Definição:
Números primos são aqueles que possuem exatamente dois divisores naturais, o 1 e eles mesmos.

Exemplos de números primos
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Números primos entre si

Definição:
Dois ou mais números são chamados de primos entre si quando o único divisor comum entre eles é o número 1, mesmo que individualmente não sejam números primos.

Exemplos:

• 8 e 15 → divisores comuns: apenas o 1 → são primos entre si.

• 9 e 28 → divisores comuns: apenas o 1 → são primos entre si.

• 4, 9 e 25 → nenhum divisor comum além de 1 → são primos entre si.

Divisibilidade por 2:
Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.

Divisibilidade por 3:
Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos é divisível por 3.
Ex.: 123 → 1 + 2 + 3 = 6 → divisível por 3.

Divisibilidade por 5:
Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.

Divisibilidade por 9:
Um número é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos é divisível por 9.
Ex.: 432 → 4 + 3 + 2 = 9 → divisível por 9.

Divisibilidade por 10:
Um número é divisível por 10 quando termina em 0.

Para determinar os divisores primos de um número (também chamados de fatores primos), usa-se a fatoração em números primos:

1. Escolha o menor número primo que divide o número dado (em geral 2).

2. Divida o número por esse primo.

3. Pegue o resultado da divisão e repita o processo: divida novamente pelo menor primo possível.

4. Continue dividindo até que o resultado final seja 1.

5. Os números primos usados nas divisões são os fatores primos.

Exemplo (fatores primos de 60):
60 ÷ 2 = 30
30 ÷ 2 = 15
15 ÷ 3 = 5
5 ÷ 5 = 1
→ Fatores primos: 2, 2, 3, 5Procedimentos para determinar todos os divisores de um número

Existem dois métodos principais. Você pode usar o que preferir:

Método 1 – Testar divisões

1. Liste os números naturais a partir de 1.

2. Vá testando, verificando quais dividem o número sem deixar resto.

3. Você só precisa testar até a raiz quadrada do número.

4. Para cada divisor encontrado, o outro divisor é obtido dividindo o número pelo divisor pequeno.

Exemplo (divisores de 24):
Teste até √24 ≈ 4,9 → testar apenas 1, 2, 3 e 4.

• 24 ÷ 1 → 1 e 24

• 24 ÷ 2 → 2 e 12

• 24 ÷ 3 → 3 e 8

• 24 ÷ 4 → 4 e 6
  Divisores: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Método 2 – Usar a fatoração em primos

1. Faça a fatoração em fatores primos do número.
   Ex.: 24 = 2³ × 3¹

2. Pegue os expoentes e aumente cada um deles em 1.

3. Faça todas as combinações possíveis usando potências dos primos.

   • 2⁰, 2¹, 2², 2³

   • 3⁰, 3¹

4. Multiplique todas as combinações possíveis:
   1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, 24
   → Divisores: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Definição:
Frações equivalentes são aquelas que representam a mesma quantidade, mesmo que tenham numeradores e denominadores diferentes.
Exemplo:
12=24=36\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6}21​=42​=63​

Propriedades das frações equivalentes

1. Multiplicação:
   Se multiplicarmos o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número natural não nulo, obtemos uma fração equivalente.
   Ex.: 35→3×25×2=610\frac{3}{5} ,{10}53​→5×23×2​=106​

2. Divisão:
   Se dividirmos o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número natural, obtendo uma divisão exata, a fração também será equivalente.
   Ex.: 1216→12÷416÷4=34\frac{12}{16} frac{12 ÷ 4}{16 ÷ 4} = \frac{3}{4}1612​→16÷412÷4​=43​

• Fração irredutível

Definição:
Uma fração é irredutível quando não pode mais ser simplificada, ou seja, quando o numerador e o denominador são primos entre si (seu mdc é 1).
Ex.: 57\frac{5}{7}75​ é irredutível, pois 5 e 7 não têm divisores comuns além do 1.

Definição:
O mdc entre dois ou mais números é o maior número natural que divide todos eles ao mesmo tempo, sem deixar resto.

Procedimento para calcular o mdc entre dois ou mais números

Existem dois métodos principais:

Método 1 – Fatoração em primos (mais usado e mais seguro)

1. Faça a fatoração em números primos de cada número.

2. Identifique os primos comuns nas fatorações.

3. Para cada primo comum, escolha o menor expoente que aparece.

4. Multiplique os primos selecionados.

Exemplo: mdc(24, 36)

• 24 = 23⋅312^3 \cdot 3^123⋅31

• 36 = 22⋅322^2 \cdot 3^222⋅32

Primos comuns: 2 e 3
Expoentes menores: 222^222 e 313^131

mdc = 22⋅31=122^2 \cdot 3^1 = 1222⋅31=12

Método 2 – Algoritmo das divisões sucessivas (ou método de Euclides)

1. Divida o maior número pelo menor.

2. Pegue o resto.

3. Substitua o maior número pelo menor e o menor pelo resto.

4. Repita até o resto ser 0.

5. O último divisor é o mdc.

Exemplo: mdc(48, 18)
48 ÷ 18 = resto 12
18 ÷ 12 = resto 6
12 ÷ 6 = resto 0
→ mdc = 6

As operações com frações incluem adição, subtração, multiplicação e divisão. Aqui, registramos os procedimentos para adicionar e subtrair frações, conforme solicitado.

**Procedimentos para adicionar frações

1. Quando os denominadores são iguais

• Conservar o denominador.

• Somar os numeradores.

• Simplificar, se possível.

Exemplo:
38+28=58\frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{5}{8}83​+82​=85​

2. Quando os denominadores são diferentes

• Calcular o mmc dos denominadores.

• Transformar cada fração em uma fração equivalente com o mmc no denominador.

• Somar os numeradores.

• Simplificar, se necessário.

Exemplo:
23+14\frac{2}{3} + \frac{1}{4}32​+41​
mmc(3,4) = 12
23=812\frac{2}{3} = \frac{8}{12}32​=128​
14=312\frac{1}{4} = \frac{3}{12}41​=123​
Somando: 812+312=1112\frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}128​+123​=1211​

**Procedimentos para subtrair frações

1. Quando os denominadores são iguais

• Conservar o denominador.

• Subtrair os numeradores.

• Simplificar, se possível.

Exemplo:
710−310=410=25\frac{7}{10} - \frac{3}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}107​−103​=104​=52​

2. Quando os denominadores são diferentes

• Calcular o mmc dos denominadores.

• Transformar as frações para terem denominadores iguais usando frações equivalentes.

• Subtrair os numeradores.

• Simplificar a fração obtida.

Exemplo:
56−14\frac{5}{6} - \frac{1}{4}65​−41​
mmc(6,4) = 12
56=1012\frac{5}{6} = \frac{10}{12}65​=1210​
14=312\frac{1}{4} = \frac{3}{12}41​=123​
Subtraindo: 1012−312=712\frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{7}{12}1210​−123​=127​

Definição:
Ângulos consecutivos são dois ângulos que possuem o mesmo vértice e um lado em comum.

Características:

• mesmo vértice

• um lado em comum

Exemplo:
∠EÂF e ∠FÂG.

2. Ângulos Complementares

Definição:
Dois ângulos são complementares quando a soma das medidas deles é 90°.

Exemplo:

• 30° + 60° = 90°

Eles formam um ângulo reto.

3. Ângulos Suplementares

Definição:
Dois ângulos são suplementares quando a soma deles é 180°.

Exemplo:

• 120° + 60° = 180°

Eles formam um ângulo raso (linha reta).

4. Ângulos Adjacentes

Definição:
Ângulos adjacentes são ângulos consecutivos que ficam lado a lado e não se sobrepõem.

Características:

• mesmo vértice

• um lado em comum

• ficam um ao lado do outro

5. Ângulos Opostos pelo Vértice

Definição:
Quando duas retas se cruzam, formam quatro ângulos.
Os ângulos que ficam de frente um para o outro são chamados opostos pelo vértice.

Propriedade importante:

• Eles sempre têm a mesma medida.

Exemplo de pares:

• ∠AÔB e ∠CÔD

• ∠AÔD e ∠BÔC

Definição:
O grau é a unidade usada para medir ângulos.
Um ângulo completo (uma volta inteira) mede 360 graus.

Isso significa que, se você der uma volta completa, percorreu 360°.

Relação entre grau, minuto e segundo

O grau possui submúltiplos, que são unidades menores usadas para medir ângulos com mais precisão.

• 1 grau (1°) = 60 minutos (60′)

• 1 minuto (1′) = 60 segundos (60″)

Podemos representar assim:

1° = 60′
1′ = 60″

Exemplo

Um ângulo pode ser escrito assim:

35° 20′ 15″

Isso significa:

• 35 graus

• 20 minutos

• 15 segundos

Definição:
O ângulo central é o ângulo cujo vértice está no centro da circunferência e seus lados são dois raios do círculo.

Principais características

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• Formato circular: o gráfico é um círculo completo (360°).

• Dividido em setores (fatias): cada setor representa uma categoria.

• Proporcionalidade: o tamanho de cada fatia depende da quantidade que ela representa.

• Uso de porcentagens: normalmente cada parte é mostrada em %.

• Fácil visualização: permite comparar rapidamente qual parte é maior ou menor.

Como construir um gráfico de setores

1. Organize os dados

Exemplo:

2. Calcule o total

Total = 20 + 10 + 30 = 60 alunos

3. Transforme em porcentagem

4. Converta em graus (ângulos)

Lembre: o círculo tem 360°

5. Desenhe o gráfico

Quando duas retas paralelas são cortadas por uma reta transversal, acontece uma propriedade muito importante:

Os ângulos alternos internos são sempre iguais (congruentes).

O que são ângulos alternos internos?

• Internos: ficam entre as duas retas paralelas

• Alternos: estão em lados opostos da reta transversal

Ou seja, eles não ficam do mesmo lado da transversal, mas ficam “cruzados” dentro das paralelas.

📏 A propriedade

Se as retas são paralelas:

Ângulo A = Ângulo B (alternos internos)

Eles têm a mesma medida
Isso só acontece se as retas forem paralelas

Explicando de forma simples:

Imagine que você tem um ângulo qualquer. A bissetriz é como uma “linha” que corta esse ângulo exatamente no meio, formando dois ângulos iguais.

Características importantes:

Parte sempre do vértice do ângulo

Divide o ângulo em duas partes

congruentes (iguais)

Cada parte tem a mesma medida

Exemplo:

Se um ângulo mede 60°, a bissetriz vai dividi-lo em dois ângulos de 30°.

O conjunto dos inteiros é representado por:

ℤ = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … }

Agora vamos separar alguns subconjuntos importantes usando chaves

Subconjuntos de ℤ

Números inteiros negativos

ℤ⁻ = { …, -5, -4, -3, -2, -1 }

Números inteiros positivos

ℤ⁺ = { 1, 2, 3, 4, 5, … }

Conjunto do zero

{ 0 }

Números inteiros não negativos (naturais com zero)

ℤ₀⁺ = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, … }

Números inteiros não positivos

ℤ₀⁻ = { …, -5, -4, -3, -2, -1, 0 }

O módulo ou valor absoluto de um número inteiro é a distância desse número até o zero na reta numérica.

Ou seja: ele mostra “quão longe do zero” o número está, sem considerar se é positivo ou negativo.

Como representamos:

Usamos duas barras:

|x|

Lê-se: “módulo de x”

Exemplo visual

6

Exemplos:

|5| = 5 (já é positivo)

• |-5| = 5 (fica positivo)

• |0| = 0

Regra importante:

• Se o número é positivo, ele continua igual

• Se é negativo, ele vira positivo

Exemplo explicado:

|-7| = 7

Porque o número -7 está a 7 unidades de distância do zero.

O oposto ou simétrico de um número inteiro é aquele que tem o mesmo valor, mas com sinal contrário.

Em outras palavras: é o número que fica do outro lado do zero, na mesma distância.

Como representamos:

Se temos um número x, o seu oposto é:

−x

Exemplo visual

6

Exemplos:

• O oposto de 5 é -5

• O oposto de -8 é 8

• O oposto de 0 é 0

Regra importante:

• Troca o sinal do número

• A distância até o zero continua igual

Exemplo explicado:

O oposto de -3 é 3, porque os dois estão à mesma distância do zero, só que em lados diferentes.

Somar números inteiros (positivos e negativos) segue algumas regras simples, dependendo dos sinais 👍

1. Quando os números têm o MESMO sinal

Soma os valores e mantém o sinal

Exemplos:

• (+3) + (+5) = +8

• (-4) + (-6) = -10

2. Quando os números têm sinais DIFERENTES

Subtrai os valores (maior − menor)
Mantém o sinal do número de maior valor absoluto (módulo)

Exemplos:

• (+7) + (-3) = +4

• (-9) + (+2) = -7

A subtração de números inteiros pode ser transformada em uma adição.
Regra principal:

Subtrair é o mesmo que somar o oposto

a − b = a + (−b)

1. Transforme em adição

Troque o sinal de “−” por “+”
Troque o sinal do segundo número

Exemplos:

• 5 − 3 = 5 + (−3)

• 7 − (−2) = 7 + 2

2. Resolva como uma adição (use as regras que você já aprendeu)

• Sinais iguais → soma e mantém o sinal

• Sinais diferentes → subtrai e fica com o sinal do maior

Exemplos completos:

Exemplo 1:

6 − 4 = 6 + (−4) = 2

Exemplo 2:

8 − (−3) = 8 + 3 = 11

Eventos equiprováveis são aqueles que têm a mesma chance de acontecer.

Ou seja: nenhum evento é mais provável que o outro — todos têm probabilidades iguais.

Exemplo clássico

Quando você joga um dado comum (com 6 faces):

Sair 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 tem a mesma chance

Cada resultado tem probabilidade de 1/6

1. Parte de um todo

Representa uma parte de algo inteiro

Exemplo:
Se você divide uma pizza em 4 partes e pega 1:

1/4 (um quarto da pizza)

2.Divisão

A fração também representa uma divisão

Exemplo:
6/2 = 6 ÷ 2 = 3

3. Razão (comparação)

Compara duas quantidades

Exemplo:
Em uma sala com 10 alunos, sendo 4 meninas:

4/10 → razão entre meninas e total de alunos

4. Operador

A fração pode indicar “uma parte de uma quantidade”

Exemplo:
1/2 de 20 = 10

5. Número (na reta numérica)

A fração também é um número, que pode ser localizado na reta

Exemplo:
1/2 fica entre 0 e 1