Unidad 1: Aritmética y álgebra

Contenido del Nivel Medio (NM). Horas lectivas recomendadas: 19

 

NM 1.1* Operaciones con números que están en la forma , donde y es un

número entero.

 

NM 1.2* Progresiones y series aritméticas; uso de las fórmulas del término n-ésimo y de la suma de los n primeros términos de la progresión; uso de la notación de sumatoria para expresar la suma de progresiones aritméticas; aplicaciones; análisis, interpretación y predicción en aquellos casos en los que un modelo no se corresponda con una situación totalmente aritmética en la vida real.

 

NM 1.3* Progresiones y series geométricas; uso de las fórmulas del término n-ésimo y la suma de los n primeros términos de la progresión; uso de la notación de sumatoria para expresar la suma de progresiones geométricas; aplicaciones tales como la propagación de una enfermedad, los aumentos y disminuciones salariales o el crecimiento de la población.

 

NM 1.4* Aplicaciones financieras de las progresiones y las series geométricas, incluido el interés compuesto y la depreciación anual.

 

NM 1.5* Propiedades de las potencias que tienen exponentes enteros. Introducción a los logaritmos en base 10 y en base e; evaluación numérica de logaritmos utilizando medios tecnológicos.}

TEMAS ADICIONALES NM

 

 NM 1.6 Demostraciones deductivas sencillas (numéricas y algebraicas); cómo demostrar que la expresión del lado izquierdo de una identidad es igual a la expresión del lado derecho; los símbolos y la notación utilizada para indicar igualdad e identidad

  

NM 1.7 Propiedades de las potencias con exponente racional; propiedades de los logaritmos; cambio de base en un logaritmo; resolución de ecuaciones exponenciales, incluido el uso de logaritmos.

 

NM 1.8 La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica convergente.

 

NM 1.9 El teorema del binomio; uso del triángulo de Pascal y de combinatorios.

 

 

NM 2.1* Las diversas formas de la ecuación de una recta; pendiente; puntos de corte con los ejes; rectas paralelas y perpendiculares.

 

NM 2.2* Concepto de función, dominio, recorrido y gráfico; notación de funciones; el concepto de función como modelo matemático; concepto informal de función inversa como simetría respecto a la recta; la notación.

 

NM 2.3* El gráfico de una función; su ecuación; creación de un dibujo aproximado de una función a partir de la información dada o de un contexto, incluido el traslado de un

gráfico de la pantalla al papel; uso de medios tecnológicos para representar gráficamente

funciones, incluida la suma y diferencia de dichas funciones.

 

NM 2.4* Determinar las características principales de un gráfico; hallar el punto de intersección de dos curvas o rectas utilizando medios tecnológicos.
NM 2.5 Funciones compuestas; la función identidad; hallar la función inversa .

 

NM 2.6 La función cuadrática , su representación gráfica, su intercepción con el eje y ; el eje de simetría; la forma , intercepciones con el eje

x y ; la forma , donde es el vértice del gráfico.

 

NM 2.7 Resolución de ecuaciones e inecuaciones cuadráticas; usar la factorización, completar el cuadrado (forma del vértice), y la fórmula de la solución de una ecuación cuadrática; la fórmula para la resolución de ecuaciones cuadráticas; el  discriminante y la naturaleza de las raíces, es decir, dos raíces reales distintas, dos raíces reales iguales o ninguna raíz real.

 

NM 2.8 La función recíproca: su gráfico y la propiedad de coincidir con su inversa; funciones racionales de la forma y su representación gráfica;

ecuaciones de asíntotas verticales y horizontales.

 

NM 2.9 Funciones exponenciales y sus gráficos; funciones

logarítmitcas y sus gráficos 

 

NM 2.10 Resolución de ecuaciones, tanto gráficamente como con métodos analíticos; uso

de medios tecnológicos para resolver diversos tipos de ecuaciones, incluidas aquellas para las que no existe un enfoque analítico apropiado; aplicaciones de las habilidades de

representación gráfica y resolución de ecuaciones que reflejan situaciones de la vida real.

 

NM 2.11 Transformaciones de gráficos; traslaciones; simetrías respecto a ambos ejes; estiramiento vertical de razón p; estiramiento horizontal de razón ; transformaciones compuesta

pirámide recta, el cono recto, la esfera, la semiesfera y combinaciones de estos sólidos; el tamaño de un ángulo que forman dos rectas que se cortan o de un ángulo que forma una

recta con un plano.

 

NM 3.2* Uso de las razones trigonométricas seno, coseno y tangente) para hallar los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo; el teorema del seno (pero sin incluir el caso ambiguo); el teorema del coseno; área de un triángulo 

 

NM 3.3* Aplicaciones de la trigonometría de triángulos rectángulos y no rectángulos, incluido el teorema de Pitágoras. El contexto puede requerir el uso de rumbos y demoras;

ángulos de elevación y depresión; elaboración de diagramas rotulados a partir de enunciados escritos.

 

NM 3.4 El círculo: medida de ángulos en radianes; longitud de un arco; área de un sector circular.

 

NM 3.5 La definición de y basada en el círculo de radio unidad; la definición; valor exacto de las razones trigonométricas para los ángulos y sus múltiplos; ampliación del teorema del seno al caso ambiguo.

 

NM 3.6 La relación fundamental; las fórmulas del seno y el coseno del

ángulo doble; la relación que existe entre las razones trigonométricas.

 

NM 3.7 Las funciones trigonométricas circulares ; amplitud, su naturaleza

periódica y su representación gráfica; funciones compuestas de la forma ; transformaciones; contextos de la vida real.

 

NM 3.8 Resolución de ecuaciones trigonométricas en un intervalo finito (tanto gráficamente

fiabilidad de las fuentes de datos y sesgo del muestreo; interpretación de los valores no

esperados (donde un valor no esperado se define como aquel dato que se encuentra a una

distancia del cuartil más próximo mayor que 1,5; rango intercuartil); técnicas de muestreo: aleatorio simple, por conveniencia, sistemático, por cuotas y estratificado.

 

NM 4.2* Presentación de datos (discretos y continuos); histogramas de frecuencias con

intervalos de clase de la misma amplitud; frecuencias acumuladas; gráficos de frecuencias

acumuladas; uso de estos elementos para hallar la mediana, los cuartiles, los percentiles, el rango y el rango intercuartil; elaboración y comprensión de los diagramas de caja y bigotes; empleo de estos diagramas de caja y bigotes para comparar dos distribuciones basándose

en la simetría, la mediana, el rango intercuartil o el rango; determinar si los datos siguen una distribución normal analizando la simetría de la caja y los bigotes.

 

NM 4.3* Medidas de tendencia central (media, mediana y moda); estimación de la media a

partir de datos agrupados; clase modal; medidas de dispersión (rango intercuartil,

desviación típica y varianza); cómo afecta un cambio constante a los datos originales; cuartiles de datos discretos.

 

NM 4.4* Correlación lineal de variables bidimensionales; coeficiente de correlación

momento-producto de Pearson (r); diagramas de dispersión; recta de ajuste óptimo dibujada por aproximación que pasa por la media; ecuación de la recta de regresión de y

sobre x; uso de la ecuación de la recta de regresión para hacer predicciones; interpretación del significado de los parámetros a y b de la recta de regresión 

 

NM 4.5*Conceptos de experimento, resultado, resultados equiprobables, frecuencia relativa, espacio muestral (U) y suceso; la probabilidad de un suceso ; los sucesos complementarios A y A ' (no A); número esperado de veces que ocurrirá un

suceso dado. 

 

NM 4.6* Uso de diagramas de Venn, diagramas de árbol, diagramas de espacio muestral y

tablas de resultados para calcular probabilidades; sucesos compuestos; sucesos incompatibles o mutuamente excluyentes;

probabilidad condicionada; sucesos independientes. Los problemas se pueden resolver con la ayuda de diagramas de Venn, diagramas de árbol,

diagramas de espacio muestral o con una tabla de resultados, sin que sea necesario el uso

explícito de fórmulas.

 

 

NM 4.7* Concepto de variable aleatoria discreta y sus distribuciones de probabilidad; valor

esperado (media, E(X) ) para datos discretos; aplicaciones.

 

NM 4.8* Distribución binomial; situaciones en las que la distribución binomial es un modelo adecuado; media y varianza de la distribución binomial.

 

NM 4.9* La distribución normal y su curva; propiedades de la distribución normal;

representación mediante diagramas; cálculo de probabilidades asociadas a la distribución normal; cálculos inversos de la distribución normal.

 

NM 4.10 Ecuación de la recta de regresión de x sobre y; uso de esta ecuación para hacer

predicciones.

 

NM 4.11 Definición formal y uso de las fórmulas para casos de probabilidad

condicionada y de para sucesos independientes; comprobación de si existe o no independencia.

 

NM 4.12 Tipificación o estandarización de variables en una distribución normal (valores z); cálculos inversos en la distribución normal cuando la media y la desviación típica son desconocidas 

 NM 5.1* Introducción al concepto de límite; interpretación de la función derivada como pendiente de la recta tangente a la curva y como medida de la razón de cambio entre dos

variables.

 

NM 5.2* Funciones crecientes y decrecientes: interpretación gráfica 

 

NM 5.3* Derivada de funciones

.

NM 5.4* Rectas tangente y normal a la curva en un punto dado; ecuación de dichas rectas.

 

NM 5.5* Introducción a las integrales como primitiva (antiderivada) de funciones; integrales definidas utilizando medios tecnológicos; área que hay entre una curva y el eje x;

integración con una restricción para determinar el término constante.

 

NM 5.6 Derivada de la suma y de un múltiplo

de estas funciones; la regla de la cadena para la composición de funciones; la regla del producto y del cociente.

 

NM 5.7 La derivada segunda; comportamiento de los gráficos de las funciones, incluida la

relación que existe entre los gráficos.

 

NM 5.8 Puntos máximos y mínimos locales; búsqueda y comprobación de máximos y mínimos; optimización; puntos de inflexión con pendiente nula y no nula.

 

NM 5.9 Problemas de cinemática relativos al desplazamiento s, la velocidad v, la aceleración

a y la distancia total recorrida.

 

NM 5.10 Integral indefinida; composición de alguna de estas funciones con la función lineal; integración por comparación (regla de la cadena inversa) o por sustitución para expresiones.

 

NM 5.11 Integrales definidas (incluido el enfoque analítico); área que hay entre una curva

y el eje x —donde puede tener valores positivos o negativos— sin recurrir al

uso de medios tecnológicos; área entre curvas.

 

 TANS 3.7 Definición de radián y conversión entre grados y radianes; uso de radianes para calcular el área de un sector circular y la longitud de un arco.
TANS 3.8 La definición de senɵ y cosɵ basada en el círculo de radio unidad; la relación fundamental sen²ɵ + cos²ɵ = 1; definición de tanɵ=senɵ/cosɵ; ampliación del teorema del seno al caso ambiguo; métodos gráficos para la resolución de ecuaciones trigonométricas dentro de un intervalo finito.
TANS 3.9 Transformaciones geométricas de puntos en dos dimensiones utilizando matrices: simetría, estiramiento horizontal y vertical, homotecia, traslación y rotación; composición de estas transformaciones; interpretación geométrica del determinante de una matriz de transformación.
TANS 3.10 Concepto de vector y de escalar; representación de vectores mediante segmentos de recta orientados; vectores unitarios; los vectores de la base i, j, k; componentes de un vector; representación mediante columnas; el vector nulo 0, el vector -v; vectores de posición; redimensionar y normalizar vectores (por ejemplo, para hallar la velocidad de una partícula cuya celeridad son 7 ms^-1 en la dirección 3i + 4j). 
TANS 3.11 Ecuación vectorial de una recta en dos y en tres dimensiones . r = a + µb
TANS 3.12 Aplicaciones de los vectores en cinemática; hallar posiciones e intersecciones (puntos de corte), describir trayectorias, hallar en qué instante están más próximos dos objetos y qué distancia los separa en ese momento; modelización del movimiento en línea recta y con velocidad constante en dos y en tres dimensiones. Movimiento en dos dimensiones con velocidad variable. TANS 3.13 Definición y cálculo del producto escalar de dos vectores; ángulo que forman dos vectores; el ángulo agudo que forman dos rectas; definición y cálculo del producto vectorial de dos vectores; interpretación geométrica de |v x w|; componentes de un vector.
TANS 3.14 Teoría de grafos: grafos, vértices, aristas, vértices adyacentes, aristas adyacentes, grado de un vértice; grafos simples; grafos completos; grafos ponderados; grafos orientados; concepto de semigrado interior y semigrado exterior de los vértices de un grafo orientado; subgrafos; árboles.
TANS 3.15 Matriz de adyacencia; recorridos; número de recorridos de longitud k (o de recorridos de longitud inferior a k) que hay entre dos vértices; tabla de adyacencia ponderada; hallar la matriz de transición para grafos fuertemente conexos (orientados o no orientados).
TANS 3.16 Algoritmos para árboles y ciclos en grafos no orientados; recorridos, senderos, caminos, circuitos, ciclos; senderos y circuitos eulerianos; caminos y ciclos hamiltonianos; algoritmos para hallar el árbol generador minimal en un grafo; algoritmo de Kruskal y algoritmo de Prim para hallar el árbol generador minimal; empleo del método matricial en el algoritmo de Prim; el problema del "cartero chino"; el problema del "viajante"; algoritmo del vecino más cercano para determinar un límite superior para el problema del "viajante"; algoritmo del vértice borrado  para determinar un límite inferior para el problema del "viajante".
TANS 3.17 La ecuación vectorial de un plano: r = a + µb + σc; rxn = axn, donde n es una normal al plano y a es el vector de posición de un punto dado del plano; ecuación cartesiana de un plano ax+by+cz=d. 
TANS 3.18 Intersecciones de: una recta y un plano, dos planos, tres planos; ángulo entre: una recta y un plano, dos planos.

 

 TANS 4.12 Diseño de métodos válidos para la obtención de datos (tales como encuestas y cuestionarios); selección de variables pertinentes de entre muchas variables; elección de datos pertinentes y adecuados para su análisis; categorización de datos numéricos en una tabla x² y justificación de la elección de dicho sistema de clasificación; cuando se esté realizando una prueba x² para la bondad del ajuste, se ha de escoger un número adecuado de grados de libertad a la hora de estimar parámetros a partir de datos; definición de fiabilidad y validez; pruebas de fiabilidad: test-retest, formas paralelas; tipos de pruebas de validez: relacionadas con los contenidos, relacionadas con los criterios.
TANS 4.13 Regresión no lineal; evaluación de las curvas de regresión por mínimos cuadrados utilizando medios tecnológicos; suma de los cuadrados de los residuos ( SSres) como medida del grado de ajuste a un modelo; el coeficiente de determinación ( R² ); evaluación de R² empleando medios tecnológicos.
TANS 4.14 Transformación lineal de una variable aleatoria unidimensional; valor esperado de una combinación lineal de n variables aleatorias; varianza de una combinación lineal de n variables aleatorias independientes; x como estimación sin sesgo de µ; S²_n-1 como estimación sin sesgo de σ².
TANS 4.15 Una combinación lineal de n variables aleatorias normales e independientes sigue una distribución normal. En particular, X – N(µ,σ²) -> X – N(µ,σ²/n); el teorema central del límite.
TANS 4.16 Intervalos de confianza para la media de una población normal. Uso de la distribución normal cuando σ es conocida y uso de la distribución t cuando σ es desconocida, con independencia del tamaño de la muestra. TANS 4.17 Distribución de Poisson, su media y su varianza; la suma de dos distribuciones de Poisson independientes también posee las características de una distribución de Poisson. 
TANS 4.18 Valores críticos y regiones críticas; pruebas para la media de la población en una distribución normal; pruebas para evaluar la proporción de una población utilizando la distribución binomial; pruebas para la media de la población utilizando la distribución de Poisson; uso de medios tecnológicos para contrastar la hipótesis de que el coeficiente de correlación momento-producto ( p ) de la población es igual a 0 para distribuciones normales bidimensionales; errores de tipo I y II, incluido el cálculo de sus probabilidades, aplicado a la distribución normal (con varianza conocida); la distribución de Poisson y la distribución binomial. 
TANS 4.19 Matrices de transición; potencia de una matriz de transición; cadenas de Markov regulares; matrices de probabilidad del estado inicial; cálculo del estado estacionario y de probabilidades a largo plazo mediante la multiplicación reiterada de las matrices de transición o resolviendo un sistema de ecuaciones lineales.

 

 

 TANS 5.9 La derivada de sinx, cosx, tanx, e^x, lnx, donde n es racional; la regla de la cadena, la regla del producto y la regla del cociente; razones de cambio relacionadas.
TANS 5.10 La derivada segunda; prueba de la derivada segunda para distinguir entre un punto máximo y un punto mínimo.
TANS 5.11 Integrales indefinidas y definidas de xⁿ(donde n es Q ) incluido n = -1, sinx, cosx, sec²x y e^x; integración por comparación o por sustitución de la forma: ∫f(g(x))g´(x)dx .
TANS 5.12 Área de la región delimitada por una curva y el eje x o el eje y en un intervalo dado; volumen de revolución alrededor del eje x o del eje y.
TANS 5.13 Problemas de cinemática relativos al desplazamiento s, la velocidad v y la aceleración a.
TANS 5.14 Plantear un modelo/ecuación diferencial a partir de un contexto; resolución mediante separación de variables.
TANS 5.15 Campos de direcciones y sus correspondientes diagramas.
TANS 5.16 Método de Euler para hallar la solución aproximada de ecuaciones diferenciales de primer orden; resolución numérica de y´=f(x,y); resolución numérica de un sistema acoplado de la forma x´=f(x,y,t) y y´=f(x,y,t); contextos, incluidos los modelos depredador-presa.
TANS 5.17 Retratos de fase para la resolución de ecuaciones diferenciales acopladas de la forma dx/dt = ax+by, dy/dt=cx+dy; análisis cualitativo de las trayectorias futuras correspondientes a valores propios distintos, reales, complejos e imaginarios; dibujo aproximado de trayectorias y uso de los retratos de fase para identificar las características principales, tales como los puntos de equilibro, las poblaciones estables y los puntos de silla.
TANS 5.18 Resolución de d²x/dt² = f(x,x´,t) mediante el método de Euler.
TANS 5.19 Desarrollo en serie de Maclaurin de e^x, sinx , cosx , ln(1+x), (1+x)^p  p e Q; obtención de nuevas series mediante sustitución, productos, integración y derivación; series de Maclaurin a partir de ecuaciones diferenciales.