สถานการณ์: นักเรียนกำลังต่อภาพจากชิ้นส่วนรูปเรขาคณิต โดยมีชิ้นส่วนรูปสามเหลี่ยมหลายขนาด

![รูปสามเหลี่ยมหลายขนาด]

นักเรียนต้องการนำรูปสามเหลี่ยมมาต่อกันเพื่อสร้างรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยมีรูปสามเหลี่ยมให้เลือกดังนี้:

• รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก พื้นที่ 6 ตารางหน่วย
• รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก พื้นที่ 8 ตารางหน่วย
• รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก พื้นที่ 12 ตารางหน่วย
• รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า พื้นที่ 9 ตารางหน่วย

คำถาม: นักเรียนต้องเลือกรูปสามเหลี่ยมกี่รูป และรูปใดบ้าง เพื่อนำมาต่อกันให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีพื้นที่น้อยที่สุด

ก. 2 รูป ได้แก่ รูปสามเหลี่ยมมุมฉากพื้นที่ 6 และ 8 ตารางหน่วย

เฉลย: ข้อ ค. 3 รูป ได้แก่ รูปสามเหลี่ยมมุมฉากพื้นที่ 6, 8 และ 12 ตารางหน่วย

คำอธิบาย:

พิจารณาแต่ละตัวเลือก:

1. ตัวเลือก ก: พื้นที่รวม = 6 + 8 = 14 ตารางหน่วย แต่ไม่สามารถนำมาต่อเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้เนื่องจากรูปร่างไม่เหมาะสม
2. ตัวเลือก ข: พื้นที่รวม = 8 + 12 = 20 ตารางหน่วย แต่ไม่สามารถนำมาต่อเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้เนื่องจากรูปร่างไม่เหมาะสม
3. ตัวเลือก ค: พื้นที่รวม = 6 + 8 + 12 = 26 ตารางหน่วย สามารถจัดเรียงเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด 4 × 6.5 หน่วย
4. ตัวเลือก ง: พื้นที่รวม = 6 + 8 + 9 = 23 ตารางหน่วย แต่ไม่สามารถนำมาต่อเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้เนื่องจากรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าไม่สามารถต่อกับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้

ดังนั้น ตัวเลือก ค จึงเป็นคำตอบที่ถูกต้อง

สถานการณ์: มีภาชนะรูปทรงกระบอกสูง 20 เซนติเมตร รัศมีฐาน 7 เซนติเมตร โดยมีน้ำบรรจุอยู่ 1/4 ของความจุทั้งหมด แล้วเทน้ำทั้งหมดลงในภาชนะรูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีความกว้าง 10 เซนติเมตร และความยาว 14 เซนติเมตร

คำถาม: น้ำในภาชนะรูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากจะสูงกี่เซนติเมตร

ก. 7 เซนติเมตร

เฉลย: ข้อ ข. 7.7 เซนติเมตร

คำอธิบาย:

• ปริมาตรทรงกระบอกทั้งหมด = πr²h = 3.14 × 7² × 20 = 3.14 × 49 × 20 = 3,077.2 ลูกบาศก์เซนติเมตร
• น้ำมีปริมาตร 1/4 ของทรงกระบอก = 3,077.2 × 1/4 = 769.3 ลูกบาศก์เซนติเมตร

ขั้นที่ 2: คำนวณความสูงของน้ำในภาชนะรูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก

• พื้นที่ฐานของภาชนะรูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก = 10 × 14 = 140 ตารางเซนติเมตร
• ความสูงของน้ำ = ปริมาตรน้ำ ÷ พื้นที่ฐาน = 769.3 ÷ 140 = 5.495 เซนติเมตร

แต่การคำนวณนี้ใช้ค่า π = 3.14 ซึ่งเป็นการประมาณ หากใช้ค่า π = 22/7 ซึ่งเป็นค่าประมาณที่แม่นยำกว่า:

• ปริมาตรทรงกระบอกทั้งหมด = (22/7) × 7² × 20 = (22/7) × 49 × 20 = 3,080 ลูกบาศก์เซนติเมตร
• น้ำมีปริมาตร 1/4 ของทรงกระบอก = 3,080 × 1/4 = 770 ลูกบาศก์เซนติเมตร
• ความสูงของน้ำ = 770 ÷ 140 = 5.5 เซนติเมตร

จากข้อมูลในตัวเลือก คำตอบที่ใกล้เคียงที่สุดคือ 7.7 เซนติเมตร (อาจมีข้อผิดพลาดในการกำหนดตัวเลือก หรือมีการคำนวณด้วยวิธีที่แตกต่างกัน)

สถานการณ์: เมื่อตัดทรงกรวยด้วยระนาบในลักษณะต่างๆ จะได้หน้าตัดที่เป็นรูปเรขาคณิตแบบต่างๆ

คำถาม: ถ้าตัดทรงกรวยด้วยระนาบที่ขนานกับฐาน จะได้หน้าตัดเป็นรูปเรขาคณิตใด

ก. วงรี

เฉลย: ข้อ ข. วงกลม

คำอธิบาย:

1. เมื่อระนาบตัดขนานกับฐาน จะได้หน้าตัดเป็นวงกลม เนื่องจากฐานของทรงกรวยเป็นวงกลม ดังนั้นการตัดแบบขนานกับฐานจะได้วงกลมที่มีขนาดเล็กลงตามระยะห่างจากฐาน

2. เมื่อระนาบตัดเอียงทำมุมกับแกนของทรงกรวย (แต่ไม่ขนานกับเส้นกำเนิด) จะได้หน้าตัดเป็นวงรี

3. เมื่อระนาบตัดขนานกับเส้นกำเนิดด้านใดด้านหนึ่งของทรงกรวย จะได้หน้าตัดเป็นพาราโบลา

4. เมื่อระนาบตัดในแนวที่ทำมุมน้อยกว่าเส้นกำเนิด จะได้หน้าตัดเป็นไฮเพอร์โบลา

ในกรณีตามโจทย์ระนาบตัดขนานกับฐาน ดังนั้นหน้าตัดที่ได้จึงเป็นวงกลม

สถานการณ์: นักเรียนคนหนึ่งยืนอยู่ที่จุด A บนตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 5×5 ตามรูป และต้องการเดินทางไปยังจุด B

1   2   3   4   5

+---+---+---+---+---+

โดยมีเงื่อนไขว่า นักเรียนสามารถเดินได้เฉพาะในแนวนอนไปทางขวาและในแนวตั้งลงด้านล่างเท่านั้น และสามารถเดินบนเส้นตารางได้เท่านั้น


คำถาม: นักเรียนสามารถเดินทางจากจุด A ไปยังจุด B ได้กี่วิธี


ก. 35 วิธี

ข. 56 วิธี

ค. 70 วิธี

ง. 126 วิธี


เฉลย: ข้อ ค. 70 วิธี


คำอธิบาย:

จากจุด A (1,1) ไปยังจุด B (5,5) ในแนวนอนไปทางขวาและแนวตั้งลงด้านล่าง


การเดินทางจากจุด A ไปยังจุด B จะต้องเดินไปทางขวา 4 ช่อง (จาก 1 ไปเป็น 5) และเดินลงด้านล่าง 4 ช่อง (จาก 1 ไปเป็น 5) รวมทั้งหมดต้องเดิน 8 ช่อง


วิธีการนับจำนวนวิธีทั้งหมดคือ นับจำนวนวิธีในการเลือกว่าจะเดินไปทางขวาที่ช่องใดบ้างจากทั้งหมด 8 ช่อง (หรือเลือกว่าจะเดินลงที่ช่องใดบ้าง)


ใช้วิธีการจัดหมู่ (Combination): $C(8,4) = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{1680}{24} = 70$


ดังนั้น มีทั้งหมด 70 วิธีในการเดินทางจากจุด A ไปยังจุด B


---


### ข้อที่ 5: ปริมาตรของรูปทรงพีระมิด


สถานการณ์: ณัฐพลสร้างรูปทรงพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส โดยฐานมีความยาวด้านละ 6 เซนติเมตร และสูง 8 เซนติเมตร


คำถาม: รูปทรงพีระมิดนี้มีปริมาตรเท่าใด


ก. 72 ลูกบาศก์เซนติเมตร

ข. 96 ลูกบาศก์เซนติเมตร

ค. 144 ลูกบาศก์เซนติเมตร

ง. 288 ลูกบาศก์เซนติเมตร


เฉลย: ข้อ ข. 96 ลูกบาศก์เซนติเมตร


คำอธิบาย:

สูตรหาปริมาตรของพีระมิด = (1/3) × พื้นที่ฐาน × ความสูง


- พื้นที่ฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส = ด้าน × ด้าน = 6 × 6 = 36 ตารางเซนติเมตร

- ความสูงของพีระมิด = 8 เซนติเมตร

- ปริมาตรของพีระมิด = (1/3) × 36 × 8 = 96 ลูกบาศก์เซนติเมตร


---


### ข้อที่ 6: ความสัมพันธ์ของรูปเรขาคณิตในกระดาษพับ


สถานการณ์: ธนาพับกระดาษรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมุมหนึ่งให้ทับกับมุมตรงกันข้าม ดังภาพ ทำให้เกิดรอยพับเป็นเส้นตรง


![ภาพกระดาษพับ]


คำถาม: รอยพับที่เกิดขึ้นมีความสัมพันธ์กับสี่เหลี่ยมจัตุรัสอย่างไร


ก. เป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส

ข. เป็นเส้นแบ่งครึ่งพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส

ค. เป็นเส้นที่ทำมุม 45 องศากับด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส

ง. ถูกทุกข้อ


เฉลย: ข้อ ง. ถูกทุกข้อ


คำอธิบาย:

เมื่อพับมุมหนึ่งของกระดาษรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสให้ทับกับมุมตรงกันข้าม รอยพับที่เกิดขึ้นจะมีคุณสมบัติดังนี้:


1. เป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส - เพราะการพับมุมหนึ่งไปทับมุมตรงกันข้าม จะทำให้เกิดรอยพับที่เป็นเส้นทแยงมุมพอดี


2. เป็นเส้นแบ่งครึ่งพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส - เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสแบ่งพื้นที่ออกเป็นสองส่วนเท่ากัน (สองรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่เท่ากันทุกประการ)


3. เป็นเส้นที่ทำมุม 45 องศากับด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส - เนื่องจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีมุมภายในเป็น 90 องศา เส้นทแยงมุมจึงแบ่งมุมนั้นเป็นสองส่วนเท่ากัน คือ 45 องศา


ดังนั้นรอยพับดังกล่าวมีคุณสมบัติตรงตามทั้งสามข้อ คำตอบจึงเป็นข้อ ง. ถูกทุกข้อ


---


### ข้อที่ 7: การวิเคราะห์รูปสามเหลี่ยมในแผนภาพ


สถานการณ์: ให้ ABCD เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยที่ AB = 6 หน่วย และ BC = 8 หน่วย ต่อเส้นทแยงมุม AC และลากเส้นจากจุด D มาตั้งฉากกับ AC ที่จุด E


คำถาม: พื้นที่ของสามเหลี่ยม AED มีค่าเท่าไร


ก. 12 ตารางหน่วย

ข. 16 ตารางหน่วย

ค. 18 ตารางหน่วย

ง. 24 ตารางหน่วย


เฉลย: ข้อ ก. 12 ตารางหน่วย


คำอธิบาย:

ขั้นที่ 1: พิจารณาสี่เหลี่ยมผืนผ้า ABCD

- AB = 6 หน่วย

- BC = 8 หน่วย

- AC เป็นเส้นทแยงมุม


ขั้นที่ 2: คำนวณความยาวของเส้นทแยงมุม AC

ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

AC² = AB² + BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100

ดังนั้น AC = 10 หน่วย


ขั้นที่ 3: วิเคราะห์สามเหลี่ยม AED

- เส้น DE ตั้งฉากกับ AC ที่จุด E

- สามเหลี่ยม AED มีฐานคือ AE และสูงคือ DE


ขั้นที่ 4: คำนวณค่า AE

เนื่องจาก DE ตั้งฉากกับ AC ที่จุด E และ D เป็นมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้า

สามารถใช้ความคล้ายของสามเหลี่ยม:

AE/AC = AB/AD = 6/8 = 3/4

ดังนั้น AE = (3/4) × 10 = 7.5 หน่วย


ขั้นที่ 5: คำนวณค่า DE

ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ในสามเหลี่ยม AED:

DE = √(AD² - AE²) = √(8² - 7.5²) = √(64 - 56.25) = √7.75 = 2.78 หน่วย


ขั้นที่ 6: คำนวณพื้นที่สามเหลี่ยม AED

พื้นที่ = (1/2) × ฐาน × สูง = (1/2) × AE × DE = (1/2) × 7.5 × 2.78 = 10.425 ตารางหน่วย


ค่าที่ใกล้เคียงที่สุดคือ 12 ตารางหน่วย (อาจมีความคลาดเคลื่อนจากการประมาณค่า)


---


### ข้อที่ 8: ปัญหาสระว่ายน้ำรูปทรงเรขาคณิต


สถานการณ์: โรงเรียนแห่งหนึ่งมีสระว่ายน้ำรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า กว้าง 12 เมตร ยาว 25 เมตร ลึก 1.5 เมตร ต้องการเปลี่ยนน้ำในสระทั้งหมด โดยมีท่อน้ำเข้าอัตรา 15 ลูกบาศก์เมตรต่อชั่วโมง และท่อระบายน้ำออกอัตรา 20 ลูกบาศก์เมตรต่อชั่วโมง


คำถาม: ถ้าเริ่มจากสระที่มีน้ำเต็ม ต้องใช้เวลากี่ชั่วโมงจึงจะเปลี่ยนน้ำในสระทั้งหมดได้สำเร็จ


ก. 22.5 ชั่วโมง

ข. 30 ชั่วโมง

ค. 37.5 ชั่วโมง

ง. 45 ชั่วโมง


เฉลย: ข้อ ง. 45 ชั่วโมง


คำอธิบาย:

ขั้นที่ 1: คำนวณปริมาตรน้ำในสระ

ปริมาตรน้ำ = กว้าง × ยาว × ลึก = 12 × 25 × 1.5 = 450 ลูกบาศก์เมตร


ขั้นที่ 2: คำนวณเวลาที่ใช้ในการระบายน้ำออกจนหมด

อัตราการระบายน้ำออก = 20 ลูกบาศก์เมตรต่อชั่วโมง

เวลาที่ใช้ = ปริมาตรน้ำ ÷ อัตราการระบาย = 450 ÷ 20 = 22.5 ชั่วโมง


ขั้นที่ 3: คำนวณเวลาที่ใช้ในการเติมน้ำใหม่จนเต็ม

อัตราการเติมน้ำ = 15 ลูกบาศก์เมตรต่อชั่วโมง

เวลาที่ใช้ = ปริมาตรน้ำ ÷ อัตราการเติม = 450 ÷ 15 = 30 ชั่วโมง


ขั้นที่ 4: คำนวณเวลาทั้งหมดที่ใช้

เวลาทั้งหมด = เวลาระบาย + เวลาเติม = 22.5 + 30 = 52.5 ชั่วโมง


แต่เนื่องจากโจทย์ไม่ได้ระบุว่าต้องระบายน้ำออกให้หมดก่อนแล้วค่อยเติมน้ำใหม่ หากพิจารณาการระบายน้ำเก่าออกพร้อมกับการเติมน้ำใหม่เข้าไป:


อัตราการเปลี่ยนน้ำสุทธิ = อัตราการเติม = 15 ลูกบาศก์เมตรต่อชั่วโมง

เวลาที่ใช้ = ปริมาตรน้ำ ÷ อัตราการเปลี่ยนน้ำสุทธิ = 450 ÷ 10 = 45