A modelagem elétrica é uma técnica usada para descrever matematicamente o comportamento de circuitos elétricos através de equações diferenciais baseadas nas leis físicas fundamentais. Em outras palavras, é como traduzir um circuito elétrico físico para uma linguagem matemática capaz de prever como ele vai se comportar ao longo do tempo.

Essa técnica permite:

• Prever a evolução temporal das variáveis elétricas, como tensão, corrente e carga.

• Facilitar a análise de estabilidade e desempenho de sistemas elétricos usados em automação e controle.

• Projetar sistemas robustos, como fontes de alimentação, sensores eletrônicos, controladores e circuitos digitais.

A modelagem de sistemas elétricos é um pilar fundamental para engenheiros que desejam projetar sistemas confiáveis e eficientes na prática industrial.

🔸 Resistor (R)

• Lei de Ohm: V=R⋅iV

• O resistor converte energia elétrica em calor e é responsável por limitar a corrente elétrica no circuito.

  
  

🔸 Capacitor (C)

• Equação característica: i=C*(dV/dt)

• Capacitores armazenam energia elétrica na forma de campo elétrico e são usados em circuitos para filtragem e armazenamento temporário de energia.

  
  

🔸 Indutor (L)

• Equação característica: V=L*(di/dt)

• Indutores armazenam energia na forma de campo magnético e são usados principalmente em filtros e circuitos oscilatórios.

Interpretação prática:

• O resistor controla intensidade de corrente;

• O capacitor controla variações rápidas de tensão;

• O indutor controla variações rápidas de corrente.

Ferramentas matemáticas visando criar representações simplificadas de sistemas e processos industriais. Essas representações, ou modelos, permitem entender, prever e otimizar o comportamento desses processos.

Eles servem como uma representação simplificada da realidade.

Motivação: A modelagem é necessária para:

• Entender o comportamento de um processo.

• Prever como o processo se comportará sob diferentes condições operacionais.

• Otimizar o desempenho do processo (ex: aumentar a produção, reduzir custos, melhorar a qualidade).

• Projetar novos processos ou equipamentos.

• Desenvolver sistemas de controle mais eficazes.

Os modelos matemáticos podem ser classificados de diversas formas, cada uma adequada a um tipo específico de análise:

• Estático vs. Dinâmico:

  • Estático: Não considera a variação das variáveis no tempo (descreve o processo em regime estacionário).

  • Dinâmico: Descreve como as variáveis do processo mudam ao longo do tempo (crucial para entender transientes e controle).

• Linear vs. Não Linear:

  • Linear: A relação entre entradas e saídas é diretamente proporcional. Podem ser resolvidos por métodos analíticos.

  • Não Linear: A relação não é proporcional, exigindo linearização para certas análises ou métodos numéricos.

• Contínuo vs. Discreto (no tempo):

  • Contínuo: Variáveis mudam continuamente ao longo do tempo (comuns para sistemas físicos).

  • Discreto: Variáveis são avaliadas em instantes específicos de tempo (comuns em controle digital ou simulações).

• Fenomenológico vs. Empírico:

  • Fenomenológico (Caixa Transparente): Construídos com base em leis fundamentais da física e química (balanços de massa, energia, momento), usando conhecimento profundo do processo.

  • Empírico (Caixa Preta ou Caixa Cinza): Desenvolvidos a partir de dados experimentais, sem um conhecimento detalhado dos mecanismos internos. A caixa cinza combina aspectos fenomenológicos com dados.

• MISO (Múltiplas Entradas, Uma Saída) vs. MIMO (Múltiplas Entradas, Múltiplas Saídas).

• Determinístico vs. Estocástico.

A modelagem matemática é aplicada a diversos tipos de sistemas em processos contínuos:

• Sistemas Hidráulicos: Modelagem de tanques, tubulações, escoamento de fluidos (nível, vazão, pressão).

• Sistemas Térmicos: Modelagem de trocadores de calor, aquecedores, reatores com troca de calor (temperatura, transferência de energia).

• Sistemas com Reação Química: Modelagem de reatores (concentrações de reagentes/produtos, taxa de reação).

• Sistemas Mecânicos: Modelagem de agitadores, bombas, transportadores (movimento, força, torque).

• Sistemas Elétricos: Embora menos foco no design de circuitos, a modelagem de elementos elétricos é relevante para entender o comportamento de sensores, atuadores e sistemas de controle eletrônicos que interagem com o processo.

“A soma das correntes que entram em um nó é igual à soma das correntes que saem.”

Também chamada de Lei da Conservação da Carga, essa lei garante que não há acúmulo ou desaparecimento espontâneo de corrente elétrica em um ponto de conexão do circuito.

Segunda Lei de Kirchhoff (Lei das Tensões)

“A soma das diferenças de potencial (tensões) em uma malha fechada é igual a zero.”

Também chamada de Lei da Conservação da Energia, ela garante que a energia fornecida por fontes no circuito é totalmente consumida pelos componentes resistivos, capacitivos e indutivos.

As leis de Kirchhoff não se aplicam apenas a circuitos elétricos. Conceitualmente, elas também inspiram regras semelhantes em sistemas hidráulicos, térmicos e até econômicos — sempre que houver conservação de algo mensurável!

Aplicações práticas:

• Circuitos de rádio (sintonizadores)

• Osciladores eletrônicos

• Circuitos de filtragem em sistemas de comunicação

Circuitos RLC podem apresentar comportamentos importantes, como amortecimento (quando o sistema volta lentamente ao equilíbrio) e ressonância (quando o sistema oscila intensamente numa frequência específica).

Modelagem de um sistema mecânico é o processo de criar uma representação matemática que descreva o comportamento físico de um sistema que envolve movimento, forças, massas, atrito, molas, amortecedores, etc. Essa modelagem permite:

• Analisar como o sistema vai se comportar diante de certas condições.

• Projetar controles (como em sistemas automáticos ou robôs).

• Simular cenários antes de construir o sistema físico.

A modelagem empírica é uma abordagem fundamental para compreender e prever o comportamento de sistemas dinâmicos, especialmente quando o conhecimento teórico completo do sistema é limitado ou inexistente. Ela se baseia na coleta e análise de dados experimentais para construir representações matemáticas ou estatísticas que descrevem as relações entre as variáveis observáveis de um sistema.

1. Natureza da modelagem empírica

• Baseia-se na correspondência entre modelo e realidade: o modelo só é útil se reproduzir de perto o comportamento observado do sistema .

• Usa técnicas estatísticas ou computacionais (ajuste de curvas, regressões, redes neurais) para encontrar padrões, sem pressupor forma funcional específica.

2. Origem filosófica

• Inspirada pelo empirismo radical de William James, que defende que nosso conhecimento vem diretamente da experiência.

• Reflete o teorema de Takens e o enfoque em sistemas dinâmicos, permitindo reconstrução de dinâmica complexa a partir de dados unidimensionais.

3. Diferença entre empírico e teórico

• Modelos teóricos partem de leis conhecidas (como leis de Newton ou termodinâmica), criando representações simplificadas com base em conceitos fundamentais .

• A modelagem empírica não assume relações predefinidas, mas descobre conexões e estruturas diretamente nos dados

1. Coleta de dados – observação, medições ou séries históricas.

2. Análise exploratória – gráficos de dispersão, estatísticas descritivas, identificação de tendências iniciais .

3. Escolha do método – regressão, aprendizado de máquina, redes neurais, decomposição ou projeção de dados.

4. Ajuste e validação – estimativa de parâmetros, avaliação de precisão, validação cruzada e análise de incerteza .

5. Interpretação e refinamento – avaliar se o modelo faz sentido prático e refinar com mais dados.

A modelagem empírica encontra aplicações em uma vasta gama de campos. Alguns exemplos incluem: 

Engenharia: Controle de processos industriais, projeto de sistemas de controle, previsão de desempenho de máquinas. 

Ciências Ambientais: Previsão de qualidade do ar e da água, modelagem de ecossistemas, análise de mudanças climáticas. 

Economia: Previsão de mercados financeiros, modelagem de crescimento econômico, análise de políticas econômicas. 

Medicina: Modelagem de respostas a medicamentos, previsão de progressão de doenças, otimização de tratamentos. 

Agricultura: Otimização de sistemas de irrigação, previsão de rendimento de culturas, manejo de pragas.

Transformar um sistema físico real (como um tanque, trocador de calor ou reator) em um modelo matemático que represente suas características dinâmicas. Isso possibilita:

• Simular o comportamento do sistema sem precisar operá-lo fisicamente;

• Projetar sistemas de controle (ex: manter a temperatura ou o nível de um tanque estáveis);

• Otimizar processos industriais, economizando energia, tempo e recursos;

• Antecipar problemas, como instabilidades ou respostas lentas.

  
  

O que compõe um modelo?

Todo modelo matemático de processo contínuo é formado por:

• Entradas (ex: vazão de entrada, calor fornecido)

• Saídas (ex: temperatura, nível)

• Variáveis de estado (ex: massa de fluido, energia acumulada)

• Parâmetros físicos (ex: área do tanque, capacidade térmica, resistência térmica)

Conservação de massa:

"A massa total em um sistema não pode ser criada nem destruída."

No contexto de um processo contínuo, como o escoamento de um fluido em um tanque, o balanço de massa é dado por:

dM(t)/dt = m(in) - m(out)

• ^{M(t): massa acumulada no sistema}

• ^{m(in): vazão mássica de entrada}

• ^{m(out): vazão mássica de saída}

Conservação de energia:

"A energia total de um sistema também é conservada — ela pode ser armazenada, transferida ou convertida."

O balanço de energia é formulado da seguinte forma:

dE(t)/dt = Q(in) - Q(out) + W(in) - W(out)

• ^{E(t): energia acumulada no sistema}

• ^{Q: fluxo de calor}

• ^{W: trabalho realizado}

Como aplicar esses balanços?

1. Escolha o volume de controle (a região do sistema que será analisada);

2. Liste todas as entradas e saídas de massa e/ou energia;

3. Aplique as equações de conservação;

4. Use relações constitutivas (como leis físicas específicas) para fechar o modelo.

• Leis de conservação (massa, energia, quantidade de movimento)

• Leis fenomenológicas e empíricas (observações da natureza)

Lei de Lavoisier (Conservação da Massa)

_{“Na natureza, nada se cria, nada se perde, tudo se transforma.”}

dM(t)/dt = m(in) - m(out)

Primeira Lei da Termodinâmica (Conservação da Energia)

^{A energia interna de um sistema pode variar com calor e trabalho trocados.}

dU/dt = Q(in) - Q(out) + W(in) - W(out)

Leis de Newton – Dinâmica de Sistemas

Segunda Lei (Força e movimento):

F = m * a

Base para modelar movimentos de fluidos, sólidos, pistões, etc.

Leis de Lagrange e Euler

• Lagrange: útil para sistemas com restrições, fornece equações diferenciais diretamente a partir de energia cinética e potencial.

• Euler: utilizada em sistemas contínuos como fluidos, modela conservação de momento e energia em forma vetorial.

Lei de Fourier – Condução de Calor

^{Relaciona fluxo de calor com gradiente de temperatura.}

q = -k * dT/dx

Lei de Resfriamento de Newton – Convecção Térmica

^{Usada para modelar transferência de calor por convecção, comum em trocadores de calor.}

Q = h A (T(superfície) - T(fluido))

Lei de Arrhenius – Cinética Química

^{Descreve como a velocidade de uma reação varia com a temperatura.}

k = A exp(-Ea / (R T))

^{_{k: constante de velocidade da reação}}

^{_{A: fator pré-exponencial}}

^{_{Ea: energia de ativação}}

^{_{R: constante dos gases}}

^{_{T: temperatura absoluta}}

Muito utilizada para modelar reações químicas em reatores contínuos, fermentadores e processos térmicos.

Vamos aplicar o que vimos até agora em um exemplo clássico da engenharia de processos: o tanque de nível com entrada e saída de fluido. Esse sistema está presente em indústrias químicas, alimentícias, farmacêuticas, estações de tratamento e muito mais.

Etapa 1:

Balanço de massa

Aplicando a Lei de Lavoisier, temos:

dM(t)/dt = m(in) - m(out)

Como M(t) = ρ A h(t)

^{e considerando densidade constante (ρ), temos:}

A * dh(t)/dt = q(in) - q(out)

Etapa 2:

Relação da vazão de saída

Pelo princípio de Torricelli (baseado na Lei de Bernoulli), a vazão de saída é proporcional à raiz quadrada do nível:

q(out) = k * sqrt(h(t))

^{Substituindo na equação anterior:}

A dh(t)/dt = q(in) - k sqrt(h(t))

^{Essa é uma equação diferencial não linear, que descreve a variação do nível do tanque ao longo do tempo.}

Interpretação

• ^{Quando q(in) > q(out), o nível sobe.}

• ^{Quando q(in) < q(out), o nível desce.}

• ^{O sistema tende a um estado estacionário onde q(in) = k * sqrt(h(est)).}

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Descrição do sistema

• Um fluido quente e um fluido frio passam por tubos paralelos separados por uma parede metálica;

• A troca de calor ocorre por condução e convecção;

• Vamos modelar o comportamento térmico do fluido frio, assumindo que o fluido quente tem temperatura constante.

Balanço de energia no fluido frio:

d(ρ* V Cp *T(t))/dt = h *A*(Tq - T(t))

• ^{ρ: densidade do fluido}

• ^{V: volume do fluido}

• ^{Cp: calor específico}

• ^{T(t): temperatura do fluido frio no tempo}

• ^{Tq: temperatura constante do fluido quente}

• ^{h: coeficiente de troca térmica}

• ^{A: área de troca térmica}

Simplificando e reorganizando:

dT(t)/dt = (h*A / (ρ*V*Cp)) *(Tq - T(t))

Essa é uma equação diferencial linear de 1ª ordem que descreve o aquecimento do fluido frio ao longo do tempo.

Interpretação:

• ^{Quando T(t) está muito abaixo de Tq, o fluido frio aquece rapidamente;}

• ^{À medida que T(t) se aproxima de Tq, a troca de calor diminui;}

• ^{O sistema tende ao equilíbrio térmico, onde T(t) = Tq.}

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Descrição do Sistema

• Um reagente A entra com vazão q1, concentração CA1 e temperatura T1;

• A reação química A → B ocorre dentro do reator, catalisada internamente;

• Uma camisa de resfriamento com temperatura Tc retira calor para manter a reação sob controle térmico.

Modelagem Matemática

• Balanço de Massa Global
  d(ρ V)/dt = ρ * q1 - ρ * q

• Balanço de Espécie (A)
  V dCA/dt = (CA1 - CA) q1 - Γ * V

• Balanço de Energia no Reator
  ρ*V *Cp* dT/dt = ρ* q1*Cp*(T1 - T) + (-ΔHr)*Γ *V + UA * (Tc - T)

• Balanço de Energia na Camisa
  ρc*Vc*Cpc*dTc/dt = ρc*qc*Cpc *(Tc0 - Tc) - UA * (Tc - T)

• Cinética da Reação (Lei de Arrhenius)
  Γ = k0*exp(-E / (R *T)) * CA

Simulação com Python

A simulação numérica considera os efeitos térmicos, reacionais e de troca com a camisa. O gráfico gerado mostra:

• Temperatura do reator (T) crescendo rapidamente até atingir um platô, onde o calor gerado é equilibrado pela remoção pela camisa;

• Concentração de A (CA) decrescendo exponencialmente, mostrando a conversão progressiva em produto;

• Temperatura da camisa (Tc) variando levemente e mantendo o sistema estável.

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• Variáveis de estado: aquelas que descrevem o estado interno do sistema ao longo do tempo.
  ^{Ex: temperatura T, nível h, concentração CA.}

• Variáveis de entrada: são controladas ou impostas ao sistema.
  ^{Ex: vazão de entrada q, temperatura de entrada T(in).}

• Variáveis de saída: são aquelas que medimos ou observamos.
  ^{Ex: nível final, temperatura final, conversão da reação.}

Formular um modelo:

1 – Definir o sistema

• Delimite as fronteiras físicas do que será modelado.
  ^{Ex: tanque, trocador, reator, etc.}

2 – Aplicar leis de conservação

• Massa

• Energia

• Quantidade de movimento

  
  

3 – Identificar relações constitutivas

• São equações que ligam variáveis físicas.
  ^{Ex: Lei de Fourier, Lei de Ohm, Equação de Arrhenius, etc.}

4 – Obter a equação diferencial final

• Substitua as expressões auxiliares nas equações de conservação

• Reorganize para obter equações diferenciais
  

A análise dinâmica de sistemas estuda como variáveis internas de um sistema evoluem ao longo do tempo em resposta a entradas, perturbações ou condições iniciais. Ela é fundamental na engenharia para prever comportamentos, projetar controladores e garantir estabilidade e desempenho em processos reais.

Por que estudar sistemas dinâmicos?

Porque a maioria dos sistemas não são estáticos: eles mudam com o tempo.

• Um tanque enche ou esvazia;

• Um forno aquece até a temperatura desejada;

• Um carro acelera e desacelera;

• Uma reação química evolui até o equilíbrio.

Esses comportamentos precisam ser modelados, analisados e controlados.

O que a análise dinâmica permite?

• Modelar sistemas reais com equações matemáticas;

• Prever comportamentos futuros;

• Projetar controladores (ex: PID);

• Simular diferentes condições e entradas;

• Estudar estabilidade, oscilação, resposta e tempo de acomodação.

• Lineares: seguem o princípio da superposição (proporcionalidade e aditividade).

  • Exemplo: dT/dt = -k * T

• Não Lineares: a resposta não é proporcional à entrada; envolvem potências, produtos de variáveis, exponenciais, etc.

  • Exemplo: dT/dt = -k * T²

Tempo Contínuo vs. Tempo Discreto

• Contínuos: variáveis definidas em todos os instantes de tempo.

  • ^{Modelagem por equações diferenciais}

• Discretos: variáveis definidas em instantes específicos (ex: a cada 1s).

  • ^{Modelagem por equações de diferenças}

Determinísticos vs. Estocásticos

• Determinísticos: mesmos parâmetros e entradas sempre geram a mesma saída.

• Estocásticos: envolvem incertezas, ruído ou variabilidade (ex: mercado financeiro, previsão do tempo).

Causais vs. Não Causais

• Causais: a saída depende apenas do presente e do passado.

• Não causais: a saída depende também do futuro (inviável em sistemas físicos reais).

Estáveis vs. Instáveis

• Estáveis: mesmo com perturbações, o sistema retorna ao equilíbrio.

• Instáveis: qualquer perturbação pode levar a uma resposta crescente ou divergente.

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Parâmetros

a (amplitude) - ≈ 78.26 °C

b (constante de taxa) - ≈ 0.035 min⁻¹

c (offset) - ≈ 23.32 °C

Simulador online: https://www.mycompiler.io/view/ARMKib1TGD5

O gráfico exibido mostra potência prevista vs. medida; a linha tracejada é o ideal 1:1. Os pontos próximos à linha indicam bom ajuste.

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Dados simulados

• Eixo X: Número de ciclos (0 a 1000)

• Eixo Y: Capacidade da bateria (com ruído simulado)

Modelo empírico usado

C(n)=a⋅exp(–b⋅n)+cC(n) = a · exp(–b·n) + c C(n)=a⋅exp(–b⋅n)+c

• n = número de ciclos

• a, b, c = parâmetros ajustados

• A forma é de um decaimento exponencial, comum em envelhecimento físico de sistemas.

O gráfico exibe os dados de capacidade da bateria e a curva ajustada com base no modelo empírico.

O modelo segue bem a tendência de perda gradual de capacidade com o número de ciclos.

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1. Identificação dos elementos (massas, molas, amortecedores, juntas, etc.)

2. Definição das variáveis (posição, velocidade, aceleração…)

3. Aplicação das leis físicas (normalmente as leis de Newton ou o Princípio de D’Alembert)

4. Montagem das equações diferenciais que representam o sistema.

5. Simulação computacional (em softwares como MATLAB, Simulink ou Python).

Modelo físico:

• Uma massa mmm

• Uma mola com constante kkk

• Um amortecedor com coeficiente de amortecimento ccc

• Aplicação da 2ª Lei de Newton

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1 - Entrada de vazão constante q_in

2 - Saída proporcional ao nível: q_out = k · h

Equação diferencial:

A · dh(t)/dt = q_in - k · h(t)

Onde:

1 - A = área da seção transversal do tanque

2 - h(t) = altura do nível ao longo do tempo

3 - k = constante proporcional à saída de vazão

^{O objetivo é obter uma versão aproximadamente linear do sistema para usar ferramentas mais simples de análise e controle.}

Como funciona a linearização?

Partimos de um sistema genérico:

dx(t)/dt = f(x, u, t)

E aplicamos a expansão em série de Taylor ao redor de um ponto de referência

(xref, uref):

x̄ = x − xref  

ū = u − uref  

Negligenciando as ordens superiores, temos o modelo linearizado:

dx̄(t)/dt = A·x̄(t) + B·ū(t)

Onde:

• A = ∂f/∂x |ref

• B = ∂f/∂u |ref

Essa abordagem é amplamente utilizada para simulações computacionais, controle linear e análise de estabilidade de sistemas não lineares.

Exemplo comum: tanques acoplados, onde a vazão depende da raiz da altura ➝ pode ser linearizado para estudar pequenas variações em torno do nível de operação.

Ela transforma equações diferenciais do domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a solução de sistemas lineares.

Propriedades importantes:

• Linearidade:

L{a·f(t) + b·g(t)} = a·F(s) + b·G(s)

• Derivadas no tempo viram multiplicações por s:

L{df(t)/dt} = s·F(s) − f(0)
L{d²f(t)/dt²} = s²·F(s) − s·f(0) − f'(0)

• Integrais viram divisões por s:

L{∫₀^t f(τ) dτ} = F(s)/s

Por que usar Laplace?

1. Elimina as derivadas das EDOs

2. Facilita o uso de álgebra para resolver sistemas

3. Permite a análise de estabilidade, resposta em frequência, etc.

4. É a base para encontrar a função de transferência dos sistemas!

Degrau (Step)

^{Usado para testar a estabilidade e a velocidade de resposta de sistemas.}

u(t) = { A, t ≥ 0 ; 0, t < 0 }

L{u(t)} = A / s

Impulso (Delta de Dirac)

^{Ideal para analisar a resposta natural de um sistema (resposta ao impulso).}

δ(t) = impulso unitário em t = 0

L{δ(t)} = 1

Pulso Retangular

^{Simula um estímulo de curta duração.}

u(t) = { H, 0 ≤ t ≤ T ; 0, caso contrário }

L{u(t)} = H · (1 - e^(–sT)) / s

Senoide

^{Importante para análise em frequência e sistemas oscilatórios.}

u(t) = sin(ω·t)

L{u(t)} = ω / (s² + ω²)

Esses sinais são a base para entender como um sistema reage a diferentes estímulos no tempo. A forma da resposta (amortecida, estável, instável) revela muito sobre a natureza do sistema.

Isso é muito útil na análise de sistemas dinâmicos, especialmente lineares com coeficientes constantes.

No código trazemos exemplos de:

1. Sistema de 1ª Ordem

2. Sistema de 2ª Ordem

3. Sistema de 3ª Ordem

Exemplo SISO (entrada e saída únicas)

Se a função de transferência for:

G(s) = Y(s)/U(s) = b(s) / a(s)

^{O comportamento do sistema é determinado pelas raízes do polinômio a(s).}

Classificação das raízes:

• Estável: todas as partes reais das raízes são negativas → resposta decai com o tempo.

• Marginalmente estável: parte real = 0 (raízes puramente imaginárias) → resposta constante ou oscilante sem decaimento.

• Instável: pelo menos uma raiz com parte real positiva → resposta cresce indefinidamente.

• Integrador puro: quando há raiz exatamente em zero → sistema acumula entrada ao longo do tempo.

Caso MIMO (várias entradas e saídas):

^{A função de transferência passa a ser uma matriz G(s):}

Y(s) = G(s)·U(s)  

onde G(s) = (s·I − A)⁻¹·B

^{Cada elemento Gᵢⱼ(s) tem seu próprio conjunto de polos, mas a estabilidade do sistema como um todo depende da matriz A.}

Importância: sistemas instáveis ou marginalmente estáveis exigem atenção especial no projeto de controle.

Modelo de 1ª Ordem

Equação no tempo:

τp·dy(t)/dt + y(t) = Kp·u(t)

Função de transferência:

G(s) = Y(s)/U(s) = Kp / (τp·s + 1)

Onde:

• Kp = ganho estático do sistema

• τp = constante de tempo (define a rapidez da resposta)

Modelo Capacitivo Puro (Integrador)

Equação no tempo:

dy(t)/dt = KI·u(t)

Função de transferência:

G(s) = KI / s

Usado para representar sistemas que acumulam entrada ao longo do tempo (como tanques ou posicionadores).

Modelo de 2ª Ordem

Equação no tempo:

τ²·d²y/dt² + 2ξτ·dy/dt + y = Kp·u(t)

Função de transferência:

G(s) = Kp / (τ²·s² + 2ξτ·s + 1)

Onde:

• ξ = fator de amortecimento

• τ = período natural de oscilação

• Kp = ganho estático

Análise do amortecimento (ξ)

• ξ ≥ 1 ➝ Superamortecido

• 0 < ξ < 1 ➝ Subamortecido (oscilação com decaimento)

• ξ = 0 ➝ Não amortecido (oscilação contínua)

• ξ < 0 ➝ Instável (crescimento oscilante ou monotônico)

  
  

Esses modelos ajudam a prever o comportamento do sistema e são base para o projeto de controladores como PID.

1. Balanço de Massa

dV/dt = qi − k·√h

• V(t): volume do fluido no tanque

• qi: vazão constante de entrada

• k·√h: vazão de saída proporcional à raiz da altura (não linear)

• Como simplificação, consideramos h ≈ V (altura proporcional ao volume)

^{Esse termo √h representa um escoamento gravitacional comum em reservatórios.}

2. Balanço de Energia

ρ·V·cp·dT/dt = ρ·qi·cp·(Ti − T) + ρ·qc·λc·(Tc − T)

• T(t): temperatura do fluido no tanque

• Ti: temperatura da corrente de entrada

• Tc: temperatura da fonte térmica (aquecedor)

• λc: eficiência do trocador de calor

• qc: vazão do fluido de aquecimento

• O lado direito representa o ganho/perda de energia via entrada e aquecimento