W mechanice rozróżnia się dwa podstawowe rodzaje wahadeł^[1]:

Ważną cechą wahadeł fizycznego i matematycznego jest niemal pełna niezależność ich okresu drgań od amplitudy, co jest dobrze spełnione dla małych wychyleń^[a]. Własność ta, zwana izochronizmem drgań, została odkryta około 1602 roku przez Galileusza, który używał wahadła do pomiaru czasu. Zainspirowany tą zasadą Christiaan Huygens zbudował w 1656 roku pierwszy zegar wahadłowy^[2]. Zegary wahadłowe były najdokładniejszymi urządzaniami do pomiaru czasu aż do skonstruowania w latach 30. XX wieku zegarów kwarcowych.

W ogólności wahadło jest oscylatorem anharmonicznym, jego okres drgań i inne parametry zależy od amplitudy. Opis matematyczny rozwiązań równania ruchu wahadła jest w ogólności dość złożony, ale założenia upraszczające przyjmowane dla małych amplitud drgań pozwalają rozwiązać równania ruchu w sposób analityczny.

Jeżeli siła sprężystości sprężyny jest proporcjonalna do wychylenia ciała z położenia równowagi, to drgania są drganiami harmonicznymi prostymi. Warunek ten jest dobrze spełniony, jeżeli sprężyna nie zostanie rozciągnięta zbyt mocno (naprężenia w sprężynie są poniżej granicy plastyczności). Dla takich drgań ich okres jest niezależny od ciężaru ciała (jest niezmienny np. na różnych planetach), natomiast zależy od masy {\displaystyle m}

ciała i współczynnika sprężystości sprężyny {\displaystyle k}

Przydatne hasło?

Podobne hasła:

podstawowe pojęcia opisujące ruch drgający Drgania i fale mechaniczneRuch harmoniczny prosty Okres drgań T Faza drgania α wzór definicjafizyka Ruch drgający jako źródło fal mechanicznych Definicje wielkości opisujących pole grawitacyjne Definicje wielkości opisujących ruch obrotowy bryły sztywnej Definicje podstawowych wielkości opisujących przepływ prądu stałego Definicje wielkości opisujących ruch

Podobne prace:

m

m oznacza masę

ϕ

ϕ oznacza przesunięcie fazowe



Częstość kołowa (pulsacja)

Tak zwany "wzór na omegę" w fizyce oznacza częstość kołową (zwaną też pulsacją) i wyraża się wzorem:

ω=2πf=2πT

ω=2πf=2πT [rad/s]

gdzie:
f to częstotliwość,
T to okres,

2π

2π to miarą kąta pełnego w radianach.

Częstość kołowa jest wielkość określająca, jak szybko powtarza się zjawisko okresowe - na przykład jak szybko ziemia ponownie okrąży słońce. Zaletą używania częstości kołowej zamiast częstotliwości jest uproszczenie zapisu - symbol 

π

π zostaje ukryty.

Kiedy rozpatrujemy ruchu po okręgu, częstość kołowa jest równa prędkości kątowej.


Siłą w ruchu drgającym harmonicznym

w uproszczeniu (dla małych kątów, dla których możemy zaniedbać ich sinus) siłę można zapisać jako:

F→=−mω2x→

F→=-mω2x→ 

⇔

⇔ 

F→=−mω2xiˆ

F→=-mω2xi^

gdzie 

iˆ

i^ to wektor jednostkowy z 

x→

x→

F→=−m(gl)x→

F→=-m(gl)x→ - siła działająca w modelu wahadła matematycznego

F→=−kx→

F→=-kx→ - siła działająca w modelu sprężynki




Równanie ruchu drgającego harmonicznego

x=xmaxsin(ωt+ϕ)

x=xmaxsin(ωt+ϕ)



Kiedy analizujemy ruch od położenia równowagi to przesunięcie fazowe 

ϕ=0

ϕ=0, więc:

x=xmaxsin(ωt)

x=xmaxsin(ωt)



Kiedy analizujemy ruch od położenia maksymalnego wychylenia przesunięcie fazowe 

ϕ=π2

ϕ=π2.
Możemy więc uprościć wzór zamieniając funkcje sinus w jej kofunkcję:

x=xmaxcos(ωt)

x=xmaxcos(ωt)



Uwaga: Amplituda oznaczana symbolem 

A

A jest dokładnie równa wartości wychylenia maksymalnego, dla tego może być stosowana wymiennie z 

xmax

xmax w powyższych wzorach.






Prędkość w ruchu drgającym harmonicznym

v=−vmaxcos(ωt+ϕ)

v=-vmaxcos(ωt+ϕ)


Kiedy analizujemy ruch od położenia równowagi to przesunięcie fazowe 

ϕ=0

ϕ=0, więc:

v=−vmaxcos(ωt)

v=-vmaxcos(ωt)


Kiedy analizujemy ruch od położenia maksymalnego wychylenia przesunięcie fazowe 

ϕ=π2

ϕ=π2.
Możemy więc uprościć wzór zamieniając funkcje cosinus w jej kofunkcję:

v=−vmaxsin(ωt)

v=-vmaxsin(ωt)


Kolejnym istotnym wzorem jest wzór na prędkość maksymalną, jaką może mieć ciało:

vmax=ωxmax

vmax=ωxmax


Informacja: minus w powyższych wzorach informuje jedynie o geometrii ruchu, w obliczeniach skalarnych można go zaniedbać.




Przyspieszenie w ruchu drgającym harmonicznym

a=−amaxsin(ωt+ϕ)

a=-amaxsin(ωt+ϕ)


Kiedy analizujemy ruch od położenia równowagi to przesunięcie fazowe 

ϕ=0

ϕ=0, więc:

a=−amaxsin(ωt)

a=-amaxsin(ωt)


Kiedy analizujemy ruch od położenia maksymalnego wychylenia przesunięcie fazowe 

ϕ=π2

ϕ=π2.
Możemy więc uprościć wzór zamieniając funkcje sinus w jej kofunkcję:

a=−amaxcos(ωt)

a=-amaxcos(ωt)


Kolejnym istotnym wzorem jest wzór na przyspieszenie maksymalne, jaką może mieć ciało:

amax=ω2xmax

amax=ω2xmax


Informacja: minus w powyższych wzorach informuje jedynie o geometrii ruchu, w obliczeniach skalarnych można go zaniedbać.




Energia w ruchu drgającym harmonicznym

{Ep=kx22x=xmaxsin(ωt+ϕ)

{Ep=kx22x=xmaxsin(ωt+ϕ)

Ep=kx2maxsin2(ωt+ϕ)2

Ep=kxmax2sin2(ωt+ϕ)2

Ponieważ wartość energii potencjalnej będzie niezerowa tylko dla ciał nie znajdujących się w momencie równowagi, przesunięcie fazowe 

ϕ≠0

ϕ≠0. W zakresie licealnym rozpatruje się tylko jeden szczególny przypadek maksymalnego wychylenia, kiedy 

ϕ=π2

ϕ=π2. Oznacza to, że we wzorze sinus zmienia się na cosinus.

Ep=kx2maxcos2(ωt)2

Ep=kxmax2cos2(ωt)2

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪Ek=mv22v=vmaxsin(ωt)vmax=xmaxω

{Ek=mv22v=vmaxsin(ωt)vmax=xmaxω

Ek=mv2maxsin2(ωt)2

Ek=mvmax2sin2(ωt)2 

⇔

⇔ 

Ek=mx2maxω2sin2(ωt)2

Ek=mxmax2ω2sin2(ωt)2


Uwaga: energia potencjalna i kinetyczna podczas ruchu wahadła czy innego oscylatora sumuje się do stałej wartości.




Ruch drgający harmoniczny - podsumowanie

F→=−mω2x→

F→=-mω2x→ - ogólny wzór siły w oscylatorze harmonicznym

F→=−m(gl)x→

F→=-m(gl)x→ - wahadło matematyczne

F→=−kx→

F→=-kx→ - sprężynka

x=xmaxsin(ωt+ϕ)

x=xmaxsin(ωt+ϕ)

v=−vmaxcos(ωt+ϕ)

v=-vmaxcos(ωt+ϕ)

a=−amaxsin(ωt+ϕ)

a=-amaxsin(ωt+ϕ)

ω=2πf

ω=2πf

Ep=kx2maxcos2ωt2

Ep=kxmax2cos2ωt2

Ek=mv2maxsin2ωt2

Ek=mvmax2sin2ωt2





Prawo załamania fal

sinαsinβ=v1v2

sinαsinβ=v1v2



Natężenie fali

I=ΔEΔSΔt

I=ΔEΔSΔt

jednostka: 

Wm2

Wm2


Siła powodująca ruch wahadła matematycznego - To się w zadaniach nie przydaje, ale ważna teoria

F=mgsin(α)

F=mgsin(α)

gdzie:

α

α - kąt wychylenia od położenia równowagi

m

m - masa przedmiotu zawieszonego na nici

g

g - przyspieszenie grawitacyjne ziemskie

Fale mechaniczne poprzeczne nie mogą rozchodzić się w objętości ośrodków płynnych, gdyż te nie przenoszą sił ścinających, natomiast mogą rozchodzić się tylko w ciałach stałych. Na tej podstawie stwierdzono, np. że jądro Ziemi jest płynne. Fale na granicy ośrodków są z natury falami poprzecznymi, choć na granicy dwóch płynów ruch cząstek może być bardziej złożony (np. fale na wodzie).

Przeciwieństwem fal poprzecznych są fale podłużne. W ciałach stałych, w których mogą rozchodzić się oba rodzaje fal, fale poprzeczne rozchodzą się wolniej.

Fale ciśnienia[edytuj]

W ośrodku sprężystym harmoniczna podłużna fala płaska biegnąca w kierunku dodatnim wzdłuż osi {\displaystyle x}

(rys. 1) opisana jest zależnością:

{\displaystyle y(x,t)\,=y_{0}\cos(\omega t-kx+\varphi )}

,

gdzie:

{\displaystyle y}

– miara odkształcenia ośrodka (np.: ciśnienie w powietrzu, naprężenie w ciele stałym)

{\displaystyle y_{0}}

– amplituda fali,

{\displaystyle k}

– liczba falowa,

{\displaystyle x}

– współrzędna w kierunku, w którym rozchodzi się fala,

{\displaystyle \omega }

– częstość kołowa,

{\displaystyle t}

– czas,

{\displaystyle \varphi }

– faza początkowa fali.

Równanie podłużnej fali kulistej ma natomiast postać:

{\displaystyle y(x,t)\,=y_{0}\cos(\omega t-{\overrightarrow {k}}\cdot {\overrightarrow {r}}+\varphi )}

,

gdzie:

{\displaystyle {\overrightarrow {k}}}

– wektor falowy, którego kierunek i zwrot wskazują kierunek i zwrot ruchu czoła fali w danym miejscu,

{\displaystyle {\overrightarrow {r}}}

– wektor wodzący.

Źródłem dźwięków słyszalnych są ciała wprawione w drgania, których energia jest dostateczna, aby wywołać w ludzkim organie słuchu (uchu) najsłabsze wrażenia słuchowe. Oznacza to, że natężenie dźwięków musi przekraczać próg słyszalności.

Zgodnie z normą PN-86/N-01338, w odniesieniu do infradźwięków sztucznego pochodzenia, wprowadzono pojęcie hałasu infradźwiękowego oraz hałasu niskoczęstotliwościowego.

Zjawisko to można spotkać w życiu codziennym na klatkach schodowych, korytarzach, w pustych pomieszczeniach – wszędzie tam, gdzie występują duże powierzchnie dobrze odbijające dźwięk.




Echo – fala akustyczna odbita od przeszkody i docierająca do obserwatora po zaniku wrażenia słuchowego fali docierającej bezpośrednio. Wrażenie echa pojawia się, gdy opóźnienie pomiędzy falą bezpośrednią a falą odbitą jest większe niż 100 ms. Przy krótszym opóźnieniu ma się do czynienia z pogłosem^[1].

Czas opóźnienia powyżej 100 ms umożliwia człowiekowi wyraźne rozróżnienie obu dźwięków (jest dwukrotnie większy od rozdzielczości czasowej słuchu). Przy temperaturze około 20 °C odpowiada to sytuacji, gdy odbijająca przeszkoda jest oddalona o minimum 17 m.

Zjawisko echa obserwuje się najczęściej w wyniku odbicia dźwięku od ścian lasów, górskich zboczy, skał, jarów. Echo swojego głosu można usłyszeć, gdy odbity dźwięk powraca i dociera do własnego ucha.

Statki wodne używają urządzeń zwanych echosondami do określenia odległości od dna lub wykrywania nieznanych przeszkód. Urządzenie zwane sonarem wysyła wiązki fal dźwiękowych, które po odbiciu wracają i są rejestrowane na specjalnym wykresie.

Zjawisko echa akustycznego ultradźwięków wykorzystuje się w m. in. w hydrolokacji, defektoskopii, ultrasonografii.

Rezonans występuje, gdy układ drgający pobiera energię ze źródła pobudzającego go i jest w stanie przechowywać ją. Jednakże zazwyczaj w układzie istnieją pewne straty energii powodowane tłumieniem. Zależą one od amplitudy drgań układu i przy sile wymuszającej o ustalonej amplitudzie osiągany jest stan równowagi.

Układy rezonansowe mogą generować drgania o określonej częstotliwości (np. instrumenty muzyczne) poprzez wzmacnianie niektórych częstotliwości wibracji (częstotliwości własne) z kompleksu zawierającego wiele częstotliwości źródła drgań. Działają wówczas jako filtry częstotliwości.

Gdy układ drgający o słabym tłumieniu pobudzany jest drganiem o częstotliwości zbliżonej do jego częstotliwości własnej, układ okresowo pobiera i oddaje energię zmieniając amplitudę cyklicznie, co określane jest jako dudnienie.

Rezonans został po raz pierwszy opisany przez Galileusza jako wniosek z jego badań sprzężonych wahadeł oraz strun instrumentów muzycznych w 1602 r.^[1]