• 1 - 10 Metode faktor

• 11 - 20 Melengkapkan kuadrat sempurna

• 21 - 32 Rumus ABC

Sertakan gambar yang berkaitan, buat catatan semenarik mungkin.

Adalah rumus yang digunakan untuk mencari akar-akar dari persamaan kuadrat. Rumus ABC berbentuk seperti x 1,2=  x₁₂ = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a. Rumus ABC digunakan ketika cara memfaktorkan dan kuadrat sempurna sudah tidak dapat digunakan lagi.

Langkah-langkah melaksanakan Rumus ABC:

1. Identifikasi nilai koefisien a, b, dan c dari persamaan tersebut

2. Masukkan nilai tersebut ke dalam rumus ABC yaitu x₁₂ = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

3. Mulai hitung dengan teliti dan memperhatikan tanda plus dan minus

Contoh soal:

Diket: 

persamaan kuadrat = x² - 2x - 4=0

Dit: Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan diatas menggunakan rumus ABC!

Jwb:

x² - 2x - 4=0

a = 1, b = -2, c: = -4

x₁₂ = (-(-2) ± √(-2² - 4x1x-4)) / 2x1

    = 2 ± √20 / 2

    = 2 ± √4 x √5 /2

     = 2 ± 2√5 /2 (dibagi 2 semua)

x₁₂ = 1 ± √5

HP= {1 - √5, 1 + √5}

note: pada contoh soal yang di highlight mengartikan pembilang dan yang tidak maka mengartikan penyebut.

Semoga bermanfaat semuanyaa!!

I> Langkah pertama cari abc :

3x² + 11x + 6 = 0

• a = 3, b = 11, c = 6

I> Langkah kedua cari P & Q :

• P + Q = B P.Q = a.c

  P + Q = 11. P.Q = 3.6 = 18

  9 + 2 =11 9.2 = 18

  P = 9. Q = 2

I> Langkah ketiga gunakan rumus :

1. (3X + 9)(3X + 2) / 3

2. 3(X+3)(3X + 2) /3

3. Coret 3 dengan 3 maka (X+3)(3X+2) ini adalah bentuk faktornya jika yang ditanya x₁ dan x₂ maka lanjut

4. X + 3 = 0 3X + 2 = 0

   X1 = -3 atau 3X = -2 X2 = -2/3

Cara jika a = 1

(X+P)(X+Q)

Contoh soal : X² + 7x + 12 = 0

I> Langkah pertama tentukan abc :

• a = 1, b = 7, c = 12

I> Langkah kedua tentukan P dan Q :

• P + Q = B. P.Q = a.c

P + Q = 7. P . Q = 12

4 + 3 =7. 4 . 3 =12

P = 4. Q = 3

I> Langkah ketiga gunakan cara :

• (X + 4)(X + 3) = 0

  X₁ = -4. atau X₂= -3

ax^2 + bx + c = 0

dengan syarat a tidak boleh sama dengan 0.

Keterangan:

• a = koefisien x^2

• b = koefisien x

• c = konstanta

• b^2 - 4ac disebut diskriminan

1. Tentukan nilai a, b, dan c dari persamaan yang ditanyakan x nya.

2. Substitusikan ke rumus ABC.

3. Hitung diskriminan dengan rumus

4. Hitung akar dari hasil diskriminan, dan jangan lupa kalikan 2 dengan a di penyebut.

5. Hitung dua kemungkinan nilai x

6. Tulis hasil akar-akar persamaan kuadrat (x1/x2).

Apa itu pemfaktoran?

Pemfaktoran adalah salah satu cara untuk menyelesaikan suatu persamaan kuadrat. Pemfaktoran menggunakan rumus yaitu p + q = b (koefisien dari x) dan p x q = a . c, jika kita sudah temukan p dan q nya, masukkan ke perumusan yaitu (x + p)(x + q) = 0, lalu kita ketahui bahwa x1 + p = 0 dan x2 + q = 0, setelah itu pindahkan p atau q ke sisi kanan persamaan menjadi x1 V x2 = 0 - p V q, dan hitungkan persamaan tersebut menjadi hasil terakhir kita yaitu X1 atau X2.

Langkah-langkah mengerjakan persamaan kudrat dengan rumus abc

1. Identifikasi bentuk persamaan kuadratnya
Pastikan persamaan sudah dalam bentuk standar:

ax² + bx + c = 0

2. Tulis rumus ABC

x1,2 = -b ± akar b2 -4ac /2.a

3. Hitung sampai mendapatkan

x1 = -b + akar x / 2

x2 = -b - akar x / 2

Contoh soal :

1) x² + 6x + 5 = 0

x² + 6x + 9 = −5 + 9

x² + 6x + 9 = 4

(x + 3)² = 4

(x + 3) = √4

x + 3 = ± 2

a. Untuk x + 3 = 2

x = 2 − 3

x = −1

b. Untuk x + 3 = −2

x = −2 − 3

x = −5

x²+2x-15=0

• Cari a b c terlebih dahulu :

  x²+2x-15=0

  a : 1 b : 2 c : -15

• Cari p dan q :

  pastikan bahwa

  p + q = b dan p.q = a.c

  -3 + 5 =2 dan -3.5 = -15

  p = -3 dan p = 5

• Masukkan ke dalam rumus pemfaktoran yaitu :

  (x + p)(x + q) = 0

  (x - 3)(x + 5) = 0

• x - 3 = 0

  x₁ = 3

  ATAU

• x + 5 = 0

  x₂ = -5

Contohnya dalam persamaan fungsi kuadrat pada gambar diatas adalah

x²-2x-4.

Sehingga kita dapat mengetahui a=1, b=-2, dan c=-4.

Jika kita memasukkan kedalam rumus, maka....

x_1,2=-(-2)±√(-2)²-4.1.(-4)/2.1

=2±√4+16/2

=2±√20/2

x₁ = 2+√20/2

= 2+√4.5/2

=2+2√5/2

=2/2 + 2√5/2

x₁ = 1 + √5

x₂= 2-√20/2

= 2-√4.5/2

= 2-2√5/2

= 2/2 - 2√5/2

x₂= 1 - √5

Sehingga :

x1 = 1 + √5

x2 = 1 - √5

Metode kuadrat sempurna adalah cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan mengubah bentuknya menjadi kuadrat dari sebuah binom, misalnya:

(x+p)2=q

Berikut adalah langkah langkah nya :

1. Pastikan koefisien x² =1 (kalau belum, bagi semua dengan a)

2. Pindahkan konstanta c ke ruas kanan.

3. Tambahkan (b/2a)² pada kedua ruas

4. Bentuk kiri jadi kuadrat sempurna : (x+b/2)²

5. Ambil akar kuadrat dapatkan dua nilai x

Contoh soal:

Selesaikan persamaan kuadrat dengan metode kuadrat sempurna:

x² + 6x + 5 = 0

Penyelesaian:

x² + 6x = -5

x² + 6x + 9 = -5 + 9

x² + 6x + 9 = 4

(x + 3)² = 4

x + 3 = ±2

x = -3 + 2 = -1 atau x = -3 - 2 = -5

Jadi, penyelesaiannya adalah x = -1 atau x = -5.

Penyelesaian:

x²−4x−3=0

x²-4x=3

Ambil 1/2×4=2 lalu kuadratkan

2²=4

x²-4x+4=3+4

(x-2)²=7

x-2=±√7

x=2+x=√7​ atau x=2−√7​

x1​=2+√7​ x2​=2−√7​

Contoh soal: Faktorkan persamaan kuadrat ini!

X²+ 7x + 10 = 0

———————————

Pertama cari a, b dan c terlebih dahulu. Lalu gunakan p + q = b dan p . q = a . c –> 5 + 2 = 7 (b) dan 5 . 2 = 10 ( a . c ) lalu masukan hasilnya ke rumus (x + p)(x + q) = 0 –> (x + 5)(x + 2) = 0 lalu pindakan p atau q nya ke 0 --> x = -5 atau x = -2

ABC adalah salah satu cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat atau Quadratic Equation, Cara ini merupakan rumus tersendiri, Rumusnya yaitu x1,2 = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a). Rumus ABC ini dikenal begitu karena mengandung unsur a (koefisien x²), unsur b (koefisien x), dan unsur c (konstanta).

Contoh Soal = x² + 12x - 13 = 0

x1, 2 = (-12 ± √(12² - 4 . 1 . -13)) / (2 . 1)

x1, 2 = (-12 ± √(144 + 52)) / 2

x1, 2 = (-12 ± √196) / 2

x1, 2 = (-12 ± 14) / 2

x1 = (-12 + 14) / 2

x1 = 2 / 2

x1 = 1

x2 = (-12 - 14) / 2

x2 = -26 / 2

x2 = -13

HP = {-13, 1}

1. Koefisien a harus sama dengan 1

2. Konstanta (c) dipindahkan ke ruas kanan

3. Kedua sisi persamaan ditambah dengan (b/2a)²

4. Sisi kiri difaktorkan menjadi (x + b/2a)²

5. Ambil akar kuadrat dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan kuadrat

6. Pisahkan nilai x dengan memindahkan konstanta ke sisi kanan, dan tentukan dua solusi (+) & (-)

Contoh :

2x²+3x+1=0

dibagi 2 menjadi :

x²+3/2x+1/2=0

x²+3/2x=-1/2

(b/2a)² ?

(3/2 : 2)²

(3/4)²

x²+3/2x=-1/2

x²+3/2x+(3/4)²=-1/2+(3/4)²

(x+3/4)²=-1/2+9/16

(X+3/4)²=1/16

√(x+3/4)² = √1/16

X+3/4 = ±1/4

X1 = X+3/4=1/4 -> -1/2

X2 = X+3/4=-1/4 -> -1

Hasil = -1/2 & -1 atau kalau himpunan jadi (-1,-1/2)

-> Kuadrat sempurna adalah bilangan yang merupakan hasil dari perkalian suatu bilangan bulat dengan dirinya sendiri. Dengan kata lain, suatu bilangan disebut kuadrat sempurna jika dapat ditulis dalam bentuk n x n atau n², di mana n adalah bilangan bulat. berikut langkah-langkah untuk menyelesaikan kuadrat sempurna:

-> CARA MELENGKAPKAN KUADRAT SEMPURNA!

1. Pastikan koefisien a = 1

2. Pindahkan konstanta ke ruas kanan persamaan

3. Tambahkan kedua sisi persamaan dengan kuadrat dari setengah koefisien x yaitu (b/2a)²

4. Sisi kiri persamaan sekarang adalah kuadrat sempurna yang difaktorkan -> ( x + b/2a)²

5. Ambil akar kuadrat dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan kuadrat

6. Pisahkan nilai x dengan memindahkan konstanta ke sisi kanan, dan tentukan 2 solusi (1 untuk tanda positif & 1 untuk tanda negatif)

• penjelasan contoh soal:

3x² - x - 2 = 0 -> (smua bilangan ÷ 3)

x² - ⅓x - ⅔ = 0

x² - ⅓x = ⅔

x² - ⅓x + 1/36 = ⅔ + 1/36

(x - ⅙)² = 24/36 + 1/36

(x ⅙)² = 25/36

Jika : x - ⅙ = ⅚

x = ⅚ + ⅙ = 6/6 = 1

Jika : x - ⅙ = ⅚

x = -⅚ + ⅙ = -4/6 = -2/3

Rumus ABC : x1,2 = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a

Langkah-langkah:

Pertama, cari nilai a, b, dan c dari persamaan kuadrat yang disebutkan/tersedia. Lalu, nilai a, b, dan c yang telah dicari dimasukkan kedalam rumus ABC, yaitu x1,2 = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a. Setelah itu selesaikan sesuai rumus ABC, jika nilai b merupakam -(min) maka pada bagian awal rumus ( [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a), -(min) pada rumus tidak dihilangkan, sehingga menjadi -(-b).

Contoh Soal:

Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat berikut ini ! x² + 8x + 12 = 0

Penyelesaian:

a= 1 b= 8 c= 12

x1,2 = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

x1,2 = (-8 ± √(8² - 4(1·12))) / (2·1)

x1,2 = (-8 ± √(64 - 48)) / 2

x1,2 = (-8 ± √16) / 2

x1,2 = (-8 ± 4) / 2

x1,2 = -4 ± 2

x1 = -4 + 2 = -2

x2 = -4 - 2 = -6

HP= {-6, -2}

• Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan, maka faktornya adalah (x - x₁)(x-x₂).

ax² + bx + c = 0

(x + p)(x + q) = 0

dengan p + q = b dan p . q = a . c, sehingga :

x₁ + p = 0

x₁ = -p

atau

x₂ + q = 0

x₂ = -q

Langkah-langkah Memfaktorkan Persamaan Kuadrat

1. Pastikan persamaan kuadrat dalam bentuk umum yaitu ax² + bx + c = 0

2. Faktorkan persamaan

   • Jika a = 1, cari dua bilangan (misalnya p dan q) yang jika dijumlahkan menghasilkan b (p + q = b) dan jika dikalikan menghasilkan c (p x q = c). Persamaan ini kemudian difaktorkan menjadi (x + p)(x + q) = 0.

   • Jika a ≠ 1, temukan dua bilangan yang jumlahnya sama dengan b dan hasil kalinya sama dengan ac, kemudian gunakan rumus pada gambar di atas

3. Tetapkan setiap faktor sama dengan nol dan selesaikan untuk menemukan nilai x

   • Contoh: Jika Anda memiliki (x + 4)(x - 6) = 0, maka x + 4 = 0 (sehingga x₁= -4) atau x - 6 = 0 (sehingga x₂ = 6).

Contoh Soal

1. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut : x² + 7x + 10 = 0

   • p + q = b

     2 + 5 = 7

   • p . q = c

     2 . 5 = 10

     
     

   • (x + 2)(x + 9) = 0

   • x + 2 = 0

     x₁ = -2

   • x + 5 = 0

     x₂ = -5

2. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut : 2x² + 7x - 4 = 0

   • p + q = b

     8 + (-1) = 7

   • p . q = a . c

     8 . (-1) = -8

     
     

   • ax² + px + qx + c = 0

     (2x² + 8x) + ((-x) - 4) = 0

     2x(x + 4) - 1(x + 4) = 0

     (2x + 1)(x + 4) = 0

     
     

   • 2x - 1 = 0

     2x = 1

     x₁ = 1/2

   • x + 4 = 0

     x₂ = -4

Kuadrat sempurna adalah cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadratnya sehingga menjadi sempurna. Bentuk persamaan kuadrat sempurna merupakan bentuk persamaan yang menghasilkan bilangan rasional. Berikut adalah contoh latihan soal dari kuadrat sempurna :

Lengkapi bentuk kuadrat sempurna berikut ini x² + 6x + 5 = 0!

Jawab:

x² + 6x + 5 = 0

Ubah menjadi x² + 6x = −5

Tambahkan satu angka di ruas kiri dan kanan agar menjadi kuadrat sempurna. Penambahan angka ini diambil dari separuh angka koefisien dari x atau separuhnya 6 yang dikuadratkan, yakni 3² = 9. Tambahkan angka 9 di ruas kiri dan kanan, sehingga persamaannya menjadi:

x² + 6x + 9 = −5 + 9

x² + 6x + 9 = 4

(x + 3)² = 4

(x + 3) = √4

x + 3 = ± 2

a. Untuk x + 3 = 2

x = 2 − 3

x = −1

b. Untuk x + 3 = −2

x = −2 − 3

x = −5

Jadi, penyelesaiannya adalah x = −1 atau x = −5.

-Pindahkan konstanta ke ruas kanan persamaan

-Tambahkan kedua sisi persamaan dengan kuadrat dari setengah koefisien x yaitu b/2a kuadrat

-Sisi kiri persamaan sekarang adalah kuadrat sempurna yang dapat difaktorkan menjadi x+b/2a kuadrat

-Ambil akar kuadrat dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan kuadrat

-Pisahkan nilai X dengan memindahkan konstanta ke sisi kanan dan tentukan 2 solusi (positif dan negatif)

Contoh soal

x2 - 8x + 10 = 0

x2-8x= -10

x2-8x+(-4)2 = 10+ (-4)2

(x+(-4))2 = -10+16

(x-4)2 = 6

akar dari (x-4)2 = akar 6

(x-4= +- akar 6

x-4= akar 6 x1=akar 6+4

atau

x-4=-16

x2= - akar dari 16+4

• A x C = B - Lalu difaktorkan - menaruh X di sebuah persamaan

  
  

  A harus dikali C kemudian memfaktorkan dengan hasil tambah/kurang harus menyerupai B dan menaruh X di persamaan berikut :

  ( X - X1 ) ( X + X2 )

  
  

  Keterangan:

  A = Koefisien X²

  B = Koefisien X

  C = Konstanta

  
  

Contoh Soal :

2x² - 5x + 12 = 0

A = 2, B = -8, C = 12

1. A kali C = 2 X 12

   24 - difaktorkan lalu dikurang/ditambah sehingga berbentuk seperti B

2. Faktor dari 24 :

   • 1 x 24

   • 2 x 12

   • 3 x 8

   • 4 x 6

3. Cari yang jika dikurang/ditambah menghasilkan Nilai B

   • - 8 Dan 3

4. Taruh X di persamaan kuadrat

   ( X - X1 ) ( X + X2 )

   ( X - 8 ) ( X + 3 )

5. Selesaikan persamaanya

• X - 8 = 0

  X = 8

• X + 3 = 0

  X = -3

𝑎𝑥² +𝑏𝑥+𝑐=0

Langkah-langkah

• Identifikasi koefisien: Tentukan nilai

  𝑎, 𝑏, 𝑐 dari persamaan kuadrat yang ada.

• Substitusikan ke rumus: Masukkan nilai 𝑎, 𝑏, 𝑐 ke dalam rumus:
  𝑥1,2=−𝑏±√𝑏²-4𝑎𝑐/2𝑎

  
  

• Selesaikan perhitungan: Hitung hasil dari rumus tersebut. Tanda "±" menunjukkan bahwa akan ada dua kemungkinan solusi (𝑥1 dan 𝑥2), yang diperoleh dengan menggunakan tanda tambah (+) dan tanda kurang (-). 

Contoh soal

1. Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat berikut x² + 8x + 12 = 0!

_Jawab:

• x² + 8x + 12 = 0
  a = 1
  b = 8
  c = 12
  
  ^{X1,2 = -b ± √b² - 4ac / 2a
  X1,2 = -8 ± √8² - 4.1.12 / 2.1
  X1,2 = -8 ± √ 64 - 48 / 2
  X1,2 = -8 ± √16 / 2
  X1,2 = -8 ± 4 /2
  X1,2 = 2(-4 ± 2) / 2
  X1,2 = -4 ± 2}

maka

X1 = -4 + 2 = -2
X2 = -4 - 2 = -6

HP {-2 , -6}

Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan, maka faktornya adalah (x - x1)(x-x2).
ax² + bx + c = 0
(x + p)(x + q) = 0
dengan p + q = b dan p . q = a . c, sehingga :
x1 + p = 0
  x1 = -p
atau
x2 + q = 0
  x2= -q

Langkah-langkah Memfaktorkan Persamaan Kuadrat

• Pastikan persamaan kuadrat dalam bentuk umum yaitu ax² + bx + c = 0

• Faktorkan persamaan

  • Jika a = 1, cari dua bilangan (misalnya p dan q) yang jika dijumlahkan menghasilkan b (p + q = b) dan jika dikalikan menghasilkan c (p x q = c). Persamaan ini kemudian difaktorkan menjadi (x + p)(x + q) = 0.

  • Jika a ≠ 1, temukan dua bilangan yang jumlahnya sama dengan b dan hasil kalinya sama dengan ac, kemudian gunakan rumus pada gambar di atas

• Tetapkan setiap faktor sama dengan nol dan selesaikan untuk menemukan nilai x

Contoh: Jika Anda memiliki (x - 3)(x + 7) = 0, maka x - 3 = 0 (sehingga x1= 3) atau x + 7 = 0 (sehingga x2 = -7).

Contoh Soal

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut : x² + 9x + 14 = 0
p + q = b
2 + 7 = 9
p . q = c
2 . 7 = 14

(x + 2)(x + 7) = 0
x + 2 = 0
  x1 = -2
x + 7 = 0
  x2 = -7

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut : 3x² + 8x - 3 = 0
p + q = b
9 + (-1) = 8
p . q = a . c
9 . (-1) = -9

ax² + px + qx + c = 0
(3x² + 9x) + ((-x) - 3) = 0
3x(x + 3) - 1(x + 3) = 0
(3x - 1)(x + 3) = 0

3x - 1 = 0
  3x = 1
  x1 = 1/3
x + 3 = 0
  x²= -3

Melengkapkan kuadrat sempurna adalah suatu metode untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara mengubah bentuk umum persamaan kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna, yaitu (x ± p)² = q. Tujuannya adalah menyederhanakan persamaan kuadrat sehingga dapat ditemukan akar-akar penyelesaiannya, terutama ketika metode pemfaktoran tidak memungkinkan.

Cara melengkapkan kuadrat sempurna

1. Pastikan koefisien a = 1

2. ⁠Pindahkan konstanta ke ruas kanan persamaan

3. ⁠Tambahkan kedua sisi persamaan dengan kuadrat dari setengah koefisien x yaitu (b/2a)^2

4. ⁠Sisi kiri persamaan sekarang adalah kuadrat sempurna yang difaktorkan - (x + b/2a)^2

5. ⁠Ambil akar kuadrat dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan kuadrat

6. ⁠Pisahkan nilai x dengan memindahkan konstanta ke sisi kanan, dan tentukan 2 solusi (satu untuk tanda positif dan satu untuk tanda negatif)

Kuadrat sempurna adalah salah satu rumus persamaan kuadrat yang bertujuan untuk mencari nilai x1 dan x2 dengan cara melengkapkan kuadratnya sehingga menjadi sempurna.

Langkah-langkah:

1. Pastikan koefisien a = 1

2. Pindahkan konstanta atau nilai c ke ruas kanan persamaan.

3. Tambahkan kedua sisi persamaan dengan kuadrat dari setengah koefisien x yaitu, (b/2a)².

4. Sisi kiri persamaan sekarang adalah kuadrat sempurna, yang dapat difaktorkan menjadi (x + b/2a)².

5. Ambil akar kuadrat dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan kuadrat.

6. Pisahkan nilai x dengan memindahkan konstanta ke sisi kanan, dan tentukan dua solusi(satu untuk tanda positif dan satu untuk tanda negatif)

Contoh soal:

Persamaan: x²+4x=5

1. Pastikan koefisian a=1: a sudah sama dengan 1.

2. Hitung (b/2a)²=(6/2*1)²=3²=9, lalu

   =x²+6x+9=−5+9

3. =x2+6x+9=4

4. =(x+b/2a​)²=(x+3)²

   =(x+3)2=4

5. Ambil akar kuadrat kedua sisi:

   x+3=±2

6. Jika x+3=2⇒x=−1

   Jika x+3=−2⇒x=−5