자는 발톱만 봐도 알 수 있다. 사자는 울음소리만 들어도 알 수 있다”라는 말을 했다.

또한 르네 데카르트의 평면 좌표 활용, 라이프니츠의 미적분 활용에 대해서도 탐구했다. 좌표들을 통해 자신과 별이 얼마나 떨어져있는지 구할 수 있었고, 그 별의 이동속도와 위치를 미적분을 통하여 구할 수 있었다.

소감: 아이작 뉴턴이 미적분을 이용하여 많은 법칙들을 발견했다는 것은 알고 있었지만 정확히 어떤 발견을 했는지는 알지 못했는데 이번 시간을 통해 뉴턴과 관련되어 있는 사람이 물체의 위, 아래의 기압 차를 이용하여 항공기에 사용된 ‘베르누이의 원리’의 창시자인 베르누이라는 사실이 흥미로웠고 미래에 항공 관련 직업을 가지게 되었을 때도 많은 도움이 될 수 있을 것 같아 기뻤다.

탐구한 내용: 프랙털은 일부 작은 조각이 전체와 비슷한 기하학적 형태를 말한다. 이런 특징을 자기 유사성이라고 하며, 다시 말해 자기 유사성을 갖는 기하학적 구조를 프랙탈 구조라고 한다. 2D, 3D, 4D까지 프랙탈을 구현한 영상도 있고 영상의 종류에 따라 어지럽거나 징그러운 것도 있고 영화 닥터 스트레인지에서 나온 것과 비슷한 영상도 있었다. 프렉탈과 테셀레이션의 차이점으로는 테셀레이션은 몇 개 안되는 도형을 가지고 한 평면을 빈틈없이 채우는 것을 말한다. 그러나 프렉탈은 전체의 부분은 , 그 부분의 부분의 모습과 똑같다. 프렉탈은 전체와 부분의 비율이 존재하고 테셀레이션은 존재하지 않는다.

이번 시간 배우고 느낀점: 프랙탈 예술을 테셀레이션을 이용하면 3D모델링으로도 구현할 수 있는 것이 신기했다

탐구내용:바이오 리듬(biorhythm)은 인체에 신체, 감성, 지성의 세가지 주기가 있으며 이 세가지 주기가 생년월일의 입력에 따라 어떤 패턴으로 나타나고 이 패턴의 조합에 따라 능력이나 활동 효율에 차이가 있다는 주장입니다.

신체,감성,지성의 그래프는 각각 23일,28일,33일을 주기로 갖고있으며 삼각함수의 사인그래프와 같은 그래프를 갖고 있다는 점에서 삼각함수와의 연관성이 보입니다. 그리고 바이오 리듬이 사인그래프의 형태를 띄게된 이유는 사람마다 ‘주기적’으로 신체,감성,지수의 변화가 생길 수 있다는 주장에서 사인그래프의 형식을 띄게된 것 같습니다.

또한 바이오 리듬 그래프의 사인곡선이 가로축 위에 있으면 상태가 양호하고 아래에 있으면 침체된 시기로 보며 사인곡선이 가로축과 만나는 때를 위험일로 보는데 이는 삼각함수 그래프로 y값이 0이 되는 것과 같다고 볼 수 있습니다. 하지만 요주의 일은 최저점이 아니라 신체, 감정, 지성의 기류가 변하는 불안정한 지점으로 삼각함수 그래프에선 요주의 일이 최솟값이 아니라는 것과 같다고 볼 수 있을 것 같습니다.

느낀 점: 제가 흥미를 가졌던 바이오 리듬을 더 자세히 탐구해보아 좋았고 바이오 리듬이 어떠한 이유에서 삼각함수 사인그래프의 형태를 띄게되었는지에 대해 이번 조사를 통해 알게되어 매우 유익했습니다.

탐구내용:

- (스플라인 보간법 내용) spline은 운형(雲形)자를 뜻한다. 구름같이 동글동글한 곡선이 이쪽 저쪽에 있는 그런 자이다. 이 자에 있는 곡선들을 서로 연결해서 선을 그으면 아주 부드럽게 그림이 완성된다. 이와 같이 그럴듯한 보간공식을 만든다는 것이다. / 스플라인 보간법(spline interpolation)은 주어진 데이터에서 각 구간마다 다항식으로 연결하여 보간하는 것을 말한다. 이때 연결되는 점에서 미분계수 또는 고계미분계수가 일치하도록 연결한다.

cubic(큐빅/3차원/입체/부피)이란 3차 다항식을 이용했다는 뜻. 두 개의 점과 그 두 점에서 접선의 기울기를 미리 알고 있다고 가정하면, 앞에서 2차 다항식으로 그릴 때와는 달리, 3차 다항식으로 그리면 매우 자연스럽게 그려진다. 그리고 각 구간을 연결해도 꺾이지 않고 부드럽게 연결된다

① 네 점 → 계수 완성 → 전체 공식 완성 → 보간 → 3차곡선

② 두 점 + 두 기울기 → 계수 완성 → 구간 공식 완성 → 보간 → 조립하면 완전한 곡선

- (스플라인 보간법 사용 이유) 고차 보간다항식의 경우 진동과 반올림으로 인해 오차가 크게 발생할 수 있다. 이를 해결하기 위해 저차 다항식을 사용하거나, 전체 구간을 소구간별로 나눠 사용하는 방법이 있다. 소구간별로 나눠서 적용하는 방법이 스플라인 보간이다.

[내용 참조: 네이버 지식백과, https://m.cafe.daum.net/leon96201/CJTD/22]

이번 시간 배우고 느낀점: 이번시간에 보간법의 다양한 종류와 기본 개념을 찾아봤는데, 이 개념을 어떻게 활용하고 있는지 사례를 학술자료를 통해 다음시간에 조사해봐야겠다고 생각했다.

의심스러운 데이터 분석 논문의 탐지에 관한 연구 - 산업경제연구 - 한국산업경제학회 : 논문 - DBpia

[Math in Biz] 숫자 첫번째 자리에 규칙이?…회계부정 잡아낸 `벤포드의 법칙` - 매일경제

알고나면 더 재미있는 ‘숫자로 된 일상의 법칙들’ - ZDNet korea

탐구 방법: 신문 기사, 수학 산책, 논문 등 문헌 연구

이번 시간 배우고 느낀점:

벤포드의 법칙을 상용로그 식으로 정리하면 수열의 형태와 유사하다는 점을 미루어 보아 식을 정리하여 일반화 가능하다는 점을 알게 되었다. 다만, 1~9까지의 자연수가 아닌 소수점이나 0 등의 다른 숫자에서는 왜 벤포드의 법칙이 성립하지 않는 것과 1~9까지의 숫자에서는 각 수를 추출했을 때 1/9의 동일한 확률이 나오는 것이 아닌 상이한 확률 분포가 발생하는지에 대한 궁금증이 생겼다. 모든 상황에 적용 가능하다는 것이 아니라는 점에서 벤포드의 법칙을 활용하는 것이 실질적으로 유용한지에 대한 판단이 모호하지만, 일정한 규칙이 반복 형성 되어 만들어진 이론임이 수용 가능하다면, 회계 부정이나 가격 담합 등의 상황에서 허위로 만들어낸 통계임을 의심해볼 수 있다는 점에서 중요한 지표가 될 것이다는 생각을 하게 되었다.

탐구 내용: 평균값 정리 정의 , 평균값을 활용한 과속단속카메라 원리, 동영상 등등

탐구내용 :

1 경기순환 그래프의 특징 - 좌표평면 위에 대입했을 때 삼차함수 개형이 반복되는 주기함수이다.

2 미국과 한국의 경제순환 주기를 알아보고 극대 극소를 이용해 도함수를 가정하고 그래프 그리기

배우고 느낀 점 : 경기순환그래프의 기본형태는 극대 극소 값이나 진폭이 동일한 반면 실제 경제에서는 각 값의 변동이 커 그래프의 모양도 훨씬 다양했다. 미국과 한국의 경제순환주기를 비교했을 때 미국의 순환 주기가 20개월 정도 더 길며 그 가파른 정도도 달랐다.

다음시간 : 오늘 그린 그래프의 적분, 미분한 값을 비교하고 그 의미를 파악한 후 추가적으로 경제파동 종류 조사 예정.

• 그동안 탐구했던 자료들을 보고 자필로 종이에 보고서를 작성합니다. 첫 시간 나눠준 한 장 짜리 학습지 가져오세요.

4.11.(목) - 논술형 수행평가 실시

• 첫 시간 나눠준 수행평가 연습용 4문제 중 2문제가 변형되어 출제됩니다. 스스로 풀 수 있다면 충분히 만점받을 수 있으니 준비해 오세요.

이번 시간에 탐구한 것에 대해 아래 내용이 포함되도록 +버튼을 눌러 작성하세요.

(화면캡쳐 또는 사진을 찍어서 함께 올리기)

-오늘 탐구과정 중 어떤 파일이든지 상관 없습니다. 혹시 동영상을 봤다면 링크를 올려도 좋습니다.

1. 탐구방법:

2. 탐구한 내용:

3. 이번 시간 배우고 느낀점:

주제 선정이유: 평소에 삼각함수를 어려워해서 시간을 많이 투자하다보니 삼각함수에 흥미를 갖게 되었는데 삼각함수 그래프 과정에서 심화해 삼각함수 역수 그래프는 어떻게 그려질까 궁금해졌기 때문에 이 주제를 선정하게 되었다

2.탐구한 내용: cscx=1/sinx

cot x= cosx/sinx

secx=1/cosx

y = cscx 그래프 성질

① 정의역은 nπ (n은 정수)를

제외한 실수 전체의 집합

② 치역은 y ≤ -1 또는 y ≥ 1 인

실수 y의 집합

③ 원점에 대하여 대칭 ⇒ 기함수

④ 주기가 2π 인 주기함수

y = secx 그래프 성질

① 정의역은 (2n-1)π/2 (n은 정수)를

제외한 실수 전체의 집합

② 치역은 y ≤ -1 또는 y ≥ 1 인

실수 y의 집합

③ y 축에 대하여 대칭 ⇒ 우함수

④ 주기가 2π 인 주기함수

y = cotx 그래프 성질

① 정의역은 nπ (n은 정수)를

제외한 실수 전체의 집합

② 치역은 실수 전체의 집합

③ 원점에 대하여 대칭 ⇒ 기함수

④ 주기가 π 인 주기함수

3.느낀점

삼각함수 역수그래프가 어떻게 그려지는지 그리고 역수그래프에 특징에 대해 더 심화해 알수있어서 더 흥미를 갖게 되었다

https://namu.wiki/w/%ED%8F%89%EA%B7%A0%EA%B0%92%20%EC%A0%95%EB%A6%AC

https://www.ebsmath.co.kr/resource/rscView?

cate=11011&cate2=11047&cate3=11138&rscTpDscd=RTP15&grdCd=HGRD03&sno=29471&type=S&historyYn=study

https://namu.wiki/w/%EA%B5%AC%EA%B0%84%EB%8B%A8%EC%86%8D

https://plusthemath.tistory.com/480

https://www.socialfocus.co.kr/news/articleView.html?idxno=10498

느낀점: 구간단속을 평균값의 정리와 연관되어 설명할수 있다는 사실을 탐구하면서알게되었고 구간단속 카메라의 과속 여부 판정은 단속구간이 시작되는 첫 지점과 끝 지점의 통과시간을 기준으로 구간의 평균 속도를 계산하고 구간단속 횟수는 시작지점 속도, 단속 구간 내 평균속도, 종료 시점 속도 등 3번 단속하며 3회 측정한 속도 중에서 가장 많이 초과한 곳을 기준으로 하여 과태료를 부과한다는 사실을 알게되었다.

이번 시간 배우고 느낀점:

단순히 이론만 보았을 때는 정말 숫자 분포가 벤포드의 이론에서 언급한 양상을 띄고 있을까하는 의문이 들었는데 통계청의 온라인 쇼핑 동향조사 중 해외 직접 판매액을 드러낸 그래프의 금액 속 숫자들을 세어보았더니 정확한 분포를 띄지는 않지만 1에서 9로 갈수록 점점 숫자 비율이 줄어드는 것을 확인할 수 있었다. 큰 수의 법칙에 따라 자료 수집량이 커질 수록 더 유사한 비율을 보인다는 점을 미루어 보았을 때 다음 통계에서의 오차범위를 감안했을 때 이는 유의미한 결과임을 판단할 수 있다.

아직 완벽하게 증명된 이론이 아니라는 점에서 맹신할 수는 없겠지만 벤포드 이론에 적용하였을 때 눈에 띄게 이상한 숫자 비율을 가진 회계장부 위주로 조사를 진행한다면 효율적으로 장부의 조작을 잡아낼 수 있는 유용한 도구가 될 것이라는 생각을 하게 되었다. 실제로 회계 장부 뿐만 아니라 경연 프로의 득표수 조작 사건에서도 벤포드의 법칙을 바탕으로 이상한 점을 발견해 검찰 조사가 진행된 경우가 존재하며 이는 실제로 조작으로 판명나 그에 대한 재판이 이루어진 바 있다는 점에서 생활 속 수학의 활용에 대해 직접적으로 체감하는 계기가 되었다.

또한 조작이 있는 자료에서 벤포드 이론과 유사한 양상을 보인다는 것을 이번 탐구를 통해 확인해 보았는데 반대로 이미 부정으로 판명된 자료의 숫자를 계산한다면 정말 상이한 숫자 비율이 보일까 궁금해졌다. 더 많은 자료를 활용하여 숫자 간 개수 비율을 비교해 본다면 벤포드 법칙의 유용성에 대하여 더 명확하게 결론 낼 수 있을 것이라 예상하며 추가 탐구를 진행해보고 싶다는 생각을 하게 되었다.

관련논문 및 문헌:

"Frequency Response Analysis of Electronic Circuits"

"Frequency Response Analysis of Power Electronic Circuits"

및 네이버지식in,코딩 관련 블로그 활용함

탐구내용:주파수 응답 그래프를 나타내기 위해서는 구체적인 전기회로와 주파수 응답을 나타내는 수식이 필요합니다.

가정: 단순한 RC (저항-커패시턴스) 회로가 있다고 가정하겠습니다. 이 회로의 전압 전달 함수(H(s))는 다음과 같습니다.[ H(s) = \frac{1}{1+sRC} ]여기서 s는 복소수 변수이며, 주파수 응답은 ( s = j\omega )에서 얻을 수 있습니다. ( \omega )는 각 주파수에서의 각속도를 나타냅니다.이제 이를 그래프로 표현할 수 있습니다. 주파수 응답 그래프는 주파수 (x축)에 따른 전압 전달 함수의 크기 (y축)와 위상 (또는 각도)를 나타냅니다.여기서는 RC 값이 1이고, 주파수 응답을 표현하기 위해 Python과 matplotlib를 사용하여 코드를 작성하고 그래프로 그릴 것입니다.

이로 인해 그래프에서 주파수가 증가함에 따라 회로의 이득이 어떻게 변하는지를 볼 수 있습니다.

2.탐구한내용: 프랙탈 아트

프랙탈 아트의 수학적 원리는 주로 재귀적인 함수나 수열에 기반합니다. 여기에는 주로 다음과 같은 수학적 개념이 사용됩니다.

1. 재귀 함수: 프랙탈은 재귀적인 함수나 수학적 정의에 따라 생성됩니다. 이러한 함수는 자기 자신을 호출하여 패턴을 계속해서 반복하게 됩니다. 예를 들어, 많은 프랙탈 도형은 재귀적인 선의 그리기로 시작하여 점점 더 작은 세부사항을 반복적으로 추가하여 만들어집니다.

2. 이터레이션(반복): 프랙탈은 일반적으로 수학적인 공식에 따라 반복되는 패턴으로 이루어집니다. 이터레이션은 초기 조건을 설정하고 반복적으로 적용함으로써 프랙탈을 생성합니다. 이 과정은 자기유사성을 가진 복잡한 구조를 만들어냅니다.

3. 복소수(Complex numbers): 많은 프랙탈 아트는 복소수 평면에서 생성됩니다. 복소수는 실수부와 허수부로 이루어진 수이며, 프랙탈 계산에 중요한 역할을 합니다. 많은 프랙탈 알고리즘은 복소수의 반복적인 계산에 의존하여 다양한 형태의 패턴을 생성합니다.

4. 분기 구조(Bifurcation structures): 일부 프랙탈은 분기 구조를 가지고 있습니다. 이는 초기 조건에 따라 시스템의 동작이 복잡하게 변하는 현상을 나타내며, 다양한 형태의 프랙탈 패턴을 만들어냅니다.

이러한 수학적 원리를 통해 프랙탈 아트는 복잡한 수학적 구조를 시각적으로 표현하며, 예술적 창의성을 발휘하여 아름다운 작품을 만들어냅니다. 프랙탈 아트는 수학과 예술의 만남으로, 수학적인 아름다움을 시각적으로 경험할 수 있는 흥미로운 형태의 예술입니다.

탐구 내용: 화성이나 목성 등 먼 행성에 도달한 우주 탐사선 소식이 나오면 몇천 킬리모터 떨어진 골프장에 홀인원 시킬 정도라고 생각하고, 그냥 쏘아올리면 알아서 목적지에 도착한다고 생각하는 사람들이 많은데, 사실 탐사선을 목적지로 보내려면 수많은 정교한 제어가 필요하다. 그 제어를 시간이라는 개념을 배제한 상태에서 나타낸 공식이 라플라스 변환 공식이다. 우주공간에 두개의 물체가 있으면 두 물체 사이의 상호작용과 움직임을 수학적으로 정확하게 계산할 수 있다. 하지만 물체가 세 개 가 있으면 계산을 할 수 없다는 것이 증명되었고, 우주선이 태양계 안의 행성 하나로만 도착하려해도 최소 네 개의 물체 계산이 필요하다.

그렇기 때문에 제어가 중시되고 있는 것이다.

소감: 정확한 궤도를 예측하기 위한 제어 계산이 쉽지 않다는 것을 보디 구체적으로 알게 되었고, 원래는 탐사선을 그냥 쏘아올리면 알아서 저절로 가는 줄 알았지만,

그게 아니라 끝없는 계산과 예측이 필요하다는 것을 알게되었다.

우리나라에서도 누리호가 발사 성공되고 다른 스타트업 기업들이 많은 시도를 할 것으로 예상되는데 실패가 나오더라도 비난이 아닌 격려로 더 좋은 성과를 낼 수 있도록 응원해줬으면 하는 바람이 있다.

탐구내용: 의료분야에서 삼각함수는 주로 우리 신체 중 매우 중요한 뇌와 심장을 검사할 때 쓰임을 보였습니다. 수면 뇌파 검사에서 뇌파는 뇌신경들 사이의 신호가 전달되면서 발생하는 파동을 의미하는데 이 뇌파를 규명할때 삼각함수가 활용됩니다. 또한 심전도 검사는 심장 질환을 감지하기 위해서 심장의 전기적 활동을 측정하는데 활용되는 방법으로 이 과정에서 전류 스파이크가 관찰되는데 이 순전류의 방향을 '심장의 평균 전기 축'이라고 부르며 관찰하고 표현하는데 삼각함수가 활용됩니다. 이와 같이 우리 몸을 건강하게 유지할 수 있도록 하는 여러 검사 방법에서 삼각함수의 쓰임에 대해 알 수 있었습니다.

느낀 점: 삼각함수의 쓰임에 대해 조사하고 탐구하다 보니 의료 분야에서의 쓰임이 매우 많았는데 주로 쓰이는 검사는 뇌와 심장이라 이 부분에서 탐구를 더욱 해보았지만 다리가 절단되어 의수가 필요한 환자에게 최대한 몸에 잘맞는 비율로 만들기  위해서 삼각함수가 쓰인다는 것을 알게되었습니다. 그리고 삼각함수가 어떠한 질병을 미리 알려주는 즉, 예방하는 부분에서 그치지 않고 이미 일어난 질병까지 도움을 줄 수 있다는 것이 매우 놀라웠습니다.

탐구방법: 문헌 조사 (인터넷, 사전, 논문 등)

https://allcalc.org/2387

탐구내용(요약): 보간법의 정의, 보간법의 종류, 보간법의 활용 사례, 스플라인 보간법 등 데이터 분석 활용 사례 조사

❍ (보간법 정의) 보간법이란 알고 있는 값(데이터 값)을 이용해 모르는 값을 추정하는 방법의 한 종류이다. 정확한 데이터 점 사이에 있는 중간 값을 추정한다.

*그러므로 정보가 많을수록 추정은 쉬워진다. 다만, 정보가 많으면 다항식의 차수가 높아지는 문제가 생길 수 있다.

❍ (보간법 종류) 보간법의 종류에는 다항식 보간법, 선형 보간법, 이중 선형 보간법, 스플라인 보간법 등이 있다.

(★보간법 실생활 활용)

도표의 중간 값 추정(다양한 보간법 이용 가능, 여러 사례 적용 가능),

이미지 특정구간 확대(선형보간법 이용),

지리정보시스템 활용한 경로인근 영역 탐색(선형보간법 이용),

열역학,

디지털 영상의 효율적인 변환(양선형 보간법),

영상 화질 향상(항공·의료·군사·보안 분야-영상 변환에는 선형 보간+3차 보간법(큐빅) 등이 이용됨),

신호영상처리 분야

에 활용되며,

그 외에도 모르는 값을 추정하여 측정되지 않은 데이터를 추정하는데 사용될 수 있다.

느낀점: 시각화할 때 보유한 데이터를 가지고 최대한 정확한 시각화 자료를 만들기 위해 방법을 찾던 중, 1학년 때 탐구했던 모르는 내용을 추정하는 ‘보간법’이라는 수학적 개념을 잘 이용하면 되지 않을까라는 생각에서 출발했었다. 모르는 값을 추정할 수 있는 효과 덕분인지, 보간법이 내용 자체는 매우 어렵지만, 활용 분야는 생각보다 방대해서 놀라웠다. 나중에 시간이 더 있으면 더 자세히 탐구해보고 싶다.

등비급수의 값이 항상 존재하지는 않음.(사진 자료)

프랙탈 예술로는 시어핀스키 삼각형이 있고 예술 작품으로는 에셔의 천국과 지옥이라는 작품으로 천사의 형상과 박쥐의 형상이 같이 있는 중의적인 그림이 있다.

3. 수학이 예술과 연관이 잘 안될 것 같다고 생각했는데 조사를 통해서 생각을 바꾸게 됨

2.미적분학에서 평균값 정리는 미분 가능 함수의 그래프의 할선과 평행하는 접선이 존재한다는 정리다.롤의 정리로부터 유도되며, 테일러 정리를 비롯한 많은 확장이 존재한다. 미적분학의 기본 정리를 증명하는 데 쓰이며, 극값 · 고계 도함수 · 볼록 함수 · 역함수의 취급에도 응용된다.

3.평소에 관심있었던 단속구간과 평균값 정리와 연관지어 탐색하고자 했었는데 그 전에 평균값 정리에대해서 잘 이해하고 넘어가면 탐구하는데에 있어서 더 효율적이면서도 도움이 될것 같아 평균값정리 정의를 찾아보았다. 탐구하기전에는 평균값 정리에대해서 잘 알지 못했었는데 이번시간을 통해 평균값 정리에대해 이해하고 알 수 있었다

주제 선정이유 : 옛날에 심화 탐구 시간에 기계학습에 대해 탐구를 했었는데, 그때는 학습 알고리즘이나 회귀 기법 등 통계학이나 미적분학이 쓰이는 정말 심화적인 탐구는 하지 못했고 기계학습의 의미와 간단한 방법 정도만 탐구했었다. 이에 대한 더 심화적인 탐구를 해보고 싶어서 선정했다.

느낀점 :

옛날에 탐구했을땐 몰랐던 경사 하강법에 대해 알 수 있어서 좋았고, 머신러닝 학습 원리에 대해 알 수 있어서 좋았다.

-왜 굳이 경사 하강법인가?
실제로 다루게 될 함수들은 복잡하고 비선형적인 함수가 대부분이며, 이를 미분으로 해결하기에는 한계가 명확하다.

-경사 하강법
입력값 하나에 출력값 하나인 함수가 존재한다고 하자. 출력값을 최소화하는 입력값은 당연히 미분을 통해서도 구할 수 있을것이다. 하지만 아주 복잡한 함수에서는 항상 최솟값을 알아내기란 어려운 것이다. 입력값을 1000, 혹은 10000개 이상을 가질 수도 있는 인공 신경망을 구현한 함수라면 더더욱 안될것이다. 이럴 때는, 한 입력값이 주어졌을 때 어떤 방향으로 이동해야 수많은 출력값을 낮출 수 있는지를 파악하는게 효율적일것이다. 기울기를 안다면, 기울기의 부호의 반대 방향으로 이동하면 된다. 이와 같은 과정을 반복하면 함수의 지역 최솟값을 구하게 될 것이다. 이는 골짜기에서 굴러내려오는 공을 생각하면 이해하기 쉽다. 다만, 출발지점에 따라 각기 다른 출력값을 갖게 될 것이고, 결국 전역 최솟값을 확실하게 구하긴 힘들것이다.
-문제점
상술했다시피 우리는 전역 최솟값을 구하고 싶은데, 어떤 이유로 인해 지역 최솟값에 빠지는 경우 탈출하지 못하고 해당 위치로 수렴할 가능성이 존재한다. 이는 지역 최솟값이 전역 최솟값으로 인식되어 잘못된 출력이 나올지도 모른다는 것이다.

느낀점 :

옛날에는 수학 개념이 부족해서 깊게 탐구해보지 못한 것 같아 아쉬웠는데 이번에는 평소에 갖고 있던 의문점을 해결한 것 같아 좋았다. 다음에 또 기회가 된다면 그냥 좌표평면 뿐만 아니라 3차원적으로도 함수를 표현해보고싶다.