Ова е суштината на динамичкото програмирање – да не го повторуваме тоа што веќе го знаеме, туку да го користиме како дел од новото решение.

• Разбивање на проблемот на помали делови (Divide and conquer)

• Решавање на секој мал дел

• Паметење на решенијата (Memoization)

• Комбинирање за финалниот резултат

Кога решаваме покомплексни проблеми – сакаме да го направиме истото.

•Дадена е низа од цели броеви.

•Потребно е ефикасно да се одговори на прашањето: Кој е најмалиот број од првите X елементи во низата?

🧠 Идеја за решавање:

•Доколку го знаеме најмалиот број до позиција i-1, лесно можеме да го најдеме најмалиот до i.

•Користиме динамичко програмирање за да ги запамтиме решенијата до секоја позиција.

📌 Пример:

Низа: [15, 14, 12, 13, 9, 7, 13, 13, 14, 100]

Најмал од првите 4 елементи: 12

Најмал од првите 9 елементи: 7

Важно е да се запамти тоа што работи само за интервали од првата до х-позиција. Но и за други интервали може да се направи решение со динамичко програмирање, но нема да биде ова. Временска сложеност од O(N) за пресметувањето каде што се пополнува низата, О(1) за одговор на прашањето.

Решавање одоздола-нагоре/bottom-up: почнувајќи со најмалите состојби, правиме пресметки и ги откриваме вредностите за се поголеми состојби. Кај примерот со фибоначиевите броеви, ова значи дека почнуваме со дефинирање дека првите два фибоначиеви броеви се еднакви на 1. Потоа, ја пресметуваме вредноста на третиот број собирајќи ги првите два. Слично, го откриваме четвртиот број, и така натаму, се додека не дојдеме до N-тиот.

2. Избор на параметри што ја дефинираат состојбата. Уствари кои информации се потребни за да го решиш подпроблемот? Пример во Фибоначи зависиме само од i променливата

3. Тривијална состојба се почетните вредности – тие ги знаеме однапред! Што се случува кога i = 0, i = 1, итн. Во Фибоначи знаеме дека fib[1]=1 и fib[2]=1, во примерот со најмал број во низата, ако имаме листа од еден број тој секогаш е најмал. Потребни за да можеме да ја изградиме решението чекор по чекор

4. Трансфер формула со неа преминуваме од познати состојби кон нови. Во Фибоначи беше собирање на двата претходни броја, за најмал број беше барање минимум помеѓу веќе познатиот најмал број и новата вредност што ни следи. Односно како една состојба да ја претставиме преку други подсостојби

5. Чување на резултати во меморија или некоја структура

•Имаме неограничен број на монети со дадени вредности. На пример: coins = {1, 2, 5, 7, 10}

•Сакаме да вратиме кусур од точно X = 19 денари, користејќи најмал можен број на монети.

🧠 Идеја за решавање:

•За секоја сума од 1 до X, пресметуваме колку најмалку монети ни се потребни.

•Го користиме фактот дека веќе сме ги пресметале оптималните решенија за сите помали суми.

•За секоја вредност i, пробуваме да ја додадеме секоја монета и да провериме дали се добива подобро решение.

•Нека dp[i] биде минималниот број на монети потребни за да се добие точно сума i.

🧱 Тривијална состојба

•dp[0] = 0 (за да вратиме кусур од 0 денари, не ни требаат монети)

📌 Преод

•За секоја вредност i од 1 до X, го правиме следново:

    dp[i] = минимум од сите dp[i - coin] + 1  за сите монети coin <= i

•Зошто +1? Бидејќи користиме една дополнителна монета (coin) да го добиеме i од i - coin.

✅ Параметар:

•Сумата на пари за која сакаме да најдеме колку најмалку монети ни се потребни за да ја составиме - i.