Pn=n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n−1)⋅nPn=n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n−1)⋅n

Символ n!n! называется факториалом и обозначает произведение всех целых чисел от 11 до nn. По определению, считают, что 0!=1,1!=10!=1,1!=1.

Пример всех перестановок из n=3n=3объектов (различных фигур) - на картинке справа. Согласно формуле, их должно быть ровно P3=3!=1⋅2⋅3=6P3=3!=1⋅2⋅3=6, так и получается.

С ростом числа объектов количество перестановок очень быстро растет и изображать их наглядно становится затруднительно. Например, число перестановок из 10 предметов - уже 3628800 (больше 3 миллионов!).

Пусть имеется nn различных объектов.
Будем выбирать из них mm объектов и переставлять всеми возможными способами между собой (то есть меняется и состав выбранных объектов, и их порядок). Получившиеся комбинации называются размещениями из nn объектов по mm, а их число равно

Amn=n!(n−m)!=n⋅(n−1)⋅...⋅(n−m+1)Anm=n!(n−m)!=n⋅(n−1)⋅...⋅(n−m+1)

Пример всех размещений из n=3n=3 объектов (различных фигур) по m=2m=2 - на картинке справа. Согласно формуле, их должно быть ровно A23=3⋅(3−2+1)=3⋅2=6A32=3⋅(3−2+1)=3⋅2=6.

Пусть имеется nn различных объектов.
Будем выбирать из них mm объектов все возможными способами (то есть меняется состав выбранных объектов, но порядок не важен). Получившиеся комбинации называются сочетаниями из nn объектов по mm, а их число равно

Cmn=n!(n−m)!⋅m!Cnm=n!(n−m)!⋅m!

Пример всех сочетаний из n=3n=3 объектов (различных фигур) по m=2m=2 - на картинке справа. Согласно формуле, их должно быть ровно C23=3!(3−2)!⋅2!=3C32=3!(3−2)!⋅2!=3. Ясно, что сочетаний всегда меньше чем размещений (так как при размещениях порядок важен, а для сочетаний - нет), причем именно в m!m! раз, то есть верна формула связи:

Amn=Cmn⋅Pm.