이 개념의 뿌리는 17세기로 거슬러 올라간다. 아이작 뉴턴과 고트프리트 라이프니츠는 곡선 아래 넓이를 구하는 문제를 풀기 위해 곡선 아래 영역을 아주 작은 직사각형 조각으로 나누는 아이디어를 고안했다.

각 조각의 넓이는 f(x)와 Delta x의 곱으로 표현된다. 이 직사각형의 넓이들을 모두 더하면, 곡선 아래 면적의 근삿값이 만들어진다.

여기서 너비 Delta x를 무한히 작게 만들면 곡선에 한층 더 정밀하게 맞아떨어지고, 결국 얻게 되는 값이 바로 정적분이다.

이 수식은 단순한 계산법이 아니라 작게 나눈 것들의 합이 전체를 만든다는 수학적 사고를 담고 있다. 함수값이 양수일 때는 곡선 아래 넓이로 음수일 때는 부호를 포함한 누적량으로 해석된다. 이렇게 정적분은 눈에 보이지 않는 공간을 수로 읽는 언어가 된다.

이 개념은 추상적인 수학에만 머무르지 않는다. 실제로 정적분은 환경·공학·경제·생명과학 등 다양한 분야에서 넓이나 누적량을 계산하는 데 활용된다. 예를 들어 강우량의 누적 계산, 세포 성장 곡선의 면적 해석, 자원 소비량 분석 등 수많은 현상이 정적분으로 표현된다.

결국 정적분은 우리가 사는 세상의 변화를 이해하고 그것을 수치로 표현할 수 있게 만든 수학의 역사적 성취이자 실생활의 도구다.

빈칸 같던 곡선 아래 공간은 수학의 눈으로 보면 더 이상 비어 있지 않다. 거기엔 수, 의미, 그리고 세상을 이해하는 방법이 담겨 있다.

“ζ(s) = 0이 되는 모든 비자명한 해의 실수부는 1/2이다.” 리만의 핵심 주장.

P=(I⋅A⋅η)⋅cos(θ)

(I: 최대 태양 에너지, A: 패널 면적, η: 패널 효율)

위 상수들을 k로 묶어 P(θ)=kcos(θ) 로 표현한다.

발전량(P)이 최대가 되려면 cos(θ)=1, 즉 입사각 θ가 0°(패널과 태양광이 수직)이어야 한다.

α (알파): 태양의 고도 (지표면과 태양광 사이 각)

β (베타): 패널의 설치 각도 (지표면과 패널 사이 각)

관계식: θ=∣90°−(α+β)∣

최종 발전량 함수: P(β)=kcos(90°−(α+β))=ksin(α+β)

발전량의 순간 변화율을 알기 위해 P(β)를 β에 대해 미분한다.

P’(β)= - [ksin(α+β)]‘=kcos(α+β)

변화율이 0이 되는 지점(P(’β)=0)을 탐색: cos(α+β)=0

따라서 극값을 가질 수 있는 임계점은 α+β=90°이다.

임계점이 정말 최댓값인지 확인하기 위해 한 번 더 미분한다.

P’‘(β) = [kcos(α+β)]’=−ksin(α+β)

임계점 조건(α+β=90°)을 대입한다.

-ksin(90°)=−k

k>0 이므로 P‘′(β)<0 (음수).

이계도함수가 음수이면 그래프는 그 지점에서 위로 볼록하므로, 이 지점에서 최댓값을 갖는다고 수학적으로 증명된다.

발전량을 최대로 만드는 공식은 다음과 같이 나타낼

최적 패널 각도(β) = 90° - 태양의 고도(α)

미적분을 통해 최적의 패널 설치 각도를 알아내어, 이를 바탕으로 태양 전지 효율을 극대화한다. 따라서 태양의 고도에 따라서 (계절 등에 따라서) 설치 각도를 조절할 필요가 있다.

대한민국 서울 기준:

춘/추분 (고도 약 52.5°): 최적 각도(β) ≈ 37.5°

하지 (고도 약 76°): 최적 각도(β) ≈ 14°

동지 (고도 약 29°): 최적 각도(β) ≈ 61°

Deomos: 실시간 그래프 시각화

GeoGebra: 함수 미분-적분 게산 및 3D 시각화 가능

Symbolab: 단계별 미분-적분 풀이 제공

Wolfram Alpha: 수학적 모델링 및 그래프 분석

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수학 문제를 쉽게 해결하고 함수와 방정식의 그래프를 표시하며 통계와 미적분을 수행하고 대화형 기하를 결합하며 결과를 저장, 공유하십시오. 전세계 수많은 사용자가 지오지브라 수학 계산기를 사용하여 수학, 과학을 학습합니다. 우리 함께 해요! 모두를 위한 동적 수학!

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그림에 숨어있는 수학 기호를 찾는 활동

1) 시간별 혈중 농도 데이터 업로드

2) Non-compartmental analysis(NCA) 선택 → AUC 자동 계산

3) Compartmental 모델 선택 → ODE 기반 혈중 농도 예측

4) 결과 해석

Tmax, Cmax 확인 → 미분적 분석 활용

AUC 확인 → 적분적 분석 활용

5) 그래프 시각화

C(t) vs t, AUC vs t

극값, 평균값, 증가/감소 구간 확인

유용함

1) 미분 계산

- 약물 농도가 가장 빠르게 증가/감소하는 시점 분석

- 금단 증상이나 부작용과 연관된 변화율 평가

2) 적분 계산

- 일정 기간 동안의 총 약물 노출량(AUC) 평가

- 안전 범위 내 투여량·투여 간격 결정

- 반복 투여 시 체내 누적량 예측

3) 그래프 시각화

- C(t), C'(t), AUC를 동시에 표시하여 직관적 이해

- 극값, 평균값, 증가/감소 구간 확인 가능

#1. 미분으로 읽는 트렌드 곡선

패션 트렌드를 시간에 따른 인기 함수 f(t)로 나타낸다면, 그 기울기 $$ f'(t) $$ 는 트렌드의 상승 속도와 하락 속도를 의미한다.

- f'(t) > 0 $$: 트렌드가 상승 중인 구간 (신흥 유행 등장)

- f'(t) = 0 $$: 정점, 즉 트렌드의 절정기 (대중화와 포화 시점)

- f'(t) < 0 $$: 트렌드가 하락세로 전환 (소비 피로, 포화 후 쇠퇴)

이러한 ‘변화율’ 개념은 실제 패션 산업 분석에서도 트렌드 수명주기(TLC: Trend Life Cycle)를 수량화하는 데 쓰인다.

#2. 실제 패션 트렌드의 미분적 해석

2025년 트렌드는 맥시멀리즘의 귀환처럼 급상승한 유행이 포화되기 전까지 짧은 주기로 변동한다. 한경비즈니스 분석에 따르면 화려함으로 복귀한 맥시멀리즘, 젠더리스 스타일 등이 올해 빠르게 상승하지만 가격 민감도 증가와 경기둔화로 급격히 정체될 가능성이 있다. 이 구간이 바로 $$ f'(t) = 0 $$ 근방, 즉 ‘트렌드 정점’으로 볼 수 있다.

트렌드 하락 국면은 소비자 신뢰 저하와 피로 누적에서 비롯되며, 미분 그래프에서 기울기가 음수로 바뀌는 지점과 대응된다. 다시 말해, ‘두 번째 미분 $$ f''(t) $$’이 음수일 경우, 트렌드의 성장률이 감소세에 접어들었음을 의미한다.

#3. 시각적 패션 요소의 기울기와 곡률

미분은 단순히 시간 변화뿐 아니라, 패션 디자인의 시각적 곡선(실루엣, 라인 등) 분석에도 쓰인다. 예컨대 눈썹 곡선의 ‘임계점(critical point)’이 미분계수가 0인 점으로 정의되듯, 패션 실루엣의 굴곡도 동일하게 수리적 설명이 가능하다. ‘곡률 $$ κ = 1/R $$’ 값이 커질수록 유행 실루엣의 곡선미가 강해진다는 연구 결과가 있다.

# 4. 요약

결국 “수2 미분으로 패션 트렌드를 읽는다”는 것은, 유행의 상승기–정점–하락기를 수학적 변화율로 모델링하는 분석이다. 기업은 이를 활용해 컬렉션 시기, 마케팅 강도, 재고 조정 시점을 미세하게 조절할 수 있다. 미분은 패션의 감각을 ‘변화의 속도와 방향으로 수량화하는 언어’라고 할 수 있다.

대표적인 예 중 하나는 리만 가설과 같이 무한에 가까워질 때 함수가 어떻게 행동하는지를 분석하는 문제다. 극한은 단순히 함수의 값이 수렴하는지 아닌지를 따지는 데서 끝나지 않는다. 어떻게, 얼마나 빠르게, 어떤 규칙으로 가까워지는지가 수학의 중요한 주제가 된다.

예를 들어, 극한 과정에서의 ‘진동’과 ‘발산’ 문제는 여전히 현대 해석학의 중요한 연구 분야다. 함수가 특정 값에 가까워지다가도 무한히 진동하는 경우, 수렴 여부를 단순히 판단하는 것만으로는 충분하지 않다. 수학자들은 이런 경우를 정밀하게 분석하기 위해 점별 수렴, 균등 수렴, 약한 수렴 등 다양한 수렴 개념을 만들어냈다. 이 개념들은 모두 ‘극한’을 더 정밀하게 정의하려는 노력의 결과다.

또한 나비에-스토크스 방정식과 같은 현대의 난제도 결국 “극한”의 문제로 귀결된다. 이 방정식은 유체의 움직임을 설명하는데, 미분과 적분, 그리고 극한의 정밀한 계산이 얽혀 있다. 무한히 작은 변화가 쌓이면서 만들어지는 복잡한 패턴을 수학적으로 완벽히 설명하는 것은 여전히 인류가 풀지 못한 난제다.

극한은 ‘끝’을 보는 개념이 아니다. 오히려 끝이 없는 과정 속에서 질서를 찾는 수학의 시선이다. 우리가 교과서에서 배우는 극한은 그 출발점에 불과하다. 극한을 얼마나 정밀하게 이해하고 다룰 수 있는지가, 21세기 수학의 방향을 결정할 열쇠가 되고 있다.

미분방정식은 미적분 계산이 되는 함수를 변수로 간주하는 방정식 즉, 함수 그 자체를 미분하여 결과를 도출한다. 함수를 미분한다는 것은 물체의 가속도(그래프에서 기울기) 등과 같은 특정 지점에서의 물리량 변화를 확인할 수 있다는 뜻이므로, 미분방정식을 사용하면 자연 현상에 대한 분석과 예측에 매우 유용하다.

미분방정식은 영화에서도 활용된다. 해일이 도시를 덮친다든가, 커다란 화염과 같이 실제 장면을 촬영을 할 수 없는 가상적인 상황이나 매우 위험한 장면에서는 실제 촬영보다는 미분방정식을 풀어서 나온 해를 시각화 시켜 실감 나는 영상을 만들어 낸다. 특히 유체를 보다 정교하게 표현하기 위해 나비에-스토크스 방정식과 같은 미분방정식은 영화에서 빠질 수 없는 요소가 되었다.

이 방정식은 기본적으로 유체의 운동을 기술하지만, 영화에서는 '레벨 셋(Level Set)'이라는 개념을 추가적으로 결합해 더욱 장면을 생생하게 묘사한다. 레벨 셋이란 유체가 움직일 때 공기와 맞닿은 부분의 변화, 유체에 뜬 물체의 이동과 같은 움직임을 표현하기 위해서 공기와 물, 물과 물체 사이의 경계를 표현하는 개념이다. 영화의 특수 효과에서 이런 계산을 이용하며, 그중에서 아주 흥미진진하면서도 사실적으로 구현된 유체의 계산을 「해리포터와 불의 잔」, 「캐리비안의 해적」 등에서 확인할 수 있다.

레벨 셋은 수학적으로 경계의 형태를 묘사하는 방법 중의 하나로서 연속에서 불연속으로 진행되는 현상을 다루는 문제를 그 영역의 차원을 높여서 접근한다. 쉽게 말해서 2차원 현상을 3차원적 관점에서 다룬다는 뜻이다. 이 방법은 2차원 곡선의 형태가 어떤 3차원 물체의 수평 단면의 경계와 일치한다는 가설에서 출발한다. 즉, 위 그림의 상단처럼 점점 연속성이 줄어드는 2차원 영역을 하단처럼 3차원 함수의 단면으로 본다. 그렇다면 3차원 함수가 아래로 연속적으로 가라앉지만 2차원에서 보면 두 영역이 서로 분리되는, 불연속 영역이 된다. 따라서 불연속적으로 보이는 변화도 차원을 높여서 접근하면 연속적인 현상으로 이해할 수 있다. 이렇게 차원을 하나 높여서 연속적인 함수의 움직임을 계산하면, 그 결과에서 우리가 알고 싶은 단면만 잘라내어 서로 연속되지 않은 여러 부분들의 값을 각각 구할 수 있다. 너무나 단순하지만, 실제로는 대단히 혁신적인 발상이다.

이 함수를 이용하면 불이 타오르는 모습까지도 실감 나게 계산해 낼 수 있다. 불도 기체(유체)이기 때문에 압력 차이에 따라 상승하는 모양과 불길이 서로 나뉘는 경계까지도 시뮬레이션 할 수 있다. 따라서 예전에 육안으로 봤던 불길을 단순히 묘사할 때보다 훨씬 정교한 움직임의 불길을 재현할 수 있다. 영화 「해리포터와 불의 잔」에서 용이 뿜어내는 화염이 실제로 우리가 보는 것만큼 실감 나게 보이는 것은 유체를 다루는 미분방정식을 사용하였기 때문이다.

그러니까 영화 CG란 단순히 그림을 그리듯이 임의로 제작한 것이 아니라, 미분방정식의 해를 시각화시킨 결과물인 것이다. 영화 「캐리비안의 해적」에서는 영화의 제목답게 물이 핵심적인 배경으로 등장하는데, 여기서 볼 수 있는 물의 다양한 움직임들 역시 실제 물의 모습을 찍은 것이 아니라, 작품에서 필요한 물의 움직임을 계산해 내서 만든 CG이다. 얼마 전 세계에서 사랑받았던 애니메이션 중 하나인 「겨울 왕국」에서는 탄성(elasticity)과 소성(plasticity)을 다루는 방정식을 이용하여 휘날리는 눈보라를 컴퓨터로 계산하고 이를 시각화하였다.

출처:https://news.samsungdisplay.com/27721

혼자서도 쉽고 재미있게 패션 마케팅을 이해할 수 있는 입문서 겸 지침서. 패션 마케팅의 개념부터 시작해 마케팅의 실행 전략인 마케팅 믹스, 상품·가격·유통·촉진에 대해 살펴보고, 마케팅의 중심인 소비자의 행동을 이해할 수 있도록 도와준다.

저자는 딱딱한 마케팅 이론을 설명하는 대신 독자들을 생생한 패션 마케팅의 현장으로 이끌고 전략적인 사고력을 키워 준다. 패션은 유행에 민감하고 어떤 분야보다도 빠르게 변하는 산업이다. 이런 시장에서 성공적인 마케팅을 하기 위해서는 우선 기초가 탄탄해야 한다.

이 책은 반드시 알아야 할 패션 마케팅의 핵심을 쉽게 이해할 수 있도록 하는 동시에 현장에서 바로 사용 가능한 마케팅을 알려 줄 것이다. 패션 이론의 기초를 패션 마케팅과 함께 논해 이를 처음 만나는 독자들도 쉽게 이해할 수 있다. 패션 마케팅의 실제를 더욱 잘 파악할 수 있게 하기 위해서 우수한 성과를 올리고 있는 '폴햄', '코데즈컴바인', '올포유' 세 개 브랜드의 실제 사례를 실었다.

* 출처 : 예스24 <https://m.yes24.com/goods/detail/5512716>

• 약물 용량 계산: 환자의 체중과 체표면적을 바탕으로 약물 농도를 게산할 때 비레식-함수식과 단위 환산이 필수적임

-> 그래프가 반드시 필요함

• 수액 주입 속도 계산: 시간당 ml를 계산할 때 비례식과 단위 변환이 활용됨.

• 환자 모리터링 데이터 해석: 심박수, 체온, 혈압 등의 변화율을 파악하고 이상 징후를 예측하는데 수학이 활용됨.

2) 의료 영상 및 진단 기술

• CT, MRI 영상 복원: 적분 역변환을 통해 영상 재구성

• 심전도, 혈당 그래프 분석: 그래프의 기울기가 생체 변화율 나타냄

• 혈중 약물 농도 모델링: 미분 방정식으로 약물의 흡수, 분해, 배출 과정을 예측

3) 미분과 생명

• 세포의 성장과 분열 과정을 미분을 통해 수학적으로 모델링할 수 있음. 세포가 일정 시간 동안 어떻게 증식하는지를 설명하는데 미분 방정식이 사용됨.

• 약물 동태학에서의 활용: 약물 섭취 후 약물의 대사, 소화 과정을 설명하고 시간에 따라 혈중 약물 농도가 어떻게 변화하는지 나타내는데 미분이 활용됨.

• 생리학적 모델링: 생리학적 과정, 특히 심혈관 시스템이나 호흡 시스템의 기능을 설명하는데 미분 방정식이 필요함. 심장의 박동, 동맥과 정맥을 통해 흐르면서 압력과 흐름이 시간에 따라 어떻게 변화하는지 설명하는데 미분이 활용됨

  
  

보도기능

우리의 일상에서 ‘함수의 연속’은 생각보다 자주 등장한다.

예를 들어 겨울철 보일러의 자동 온도 조절기(thermostat)는 실내 온도를 부드럽게 유지하기 위해 연속 함수의 원리를 이용한다. 온도 𝑇(𝑡)가 시간 𝑡에 따라 변할 때,

(x→a)lim​f(x)=f(a)

가 성립하면 함수는 연속이라 한다.

즉, 어떤 시점에서 왼쪽과 오른쪽의 온도 변화가 같을 때 그래프는 ‘뚝 끊기지 않고’ 자연스럽게 이어진다. 보일러가 목표 온도 25도를 유지하려 할 때 온도가 23도→27도로 급변하면 불쾌감을 느끼지만,

T(t)=25+2sin(t)

처럼 연속적인 함수로 변하면 부드럽게 온도가 조절된다. 이처럼 함수의 연속성은 시스템의 안정성과 직결된다.

지도기능

– ‘연속 최적화’ 연구, 국제 수학상 수상으로 주목 –

함수의 연속성은 수학의 기본 개념이지만, 실제로는 인공지능·데이터 분석 등 현대 과학기술의 핵심에도 깊게 스며 있다.

최근 국제응용수학회(SIAM)는 2024년 Lagrange Prize in Continuous Optimization의 수상자로 Jérôme Bolte와 Edouard Pauwels를 선정했다.

이들은 “Conservative set-valued fields, automatic differentiation, stochastic gradient methods and deep learning”이라는 논문을 통해 연속 함수와 최적화 이론을 인공지능 학습 과정에 접목한 공로를 인정받았다.

이 상은 연속적 변수와 함수의 성질을 이용해 문제를 해결하는 ‘연속 최적화(continuous optimization)’ 분야의 뛰어난 연구자에게 수여된다.

오락기능

간단한 4컷만화

광고기능

추천 프로그램: Desmos 그래프 계산기

– 함수의 연속성과 그래프의 변화를 직접 시각화해 볼 수 있는 온라인 도구.

https://www.desmos.com/calculator?lang=ko

줄거리:수학이 불완전한 세상에 대처하는 방법』은 4부로 나눠져 있다. 1부에서는 ‘코딩 이론’을 소개한다. 코딩 이론은 불완전한 소통을 보완하기 위한 것으로 통신 과정에서 생기는 오류를 탐지하고 교정할 수 있다. 특히 우주 탐사 과정에서 일어나는 무수한 통신 문제를 해결하고 있다.
0과 1로 이뤄진 디지털 신호에 잡음이 섞이면 0이 1로 바뀌거나 1이 0으로 바뀌는 경우도 종종 발생한다. 전달받은 메시지가 본래의 메시지인가를 확인한 후 자동으로 교정까지 하는 수학 이론이 바로 코딩 이론이다. 소통의 이론이라고 할 수 있다.
2부에서는 확률의 세계와 비둘기집 원리를 설명한다. 사람들은 수많은 상황에서 확률을 접하게 된다. 확률의 개념은 경우의 수를 세는 것에서 출발한다. 복잡계와 정보량 같은 전혀 다른 세계의 문제도 결국 셈의 문제로 귀착된다.
확률을 공부하다 보면, 아주 단순하고 당연한 원리로 심각한 문제들을 풀 수 있다. 바로 초등학생도 이해할 수 있는 ‘비둘기집 원리‘를 이용해서 해결할 수 있다는 것이다.
비둘기집은 말 그대로 비둘기가 사는 구멍이다. 여기서 강조하고 싶은 것은 ‘단순한 관찰의 힘’이다. 비둘기집이 여러 개 있는데, 비둘기집보다 비둘기 수가 더 많을 경우를 생각해 보자. 예컨대 비둘기집은 10개인데 비둘기는 15마리라면, 아마 어느 집에는 비둘기가 2마리 이상 들어가야 한다.
3부에서는 프랙탈 원리다. 수학자 망델브로는 ‘깨진 조각’이라는 뜻의 라틴어에서 유래한 프랙탈(Fractal) 개념을 발전시켰다. 이 단어는 이제 일상어가 되어 경제학이나 미술 등 전혀 다른 분야에서도 널리 사용된다.
프랙탈 개념은 겨울날의 눈송이 모양이나 금융시장의 불규칙한 가격 변동 등을 하나의 수학 이론으로 설명한다. 이토록 다른 일들이 연결되는 까닭은 확대해서 들여다보아도 같은 모양이 되풀이된다는 공통점 때문이다.
프랙탈은 미적분과 복보수와 관련이 있다. 복소수(complex number)는 실수부와 허수부로 이루어져 있는 수를 말한다. 허수는 영어로 ‘imaginary numger’즉, 존재하는 수가 아니라 상상의 수라는 뜻이다.
문제는 여기서부터라고 할 수 있다. 존재하는 것만 해도 세상은 충분히 복잡한데, 수학자들은 왜 존재하지 않는 수까지 다루게 되는 걸까? 
마지막 4부에서는 박형주 교수와 기획자 정재승 교수의 ‘수학자와 함께하는 상상초월 코크 콘서트’이다. 두 과학자의 수학론이 재미있게 펼쳐진다.
대부분 사람들이 초등학교 때 수학을 배우기 시작해서 중학교 때는 기하를 배우고, 고등학교에 진학해서는 미적분과 통계를 학습한다. 여기에 투자한 시간만 해도 어마어마하다.
그러나 사회에서 수학을 활용하지 못하는 경우가 대부분이다. 저자는 수학공식은 잊어도 괜찮지만 그렇게 터득한 사고방식은 여러 가지 사회 문제에 적용하고, 세상일에 맞추어 쓸 수 있다고 강조한다.

출처 : 헬로디디(http://www.hellodd.com)

Desmos는 웹 기반 무료 그래프 프로그램으로 함수 입력으로 그래프를 시각화할 수 있다. 또한 슬라이더 기능을 통해 변수를 바꾸어가며 그래프가 어떻게 변하는지도 관찰할 수 있다. 이를 통해 극한이나 미분, 적분 등 고등수학의 개념을 직관적으로 이해하는 데 도움을 준다.

Desmos에 접속하여 원하는 함수를 입력하면 즉시 그래프로 표현할 수 있다. 예를 들어 f(x) = ax^3 + x^2 + x + 1을 입력했을 때 a에 슬라이더를 만들면 a값에 따른 그래프 변화를 관찰할 수 있다. 이외에도 높은 차수의 그래프를 입력하여 극값을 한눈에 알아볼 수 있다.

덕분에 복잡한 함수, 궁금했던 함수도 쉽게 그래프로 확인할 수 있고 변수 변화에 따른 변화량도 한눈에 알아볼 수 있어 많은 사람들에게 유용하게 사용되고 있다.

1. 모든 구간에서 불연속인 함수, 디리클레 함수

   함수가 연속이라는 것은,

   함수값이 존재하고, 좌극한과 우극한이 같으며 극한값과 함수값이 같다는 의미이다.

   
   

   즉 모든 점에서 극한이 존재하지 않은 함수는 모든 점에서 연속이지 않은 함수일 것이다.

   X=0 (X는유리수)

   X=1(X는 무리수)

   이 함수는 디리클레 함수라고 불린다.

   
   

   x가 유리수이면 1, 무리수이면 0인 단순한 함수이지만

   놀랍게도 모든 구간에서 불연속이고, 엡실론-델타 논법을 사용해 부분적으로 증명 가능하다.

2. 바이어 슈트라스 함수

   이 함수는 모든 점에서 연속이지만 모든 점에서 미분 불가능한 함수인 병리적 함수의 대표적 예이다.

   우리가 보통 생각하는 미분 불가능한 점은 뾰족하다거나 불연속이거나 등이겠지만 바이어 슈트라스함수는 굉장히 특이하게 생겼다.

   즉, 그래프가 끊기지 않으면서도 너무 불규칙하게 진동하여 접선의 기울기를 정의할 수 없다

   (그래프 제시)

   이 함수는 아무리 확대해도 뾰족한 형태의 함수가 나오며, 프랙탈의 일종이다.

   이 두 함수는 일반적인 미분 개념이 통하지 않거나, ‘연속이지만 미분 불가능한 함수’처럼 직관을 깨는 사례로서 수학적 사고를 깊게 확장시켜준다. 따라서 단순히 계산 중심의 학습에 머무르기보다, “연속이란 무엇인가?”, “미분이 가능한 조건은 무엇인가?” 같은 근본적 질문을 던져야 한다. 수학을 통해 세상을 이해하려면 익숙한 규칙 속에서도 의심하고, 새로운 정의를 받아들이는 열린 사고가 필요하다.

   1. 2) 과속 단속 카메라(보도 기능)

      1. 고정식 특정 지점 단속카메라

         자동차의 규정 속도를 측정할 때의 기준은 매 순간의 속도를 측정

         도로 바닥에 2개의 와이어루프가 설치되어 있고, 각 지점에서의 속도를 측정한다. 엄밀히 말하면 순간속도가 아닌 두 지점의 평균속도이고, 두 와이어 루프의 거리를 줄일수록 순간속도에 가까워지겠지만 반대로 측정오차가 커짐

      2. 고정식 구간 단속카메라

         두 지점 사이의 평균속도를 계산,

         평균속도가 규정속도 이상이라면 평균값정리로 인해 반드시 두 지점 사이에 과속한 구간이 존재 다만 평균속도가 규정속도 이상이 아니더라도 과속한 구간이 있을 수도 있다는 단점이 존재

         3) 한화택- 미적분의 쓸모(광고 기능)

         한화택의 『미적분의 쓸모』는 미적분을 단순한 계산이 아닌, 세상의 변화를 이해하고 예측하는 언어로 바라보게 해주는 책이다. 저자는 미분을 통해 순간의 변화율을, 적분을 통해 누적된 전체 양을 설명하면서, 이 두 개념이 현실 속 여러 현상을 분석하는 데 얼마나 중요한 역할을 하는지를 보여준다. 자동차의 속도 변화, 인공지능의 학습 과정, 드론의 비행, 기후 변화 예측, 영화의 시각효과 등 다양한 실생활 사례를 통해 미적분이 실제로 ‘변화를 다루는 수학’임을 직관적으로 풀어낸다. 복잡한 수식보다는 그림과 비유를 중심으로 구성되어 있어 수학에 익숙하지 않은 사람도 쉽게 이해할 수 있으며, 최신 개정판에서는 우주 여행과 가상현실 등 현대 기술 속 미분, 적분의 응용도 함께 다룬다.

         4) 오락기능

         숨은 글자 찾기(수2 용어)
         

1. 보도 기능: 미적분, 하늘을 지배하는 항법의 비밀을 풀다

   고등학교 수학2의 핵심인 미분과 적분은 항공 운항 분야에서 비행기의 안전과 효율을 결정하는 가장 중요한 수학적 기반입니다. 미적분은 급격하게 변화하는 비행 환경 속에서 정확한 순간의 변화를 포착하고 전체 궤적을 예측하는 데 필수적인 도구입니다.

• 항공 운항 속 미적분의 결정적 역할:

   순간 속도 및 가속도 제어 - 미분 (변화율) - 엔진 출력을 미세하게 조정하여 이륙 시 필요한 가속도를 확보하고, 순항 중에는 가속도를 '0'에 가깝게 유지하여 일정한 속도(순항 속도)를 지킵니다.

최적 항로 및 연료 효율 - 미분 - 항공기의 속도와 고도를 조절하여 연료 소비량을 최소화하는 최적의 운항 조건을 계산합니다.

   비행 궤적 및 거리 예측 - 적분 (누적) - 시간에 따른 속도를 적분하여 비행기가 이동한 총 거리를 정확히 계산합니다. 이는 항법 장치의 핵심 기능입니다.

   항공기 자세 및 제어 - 미분 - 항공기 제어장치의 움직임이 비행기의 자세에 미치는 영향을 모델링하여 Autopilot시스템 및 제어 시스템을 설계합니다.

   이처럼 미적분은 조종사가 안전하고 효율적으로 비행기를 운항할 수 있도록 돕는 항법 컴퓨터의 심장과 같습니다. 항공 분야에서 미적분을 이해하는 것은 단순한 지식이 아닌, 안전을 위한 필수 역량입니다.

2. 지도 기능: '수포자'를 넘어 '수학 활용자'로!

수학적 사고력, 21세기 핵심 역량이다

   수학, 특히 미적분을 배우는 많은 학생이 '이것을 배워서 어디에 쓰나?'라는 의문을 갖습니다. 하지만 위에서 보았듯이, 미적분은 현대 사회의 복잡한 시스템을 이해하는 데 언어와 같습니다.

   고등학생들은 단순히 공식을 외우고 문제를 푸는 것을 넘어, 미적분적 사고를 습득해야 합니다. 미적분적 사고란 세상의 현상을 연속적인 변화와 누적으로 파악하고, 순간적인 변화율과 총체적인 결과 사이의 관계를 이해하여 문제 해결에 적용하는 능력입니다.

   수학을 포기하는 이른바 '수포자'가 되는 대신, 학생들은 수학을 현실의 난제를 해결하는 도구로 인식해야 합니다. 4차 산업혁명 시대의 데이터 과학, 인공지능(AI), 양자 컴퓨터 등의 분야는 모두 미적분학을 기초로 합니다. 지금의 노력이 미래에 여러분의 진로를 포함한 모든 선택지를 넓혀줄 핵심 인재가 되기 위한 필수적인 투자입니다.

수학이 이 세계를 이해하는 데 얼마나 근본적인 역할을 하는지는 이미 17세기의 위대한 과학자 갈릴레오 갈릴레이가 명확히 밝혔습니다.

“자연은 수학이라는 언어로 쓰여진 책이다”

  갈릴레이의 모든 자연 및 공학 현상은 수학, 그중에서도 변화와 운동을 다루는 미적분학이라는 언어로 해석됩니다. 이를 통해 알 수 있듯이, 수학 공부는 여러분이 꿈꾸는 모든 첨단 분야에서 문제를 해결하는 도구이자 새로운 기회를 창출하는 기반이 될 것입니다. 지금의 노력이 미래에 당신의 선택지를 넓혀줄 것입니다

3. 광고 기능: 수학 학습의 새로운 비전, Desmos!

Desmos: 종이와 연필을 넘어선 최고의 시각화 도구

수학2의 꽃인 미분과 적분을 공부할 때, 개념의 시각화는 필수적입니다. Desmos는 학생들에게 복잡한 함수와 그래프를 실시간으로, 그리고 무료로 보여주는 혁신적인 온라인 그래프 계산기입니다.

주요 기능:

  -실시간 그래프: 함수식을 입력하는 즉시 그래프가 그려져, 변화의 순간과 누적된 결과를 직관적으로 확인할 수 있습니다.

  -슬라이더 기능: 변수(a, b, c)에 슬라이더를 적용하여 값이 변할 때 그래프가 어떻게 변하는지 동적으로 관찰할 수 있습니다 (예: 함수의 평행이동, 미분계수의 변화 등).

  -다양한 계산: 미분계수, 정적분의 값 등을 입력하여 바로 계산하고 그래프 영역으로 확인할 수 있어, 적분의 '넓이' 개념을 완벽하게 이해할 수 있습니다.

  -유용성: 미적분 개념을 추상적인 기호가 아닌 생생한 시각 자료로 만들어 주어, 수학적 사고력을 극대화하고 학습 흥미를 높여줍니다. 지금 바로 검색하여 활용해 보세요!

4. 오락 기능: 길이가 24cm인 철사를 구부려 직사각형 모양의 액자를 만들려고 합니다. 액자의 넓이가 최대가 되도록 하는 가로, 세로의 길이를 각각 구하시오.

• 힌트: 가로 길이를 x로 두고, 넓이 S(x)를 x에 대한 이차함수로 나타낸 후, 미분을 활용해 극댓값을 찾아보세요! (정답은 신문 하단에 있습니다.)

(해설)

가로를 x, 세로를 y라고 두면 2(x+y)=24, y=12-x

S(x)=x(12-x)=12x-x^2

미분하면 S'(x)=12-2x

S'(x)=0이 되는 x의값은 6

따라서, x=6에서 극댓값을 가짐.

가로 6cm, 세로 6cm일 때 넓이가 가장 큼

<무한대를 본 남자(The Man Who Knew Infinity)>

• 줄거리

• 『무한대를 본 남자』는 20세기 초 인도를 배경으로, 수학에 대한 경이로운 재능을 지닌 청년 라마누잔의 이야기를 중심으로 전개된다. 그는 정규 교육을 거의 받지 못했음에도 불구하고 독창적인 수학적 정리와 이론을 독학으로 터득한 인물이다. 영화는 그의 가난한 출신, 신분 차별, 식민지 인도에서의 삶이라는 배경을 함께 보여주며 시작한다.

  라마누잔은 자신의 수학적 발견들을 정리해 여러 대학에 보낸다. 대부분의 교수들은 무시하거나 응답조차 하지 않지만, 케임브리지 대학교의 하디 교수는 그의 재능을 알아보고 그를 영국으로 초청한다. 이 시점부터 영화는 라마누잔과 하디 교수의 사제 관계, 문화적 충돌, 그리고 과학과 신앙 사이의 간극을 중심으로 이야기를 풀어나간다.

  라마누잔은 영국에서 인종 차별과 동료들의 불신 속에 고군분투하며 자신의 수학 이론을 정립해 나간다. 그러나 그의 건강은 점차 악화되며, 이방인으로서의 고립감과 가족에 대한 그리움은 점점 그를 무너뜨린다. 하지만 그의 업적은 결국 학계에 인정을 받게 되고, 수학의 역사에 길이 남을 이름으로 기록된다.

  [출처] [외국영화]'무한대를 본 남자(The Man Who Knew Infinity)' 리뷰 감상 후기|작성자 캐리앤모스

• 감독의 연출과 영화의 미장센

• 맷 브라운 감독은 전기 영화를 연출함에 있어 자칫 교훈적이거나 딱딱해질 수 있는 소재를 인간적인 감정선과 절제된 연출로 잘 이끌어냈다. 영화는 수학이라는 추상적 분야를 다루면서도, 그것을 철저히 인간의 신념과 감정, 종교적 믿음, 그리고 창조성이라는 맥락에서 풀어간다. 이는 단순히 숫자와 공식이 아닌, ‘왜 그토록 수학에 집착했는가’에 대한 인간적인 이해를 가능케 한다.

  특히 라마누잔이 수학을 “신의 계시”로 여기는 장면들은 그가 숫자 안에서 우주와 신성을 발견하고자 했던 철학적 태도를 엿볼 수 있게 한다. 이에 반해 하디 교수는 철저한 무신론자이자 합리주의자로 묘사되며, 둘 사이의 대립과 교류는 영화의 핵심적인 긴장감과 드라마를 형성한다.

  영화의 색감은 고전적인 브라운 톤과 블루 그레이 톤을 주로 활용해 20세기 초 영국과 인도의 분위기를 묘사하는 데 성공적이었다. 특히 케임브리지의 엄숙한 건축물과 인도의 활기찬 거리, 라마누잔의 가족이 사는 공간의 대조는 시각적으로 문화 간의 간극을 강조하며 이야기의 무게를 더한다.

  [출처] [외국영화]'무한대를 본 남자(The Man Who Knew Infinity)' 리뷰 감상 후기|작성자 캐리앤모스

• 라마누잔이 다루는 '무한급수'는 적분의 극한 개념이 활용된다고 볼 수 있다.

• 영화 속 하디의 대사와 수학의 철학적 연결

  하디가 라마누잔에게 "직관만으로는 충분하지 않네. 증명이 있어야 수학이지."라고 말하는 장면이 있다. 라마누잔은 직관적 수학자, 하디는 논리적 수학자로 그려진다. 라마누잔이 하디를 만나 자신의 직관을 논리적으로 증명하는 모습으로 변해가는 것을 알 수 있다.

  
  

  
  

Aa : 소화관(흡수부위)에 남아있는 약의 양 → 아직 흡수되지 않은 약

ka : 흡수 속도 상수 (소화관 → 몸 안)

k: 제거 속도 상수 (몸 안 → 몸 밖)

약물의 양이 변하는 과정

1.

복용 직후

- Aa = Dose (투여량과 같음)

- 시간이 지나면 Aa 감소 → 흡수 진행 중

2.

흡수 속도

소화관에서 몸으로 흡수되는 속도 = ka × Aa

소화관에서 약이 사라지는 속도는 감소 방향이므로 −dAa/dt = kaAa

3.

몸 안 약물의 변화 속도

dA/dt = (흡수 속도) − (제거 속도)

dA/dt = kaAa − kA

4. 시간에 따른 변화

초반: Aa 큼 kaAa > kA dA/dt > 0 몸 안 약물 농도(혈중농도) 증가

중간: kaAa = kA → dA/dt = 0 → Cmax(최고 농도) 도달

이후: kaAa < kA → dA/dt < 0 → 혈중농도 감소

흡수의 종료 시점

혈중농도가 감소한다고 해서 흡수가 완전히 끝난 건 아님

Aa가 거의 0에 가까워질 때 흡수 종료로 볼 수 있음

약은 소화관에서 몸으로 흡수되며(kaAa), 몸에서도 동시에 제거(kA)된다. 처음엔 흡수가 빠르지만 시간이 지나면 제거가 더 커져 농도가 떨어지고, 소화관 속 약이 거의 없어져야 흡수가 완전히 끝난다.

그 중의 하나가 함수의 극댓값이나 극솟값을 찾는데 사용할 수 있다.

미분은 함수의 기울기를 나타내고있는 함수에요

그래서 미분함수를 0으로 놓고 풀면 기울기가 0인 x 좌표를 구할 수 있다.

미국의 전설적인 농구선수 중에 마이클 조던이라는 선수가 있다.

이 선수의 덩크슛의 궤적을 다음 그림의 4차함수로 나타낼 수 있다고 가정해 본다.

그림에서 보듯이 마이클 조던은 엔드라인으로 부터 4.3미터 정도에서 농구공을 바운드시켜 솟아올랐다가 블로킹에 막혀 다시 공을 아래로 이동시켰다.

그리고 다시 골대의 바스켓으로 공를 올려서 골인시켰다.

위에서 주어진 함수를 사용해서 공중에서의 농구공의 극댓값과 극솟값의 좌표를 구해보기로 하자.

먼저 이 함수를 미분해서 0으로 놓으면 다음과 같다

​

위에서 보듯이 미분함수=0의 방정식을 풀면 x=1, x=2, x=3의 해를 구할 수 있다.

극댓값이나 극솟값의 x 좌표를 구했으니 이 x 좌표를 원래의 4차함수에 대입하면 위에서 보듯이 y좌표 즉, 극댓값과 극솟값의 좌표를 바로 구할 수 있다.

'모아나'는 저주에 걸린 섬을 구하기 위한 소녀의 운명적인 모험을 다루고 있다. 배경은 대부분 바다인데 아주 리얼하다. 파도가 출렁이다가 쩍 갈라지고 물방울이 산산이 흩어지기도 한다. 미국 UCLA의 수학자 조셉 테란 교수(연구 그룹 사이트)는 '모아나'의 바다, 그리고 전작인 '겨울왕국'의 눈을 실제에 가깝게 재현하기 위해 물체의 밀도나 부피, 점성 등 물리적 성질을 기초로 움직임을 만들어내는 수학 방정식을 개발했다.

여기에 기반이 된 수식이 바로 흐르는 물이나 공기 같은 유체의 움직임을 모사하는 '나비에-스톡스 방정식'이다. 밀도와 속도, 압력 등으로 이뤄진 짧은 방정식 하나가 대기나 대양의 흐름과 복잡한 난기류들을 예측할 수 있게 해주는데, 덕분에 효율성 높은 항공기 디자인이나 날씨 예보도 가능해졌다. 지금까지 풀리지 않은 '나비에-스톡스 방정식'은 해가 없다. 그러나 오차가 존재하는 '근사해'만으로도 자연과 거의 유사한 시각적 효과를 내는 것으로 알려져있다. 덕분에 애니메이션 속 풍경은 실제와 가깝게 진화하고 있다.

물리학자였고, 운동과 속도를 연구하다가 미분을 발견했어. 그는 “속도 = 위치의 변화율”이라는 아이디어로 순간적인 속도를 극한 개념으로 표현했지.

그의 언어로는 미분을 흐름량이라고도 불렀어

(2) 라이프니츠 (Gottfried Wilhelm Leibniz)

철학자이자 수학자였어. 그는 미분을 기호화해서 쉽게 계산할 수 있도록 만들었어. 라이프니츠는 작은 변화의 비율로 미분을 정의했고, 미적분의 기호 체계를 만든 덕분에 지금 우리가 편하게 쓰는 거야.

나는 미분의 시초를 라이프니츠로 보고 싶다. 그 이유는 라이프니츠가 지금 우리가 사용하는 미분 기호(dx, dy)를 만들었고, 체계적인 계산 방법을 정립했기 때문이다. 뉴턴이 미분을 먼저 개발하긴 했지만, 그의 방식은 물리학적 문제 해결 중심이어서 현대 수학 교육에서 직접적으로 쓰이지 않는다. 반면 라이프니츠의 기호와 접근법은 수학적 계산과 응용을 훨씬 쉽게 만들어 오늘날 미분학의 기반이 되었다 생각하기때문이다

알레시우 피갈리는 2018년에 미적분학의 편미분과 변분법에 기여하여 필즈상을 받게 되었다

현대 사회에서는 미분이 널리 사용되거있는데 대표적으로 비행기 제동거리 계산 시 속도와 가속도를 통해 계산할 수 있다고 한다 또한 과속카메라에는 걸리는 시간과 속도를 통해 과속여부를 판정하고 우주선의 궤도 계산과 물리학의 운동학등에서 많이사용되고있다

미분관련 퀴즈를 하겠다

엡실론 델타 논법이란 함수 또는 수열의 극한을 명확하게 정의하는 방법이다.

함수 f(x)f(x)가 존재할 때, 임의의 양수 εε만큼 주어진^[4] 치역 범위

∣f(x)−L∣<ε∣f(x)−L∣<ε

안에 공역을 온전히 대응시킬 수 있는 해당 정의역

0<∣x−a∣<δ

및 정의역 범위 δ가 모든 ε값마다 존재한다면,x→a일 때 함수 f(x)의 극한값을 L이라고 정의한다.

이때, 함수 f(x) 는 x→a에서 L에 수렴한다고 하며,

lim⁡x→a f(x)=L

로 표현한다.

lim⁡x→c f(x)=L

다음을 만족하는 모든 양수 ε에 대하여 |f(x)-f(c)|< ε

다음을 만족시키는 ​어떤 양수 δ가 존재한다고 가정하자. | x - c | < δ

만약, c가 유리수면 f(c)=0, |f(x)|<ε이다.

ε=1/2로 두면, |x-c|<δ 이고,

-δ+c<x<δ+c 인 모든 x에 대해 |f(x)|<1/2를 만족시켜야 하지만,

위의 전제에 의해 아무리 작은 δ에 대해서도 무리수인 x가 존재하기에

|f(무리수)|<1/2  즉, 1<1/2. 그러므로 모순이다.

반대로 c가 무리수이면 f(c)=1이다.

위의 조건을 사용하면, -δ+c<x<δ+c 인 모든 x에 대해 |f(x)-1|<1/2를 만족시켜야 하지만,

이번에도 아무리 작은 δ에 대해서도 유리수인 x가 존재하기에

|f(유리수)-1|<1/2  즉, 1<1/2 가 되므로 이번에도 모순이다.

즉, 엡실론-델타 논법을 만족시키지 못했기에 이 함수는 극한이 존재하지 않음을 알 수 있고,

모든 구간에서 불연속임을 알 수 있다.

(숨은그림 찾기)

오일러는 1748년에 출간된 저서 Introductio in analysin infinitorum에서 지수함수와 삼각함수를 비교하여 (1) 라는 공식을 제시한 수학자이다. 이 공식은 지수함수와 삼각함수를 하나의 체계로 통합한 역사적 발견이다. 오일러는 지수의 거듭제곱급수 전개와 사인·코사인의 급수 전개를 비교하여 두 함수의 구조적 유사성을 증명하였으며, 그 결과 복소 지수함수가 단위원 위의 회전을 표현한다는 사실을 밝혔다.

이 공식은 수학Ⅱ에서 배우는 지수법칙과 삼각함수의 합성공식을 한 줄의 등식으로 설명할 수 있게 해주는 핵심적인 수학사적 발견이다. (2) 의 지수법칙을 이용하면 (3) 의 합성공식이 자연스럽게 도출되며, 이는 지수함수와 삼각함수의 규칙이 근본적으로 같은 구조임을 보여주는 증거이다.

또한 (4) 가 복소평면의 단위원 위에서 각도 x 만큼 회전하는 점 (5)을 의미한다는 점에서, 이 공식은 ‘지수함수는 회전이다’라는 새로운 기하학적 관점을 제시하였다. 오일러의 공식은 이후 복소해석과 푸리에 해석, 전자공학 등 현대 수학과 과학의 기초를 이루는 중요한 개념이 되었다.

지도기능

로그함수로 듣는 세상 — 소리의 크기와 데시벨

우리가 일상에서 사용하는 데시벨(dB)은 단순한 소리의 세기 단위가 아니라, 로그함수로 표현되는 수학적 개념이다. 사람의 귀는 소리의 강도 변화를 ‘절대적인 차이’가 아니라 ‘비율의 차이’로 느끼기 때문에, 물리학자들은 이를 로그함수로 표현하였다.

소리의 세기를 나타내는 공식은 (6) 이다. 여기서 I 는 실제 소리의 강도(W/m²), I0는 사람이 들을 수 있는 최소 강도 (7)이다. 예를 들어, 소리의 강도가 10배 커지면 로그함수의 성질에 따라 데시벨 값은 10dB 증가한다. 이는 “소리가 10배 커져도 귀에는 2배 정도 크게 느껴진다”는 인간의 감각 구조를 반영한 결과이다.

이처럼 로그함수는 비율의 변화를 덜 과장되게 표현하는 특성이 있다. 지진의 리히터 규모, 별의 밝기를 나타내는 천문학적 등급, 카메라의 노출 단계도 모두 같은 원리를 사용한다. 특히 데시벨 단위는 오디오 공학과 음향 설계에서 필수적이다. 콘서트장 스피커의 출력, 이어폰의 안전 음량, 방음벽의 효과를 평가할 때 모두 이 로그함수를 이용한다.

수학Ⅱ에서 배우는 로그함수의 기본 성질, 즉

(8)는 소리의 겹침 현상을 수학적으로 설명하는 핵심이다. 서로 다른 소리가 합쳐질 때 전체 데시벨을 단순히 더할 수 없는 이유도, 에너지의 합이 로그함수 안에서 비선형적으로 변환되기 때문이다.

결국 로그함수는 우리의 ‘감각’을 수학적으로 번역하는 도구이다. 인간의 귀가 세상을 어떻게 인식하는지, 기술이 그 감각을 어떻게 수치화하는지를 연결해 주는 다리 역할을 한다. 데시벨 단위는 수학Ⅱ의 로그함수가 실제 세계의 물리와 인간의 지각을 동시에 설명할 수 있음을 보여주는 대표적인 예이다.

오락기능

다른그림찾기, 십자말풀이

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보도기능 -

도함수는 함수의 순간 변화율을 나타내는 수학적 개념으로, 움직임과 변화가 있는 현상을 설명하는 데 사용된다. 특히 속도와 가속도는 도함수를 실생활에 직접 적용한 대표적인 사례이다. 물체의 위치를 s(t)라 하면,

• 1차 미분 s’(t)는 속도(시간에 따른 위치 변화율),

• 2차 미분 s’’(t)는 가속도(시간에 따른 속도의 변화율)를 의미한다.

이 개념은 17세기 뉴턴과 라이프니츠가 미적분을 정립하며 처음 등장했다.

뉴턴은 “속도는 위치의 변화율”이라는 물리적 개념을 수학적으로 정식화했고,

이후 이 원리는 물리학, 공학 등 다양한 분야의 기본 언어가 되었다.

오늘날 비행기의 이착륙 속도 제어 시스템, 롤러코스터의 가속도 설계 등은 모두

이 ‘도함수의 개념’을 실제 기술로 구현한 것이다.

지도기능 -

최근 과학기술 발전으로 수학의 중요성이 더욱 커지고 있다. 드론, 자율주행 시스템등은 모두 속도·가속도 분석에 기반한다. 그 계산의 중심에는 도함수의 계산이 있다.

예를 들어, 자율주행차의 브레이크 시스템은 도로 상황에 따라 속도를 조절하는 알고리즘을 미분식으로 구현한다. 가속도를 제어해야 충돌을 피하고, 안전한 정지를 이룰 수 있기 때문이다. 따라서 우리는 도함수를 단순한 수학 문제로 보지 말고,

‘현실의 변화를 분석하고 미래를 예측하는 도구’로 봐야 한다고 생각한다.

수학을 실생활 문제 해결의 도구로 이해하는 태도는 4차 산업 시대의 핵심 역량인 ‘수학적 사고력’을 키우는 길이기 때문이다.

오락기능 -

롤러코스터를 탈 때 우리는 스릴을 느낀다. 그 뒤에는 정교한 미분 계산이 숨어 있다. 놀이기구 설계자는 가속도의 최대치가 인체가 견딜 수 있는 범위(약 3G)를 넘지 않도록 속도 함수를 미분하여 곡선의 기울기 변화를 계산한다.

예를 들어, 롤러코스터의 위치가

s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t (단위: m)일 때,

속도 v(t) = 3t^2 - 12t + 9,

가속도 a(t) = 6t - 12로 계산된다.

이때 a(t) = 0이 되는 시점은 속도가 변하여 스릴을 느낄 수 있는 지점이다.

이런 계산 덕분에 우리는 안전하면서도 재미있는 경험을 할 수 있는 것이다.

즉, 놀이공원의 스릴도 결국 수학이 만들어낸 정밀한 설계이다.

광고기능 -

『수학의 언어』 (키스 데블린)

이 책은 ‘수학이 세상을 읽는 언어’임을 알려준다. 저자는 속도·가속도, 성장률, 확률 등 ‘변화의 개념’을 통해 미분이 어떻게 현실의 움직임을 표현하는지를 설명한다.

도함수를 공부하는 학생이라면, 이 책을 통해 교과서 속 공식이 ‘실제 세계의 언어’로 연결되는 경험을 할 수 있을 것이다.

독후활동 제안:

• 책을 읽고 일상에서 ‘변화’를 느낄 수 있는 장면을 찾아라.

• 그 현상을 위치 함수로 표현하고, 미분을 이용해 속도·가속도를 구해보자.

→ “수학이 내 주변을 어떻게 설명하는가?”를 스스로 탐구하는 활동이 될 것

지도기능:“미분은 세상의 언어다 — 우리가 변화율을 배워야 하는 이유”

오늘날 미분은 단순한 수학 개념이 아니다.

자동차의 속도, 주식의 가격 변동, 인공지능의 학습 속도까지,

세상의 모든 변화는 미분으로 설명된다. 우리가 학교에서 1ㅑ우는 도함수의 정의는 순간변화를 의미한다.

즉, 미분은 ‘순간의 변화’를 이해하는 인간의 언어다.

수학Ⅱ에서 배우는 접선의 기울기, 도함수, 증가·감소 구간 분석은

단순한 계산이 아니라, 세상의 ‘움직임’을 읽는 힘을 길러주는 과정이다.

추천도서제목:수학책을 탈출한 미적분

저자:류치

이책에서는교과서에선 다루지 않는 일상적아고 심도있는 미적분이야기가 담겨있다

미적분에대해 더 공부해보고싶거나 오히려 흥미를 갖지 못하는 학생들에게 추천한자 이 책에서는 케이크를 나누는 방법이나 고속열차속도로 순간속도의 의미, 극한의 의미, 기호표기방법등을 익히고 테일러공식, 로피탈의 정리, 중적분등의 심도있는 내용을 험깨 다룬다

16세기 카르다노는 복소수를 다항식의 해를 찾기 위한 계산 과정에서 도입했지만, “실재하지 않는 수”라며 철학적 비판을 받았다.

그러나 18세기 오일러는 복소수를 기하학적으로 해석하며, 삼각함수와 지수함수를 연결하는 놀라운 식을 제시했다.

이 식은 단순한 수학적 아름다움을 넘어서, 시간적으로 변화하는 물리적 현상, 즉 전자기적 진동을 표현하는 강력한 도구가 되었다.

오일러 공식

오일러의 공식은 복소평면에서 반지름 1인 원을 그려놓고, 그 원주를 따라 일정 각만큼 회전시켰을 경우의 복소좌표값을 나타내는 식이다.

원운동하는 물체를 측면에서만 볼 수 있다면, 그 물체의 위상을 정확히 알 수 없다. 따라서 측방향과 직각을 이루는 다른 방향에서 물체의 운동을 봐야 정확한 위치를 계산할 수 있다. 이 직각을 이루는 방향이 허수축인 것이다. 처음 봤던 방향에서 물체의 운동이 시간축을 따라 코사인 그래프를 나타낸다면. 새로운 방향에서는 동시에 사인 그래프를 나타낼 것이다.

그러니까 복소평면 위에 등속 원운동의 조건을 만들고, 시간에 따른 변화 추이를 볼 수 있도록 만들어 놓은 것이 바로 오일러공식인 것이다.

교류의 리듬을 기록한 복소평면

(1) 교류 전압과 위상차

교류 전압은 시간이 흐르면서 다음과 같이 변화한다.

여기서 V0는 최대 전압, \omega는 각주파수이다.

그런데 전류는 항상 같은 위상으로 흐르지 않으며, 코일이나 커패시터를 지날 때 전류의 진동이 전압보다 늦거나 빠르다.

이 차이를 ‘위상차(φ)’라 한다.

단순한 삼각함수 계산으로 이 차이를 다루면 식이 복잡해진다.

하지만 오일러의 식을 사용하면 교류를 하나의 복소수로 표현할 수 있다.

이 표현에서 복소수의 실수부는 실제 전압, 허수부는 위상 정보를 나타낸다.

(2) 전력 계산과 복소수의 실체

교류 회로에서 실제로 전달되는 전력은 단순히 VxI가 아니다.

전압과 전류가 위상차를 가지면, 에너지가 저장되거나 되돌아오기 때문이다.

이때 유효전력(실제 에너지 전달분)은

로 주어진다.

즉, 복소수의 실수부가 실제 전력에 대응하고, 허수부는 회로 내부의 진동 에너지(무효전력)에 해당한다.

결국 허수는 물리적으로 ‘의미 없는 값’이 아니라, 에너지의 방향성과 위상 변화를 수학적으로 표현한 값이 된다.

복소수 덕분에 전자공학자들은 회로의 복잡한 위상관계를 한눈에 파악하고, 효율을 최적화할 수 있게 되었다.

수학이 전류를 이해하는 언어가 되다

필자는 복소수는 단순히 허수를 다루는 수학적 개념이 아니라, 전자기적 현상의 본질을 표현하는 실질적 언어라고 생각한다.

오일러의 식으로부터 탄생한 위상 개념은 교류, 전력망, 신호처리, 통신공학 등 모든 전자기술의 기반이 되었다. 복소수는 ‘존재하지 않는 수’에서 ‘전류의 실재적 리듬’을 표현하는 도구로 변모했다.

이는 수학적 상상력이 물리적 세계를 재구성한 대표적 사례로, 수학이 기술의 원리를 예측할 수 있음을 보여준다.

https://www.hani.co.kr/arti/science/science_general/1049753.html

허준이 교수의 이야기

허준이 교수는 2022년에 한국인 최초로 필즈상을 받은 수학자이다. 필즈상은 4년에 한 번씩 전 세계 수학자 중에서 40세 이하에게 수여되는, 수학계에서 가장 권위 있는 상으로 불린다.

허준이 교수는 조합론과 대수기하학이라는 어려운 분야에서 새로운 연결점을 찾아냈다. 특히 서로 관련이 없어 보이던 수학의 두 분야를 창의적으로 결합해 완전히 새로운 방법을 제시했다는 점이 높은 평가를 받았다. 그의 연구는 기존의 수학적 사고 방식을 바꾸었다는 평가를 받으며 세계 수학계의 주목을 받았다.

“복잡한 기하학적 구조 안에서도 경우의 수가 일정한 규칙으로

오랫동안 미해결이었던 **‘로타 추측(Rota’s conjecture)’**이라는 수학 문제의 핵심 부분을 해결했어.

이건 50년 넘게 전 세계 수학자들이 풀지 못하던 문제였어.

그는 인터뷰에서 “나는 천재가 아니라 오래 생각하는 사람일 뿐이다”라고 말하며, 꾸준한 사고와 질문의 힘을 강조했다. 또 “실패와 혼란 속에서 멈추지 않는 끈기가 가장 중요하다”고도 했다.

허준이 교수의 수상은 한국 수학사에서 역사적인 사건으로 평가된다. 한국 수학이 세계적인 수준에 도달했음을 알린 상징적인 순간이었고, 동시에 “정해진 길을 걷지 않아도 위대한 성과를 낼 수 있다”는 가능성을 보여준 사례이기도 하다.

똑똑계산기 앱 소개

이 앱은 단순히 수학적인 계산만 해주는 게 아니라 부가세,건강,대출,배란일 등 여러가지 계산도 해준다. 건강 계산기를 써보자 우선 키와 체중 나이 성별을 입력하는 칸이 나온다. 내 정보를 입력해보겠다. 183 70 17 상남자 입력을 하니 결과가 나오는데 결과에는 bmi(체질량지수)와 BMR(기초대사량)이 나온다. 나는 20.90으로 표준체중이라고 나왔고, 기초대사량은 1829칼로리가 나왔다. 정말 건강한 나 자신 감사하고 이 계산기 정말 우리 생활에 유용할 것 같다.