Usando el triángulo rectángulo, podemos obtener relaciones para las coordenadas polares en términos de las coordenadas rectangulares. Observamos que las coordenadas en x forman la base del triángulo rectángulo y las coordenadas en y forman la altura.

Además, vemos que la distancia r corresponde a la hipotenusa del triángulo. Entonces, podemos usar el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la hipotenusa:

r^2=(x^2)+(y^2)

 El ángulo θ puede ser encontrado usando la función tangente. Recordemos que la tangente de un ángulo es igual al lado opuesto dividido por el lado adyacente. El lado opuesto es el componente y y el lado adyacente es el componente x. Entonces, tenemos:

θ =tan^-1(y/x)

 

Debido a que el rango de la función tangente inversa va desde  hasta , esto no cubre los cuatro cuadrantes del plano cartesiano, por lo que muchas veces, la calculadora puede dar el valor incorrecto de .

Esto depende en el cuadrante en el que se ubica el punto. Podemos usar lo siguiente para arreglar esto: 

Cuadrante    |   valor de Tan^-1
         1           |   valor de calculadora
         2          |   valor de calculadora + 90°
         3          |   valor de calculadora + 180°
4 | valor de calculadora + 270°

Tanto el componente en x como el componente en y son positivos, por lo que el punto está en el primer cuadrante. Esto significa que el ángulo obtenido es el correcto.

Las coordenadas polares son (5, 0.93 rad). 

Las coordenadas polares tienen la forma , en donde, r es la distancia del punto desde el origen y θ es el ángulo formado por la línea y el eje x. Las coordenadas rectangulares o coordenadas cartesianas tienen la forma .

Para transformar de coordenadas polares a coordenadas rectangulares, usamos trigonometría y relacionamos a estas dos coordenadas.

Claramente, vemos que podemos encontrar las coordenadas x usando la función coseno y podemos encontrar las coordenadas en y usando la función seno. Entonces, tenemos las fórmulas:

x= r*cos( θ )
y= r*sin( θ )

x = x´ + x_o
y = y´ + y_o

El propósito de tal traslación de ejes es simplificar la ecuación de una curva para procesamiento posterior. Por ejemplo, un círculo con centro en (1, 2) y un radio r = 3, se puede describir por medio de la siguiente ecuación:

(x - 1) ² + (y - 2) ² = 3²

Cuando los ejes de referencia se cambian a O´(1, 2), el mismo círculo se puede describir como:

[(x´+1) - 1] ² + [(y´+2) - 2] ² = 3²
o
(x´) ² + (y´)² = 3²

Si los ejes originales x y y rotan en sentido contrario al reloj un ángulo , para cualquier punto P(x, y), las coordenadas originales (x, y) se convierten en las nuevas coordenadas (x ´, y ´), que son:

x ´ = x cos  + y sen
y´ = - x sen  + y cos

Para derivar la ecuación en las nuevas coordenadas, necesitamos expresar las coordenadas originales en las nuevas coordenadas:

x = x ´ cos  - y ´ sen
y = x ´ sen  + y cos

Como ejemplo de rotación, considera una ecuación simple y = x + 2^1/2, que es una línea. Si los ejes originales x e y rotan en sentido contrario al reloj un ángulo de 45°, las coordenadas originales se pueden expresar como:

x = x ´ cos 45° - y ´ sen 45°
y = x ´ sen 45° + y ´ cos 45°

Por lo tanto,

x = x ´ (2^1/2/2) - y ´ (2^1/2/2)
y = x ´ (2^1/2/2) + y ´ (2^1/2/2)

Entonces, la ecuación y = x + 2^1/2 se convierte en:

x ´ (2^1/2/2) + y ´ (2^1/2/2) = x ´ (2^1/2/2) - y ´ (2^1/2/2) + 2^1/2

y ´ = 1

En las nuevas coordenadas, la ecuación es una línea paralela al eje x ´, +1 unidad separada del eje x ´.