Los dos semicírculos de tamaño inmediatamente inferior, los que forman la curva central del típico símbolo del yin-yang, tienen longitud  (son semicircunferencias de una de diámetro ), por lo que la suma de sus longitudes vuelve a ser . Si dibujamos otros dos semicírculos del mismo tipo dentro de cada uno de los dos semicírculos anteriores tenemos que cada uno de ellos tendrán longitud . Como tendremos cuatro semicírculos así, la suma de sus longitudes vuelve a ser .

Continuando con el proceso obtenemos siempre un conjunto de semicírculos, cada vez más pequeños, cuya suma de longitudes es . El límite de la curva formada por esos semicírculos es el diámetro . Esto es, si realizamos esta construcción infinitas veces, tenemos que cuando el límite de los diámetros de las circunferencias sea  la curva formada por los semicírculos coincide con el diámetro . Pero la curva mide  y  mide . Por tanto .

Siguiendo la construcción planteada está claro que conforme los semicírculos van haciéndose más pequeños sus radios se van acercando cada vez más a cero (tienen por límite cero) y, por tanto, la línea ondulante formada por ellos puede aproximarse tanto como queramos al diámetro del círculo inicial. Pero los semicírculos no pierden su forma en ningún momento. Dado que continúan siendo semicírculos (da igual su tamaño) su longitud total sigue sieno .

Esta falacia es un claro ejemplo de sucesión convergente cuyos términos tienen ciertas propiedades que su límite no hereda.

Construimos el punto , punto medio del lado , y desde él trazamos el segmento , perpendicular a . Ahora construimos la bisectriz del ángulo , a partir de la cual pueden darse dos casos:

1.- La bisectriz no corta a : entonces ambas rectas son paralelas. Por tanto la bisectriz es perpendicular a . Esto nos lleva a que , esto es, el triángulo  es isósceles.

2.- La bisectriz corta a : llamemos  al punto de intersección entre ellas. Trazamos  y  y también  y , perpendiculares a  y a  respectivamente.

A partir de aquí se tiene que los triángulos  y  son iguales, al tener a  como lado común y los ángulos  y  iguales a los ángulos  y  respectivamente. Por tanto,  y .

Por otra parte, los triángulos  y  son iguales, al ser ,  lado común y los lados del vértice  iguales. De aquí .

Además los triángulos  y  son rectángulos. Por ello, el cuadrado de  es igual a la suma de los cuadrados de  y  (teorema de Pitágoras) y el cuadrado de  es igual a la suma de los cuadrados de  y . Pero tenemos que  y . Por ello el cuadrado del lado  es igual al cuadrado de . Entonces . Como teníamos de antes que  se cumple que , lo que implica que el triángulo  es isósceles.

Conclusión: todo triángulo  es isósceles.
 

El error en este caso vuelve a ser de construcción: el punto  está siempre situado fuera del triángulo y en posición tal que al trazar perpendiculares desde  a los lados  y  una de las perpendiculares intersecará a uno de los lados del triángulo, pero la otra intersecará a una prolongación del otro lado.

ÁNGULO=ÁNGULO, LADO=LADO  PARALELOGRAMO

La demostración es correcta si  e  se encuentra cada uno sobre un lado del cuadrilátero, o si tanto  como  se encuentran en proyecciones de los lados, pero falla si uno se encuentra en un lado y el otro en la prolongación de un lado, como ocurre en la figura de la derecha. Se puede ver que dicha figura cumple las hipótesis del teorema, pero claramente no es un paralelogramo.

En la figura adjunta tenemos un gráfico de la demostración. La recta de la que partimos es la recta  y el punto dado es . Trazamos desde  una perpendicular a  (puede construirse sin utilizar el postulado de las paralelas que sólo puede construirse una perpendicular como ésta), obteniendo así el punto . Por el punto  trazamos la recta , perpendicular a  (también única, por lo dicho anteriormente).

El teorema que afirma que dos rectas perpendiculares a una dada son paralelas puede demostrarse sin necesidad de utilizar el postulado de las paralelas, por lo que las rectas  y  son paralelas.