1. Tasa de Cambio:

• La derivada de una función f(x) en un punto específico xxx indica la tasa de cambio instantánea de la función en ese punto. En términos sencillos, nos dice cómo de rápido o lento está cambiando el valor de la función a medida que cambia la variable independiente "x".

• Por ejemplo, si f(x) representa la distancia recorrida por un automóvil en función del tiempo, la derivada f′(x) representa la velocidad del automóvil en cualquier instante xxx.

2. Pendiente de la Tangente:

• La derivada de una función en un punto xxx también se interpreta como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto.

• Si f′(x)>0, la función está aumentando en ese punto; si f′(x)<0, la función está disminuyendo; y si f′(x)=0, la función tiene un punto crítico que podría ser un máximo, mínimo o punto de inflexión.

3. Comportamiento Local de la Función:

• La derivada da información sobre el comportamiento local de la función. Al observar cómo cambia la derivada en diferentes puntos, se pueden identificar máximos y mínimos locales, intervalos de crecimiento y decrecimiento, y puntos de inflexión donde la curvatura de la función cambia.

• Esto es esencial en la optimización y en el análisis del comportamiento de funciones en contextos prácticos.

4. Aproximación Lineal:

• La derivada también permite aproximar la función cerca de un punto utilizando una aproximación lineal. Esta aproximación es dada por la ecuación de la tangente en ese punto:

f(x)≈f(a)+f′(a)(x−a)

Esta aproximación es útil cuando se necesitan estimaciones rápidas del valor de la función para valores cercanos a "a".

5. Evolución de la Función:

• En problemas de física, economía y otras ciencias, la derivada describe cómo una variable dependiente evoluciona con respecto a una independiente, permitiendo modelar y predecir el comportamiento de sistemas dinámicos.

Sabiendo esto, podemos derivar de la siguiente manera:
1.- Derivada de una variable:

1.- Se multiplica su coeficiente por su exponente y se anota como nuevo exponente.
2.- Se le resta 1, al exponente y se pone como nuevo exponente.

Esto es:
f(x) = x^4, f’(x) = 1*4^4-1 = 4^3

Términos:

3x³, -2x², -5x, +2

2.- Derivamos cada uno de los términos:

f(x) = 3x³       f’(x) = 3*3x^3-1 = 9x²

f(x) = -2x²      f’(x) = 2*-2x^2-1 = -4x

f(x) = -5x        f’(x) = 5*-5x^1-1 = 25x⁰ (x⁰ es igual a 1) = 25(1) = -25

f(x) = 2           f’(x) = 0 (Derivada de una constante es igual a 0)

3.- Unimos los términos ya derivados

RESULTADO FINAL

f’(x) = 9x² - 4x - 25

f(x) = U V  FóRMULA DERIVAR:

f’(x) = U’*V+U * V’

1.- En dicha función identificamos U y V:

U = 4x² – 6x + 2                                          

V=3x²-10

2.- Aplicando la fórmula multiplicamos la derivada de U por V:

U’*V = (2*4x2-1 -1*6x1-1 ) (3x2 -10) = (8x-6)(3x2 -10) = (8*3x1+2) + (8x*-10) + (-6*3x2 ) + (-6*-10)

U’*V = 24x3 – 80x – 18x2 + 60

3.- Aplicando la formula multiplicamos U por la derivada de V:

U*V’ = (4x2 – 6x + 2)(2*3x2-1 ) = (4x2 – 6x + 2)(6x) = (4*6x2+1) + (-6*6x1+1) + (2*6x)

U*V’ = 24x3 – 36x2 + 12x

4.- Una vez tenemos los dos productos procedemos a sumar los resultados:

f’(x) = U’*V + U * V’

f’(x) = (24x³ – 80x – 18x² + 60) + (24x³ – 36x² + 12x) (como es una suma todos los signos pasan igual)

f’(x) = 24x³ – 80x – 18x² + 60 + 24x³ – 36x² + 12x (SUMAMOS TÉRMINOS SEMEJANTES)

f’(x) = 24x³ + 24x³ – 18x² – 36x² + 12x – 80x + 60 (SUMAMOS TÉRMINOS SEMEJANTES)

RESULTADO FINAL:

f’(x) = 48x³ - 54x³ – 68x + 60