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Progressões Aritméticas

edufeee — 2024-04-26 14:58:35 UTC

O que é?

edufeee — 2024-04-26 15:03:14 UTC

A Progressão Aritmética (P.A.) é uma sequência de números onde a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença constante é chamada de razão da P.A..

Descoberta

edufeee — 2024-04-26 15:09:46 UTC

Foi descoberta por Carl Friedrich Gauss, onde no século XIX, em sua época de escola, recebeu um exercício de seu professor. O exercício tinha o objetivo de ser demorado, porém foi resolvido rapidamente por Gauss usando lógica, a PA.

Lógica de Gauss

edufeee — 2024-04-26 15:12:52 UTC

O Professor somasse os números de 1 a 100, para assim demorarem bastante tempo para fazerem os cálculos, mas Gauss calculou mentalmente a soma da progressão aritmética 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100, observando que 100 + 1 = 101, 99 + 2 = 101, 98 + 3 = 101 e assim por diante com os cinquenta pares possíveis dessa maneira, chegando em 50 x 101 = 5050.

Classificações

edufeee — 2024-04-26 15:15:00 UTC

Constante

edufeee — 2024-04-26 15:17:25 UTC

Quando a razão for igual a zero:

Por exemplo: (4, 4, 4, 4, 4...), sendo r = 0.

Crescente

edufeee — 2024-04-26 15:18:41 UTC

Quando a razão for maior que zero:

Por exemplo: (2, 4, 6, 8,10...), sendo r = 2.

Decrescente

edufeee — 2024-04-26 15:19:56 UTC

Quando a razão for menor que zero

Por exemplo: (15, 10, 5, 0, - 5,...), sendo r = - 5

Propriedades da P.A.

edufeee — 2024-04-26 15:21:04 UTC

1ª propriedade

edufeee — 2024-04-26 15:23:33 UTC

Em uma P.A. finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

2ª propriedade

edufeee — 2024-04-26 15:24:46 UTC

Considerando três termos consecutivos de uma P.A., o termo do meio será igual a média aritmética dos outros dois termos.

3ª propriedade

edufeee — 2024-04-26 15:26:30 UTC

Em uma P.A. finita com número de termos ímpar, o termo central será igual a média aritmética entre termos equidistantes deste. Esta propriedade deriva da primeira.

Fórmula do Termo Geral

edufeee — 2024-04-26 18:41:54 UTC

Como a razão de uma P.A. é constante, podemos calcular seu valor a partir de quaisquer termos consecutivos.

Observando o resultado encontrado, notamos que cada termo será igual a soma do primeiro termo com a razão multiplicada pela posição anterior.

Esse cálculo é expresso através da fórmula do termo geral da P.A., que nos permite conhecer qualquer elemento de uma progressão aritmética.

Fórmula do termo geral a partir de um termo k qualquer

edufeee — 2024-04-26 18:48:34 UTC

Muitas vezes, para definir um termo genérico qualquer, que chamamos de an, não temos o primeiro termo a1, mas conhecemos outro qualquer, que chamamos de ak.

an: o n-ésimo termo da P.A. (um termo numa posição n qualquer)
ak: o k-ésimo termo de uma P.A. (um termo numa posição k qualquer)
r: a razão

Soma dos Termos de uma P.A.

edufeee — 2024-04-26 18:52:12 UTC

Para encontrar a soma dos termos de uma P.A. finita, basta utilizar á formula acima;

S_n: soma dos n primeiros termos da P.A.
a₁: primeiro termo da P.A.
a_n: ocupa a enésima posição na sequência (uma termo na posição n)
n: posição do termo.

Eduardo Felipe-n°10/Ana Lee-n°01

edufeee — 2024-04-26 19:00:59 UTC