• 1 - 10 Metode faktor

• 11 - 20 Melengkapkan kuadrat sempurna

• 21 - 32 Rumus ABC

Sertakan gambar yang berkaitan, buat catatan semenarik mungkin.

1. Pastikan Koefisien A = 1

2. Pindahkan Konstanta (C) ke ruas kanan

3. Tambahkan kedua ruas dengan kuadrat dari setengah koefisien X yaitu (b/2a)²

4. Sisi kiri dari persamaan sekarang adalah kuadrat sempurna yang dapat difaktor menjadi (X + b/2a)²

5. Ambil akar kuadrat dari kedua sisi/ruas persamaan untuk menghilangkan kuadrat

6. Pisahkan nilai X dengan memindahkan konstanta ke sisi kanan, dan tentukan dua solusi (yang positif sama yang negatif).

*Contoh Soal : (3X² - 2X - 8 = 0)

* Jawaban di Gambar

• Definisi:

Metode faktor adalah cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan mengubahnya ke bentuk perkalian dua faktor, yaitu (x + p) (x + q) = 0.

• Bentuk Umum Persamaan Kuadrat:

ax² + bx + c = 0

Contoh: x² + 4x - 12 = 0

a = 1, b = 4, c = -12

• Langkah-langkah:

- Pertama, identifikasi terlebih dahulu koefisien a, b, dan c dari persamaan kuadrat.

- Selanjutnya, cari dua bilangan yang disebut sebagai p dan q yang memenuhi ketentuan berikut:

p + q = b

p x q = a x c

- Setelah itu, jika sudah ketemu p dan q, masukkan ke dalam bentuk berikut, yaitu (x + p) (x + q) = 0

- Setelah itu, terdapat dua variabel x, yaitu x1 dan x2.

- Sehingga, x1 + p = 0 ATAU x2 + q = 0

- Kemudian, pindahkan ruasnya menjadi x1 = -p ATAU x2 = -q.

- Terakhir, tulis himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat.

• Contoh Soal: x² + 5x + 6 = 0

- Identifikasi koefisian a, b, dan c, dalam persamaan tersebut, yaitu:

a = 1, b = 5, c = 6

karena bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax² + bx + c = 0

- Lalu, cari bilangan p dan q, yaitu 2 dan 3 karena sesuai dengan p + q = b → 2 + 3 = 5 dan p x q = a x c → 2 x 3 = 6, sehingga:

p = 2 dan q = 3

- Masukkan ke dalam bentuk (x + p) (x + q) = 0, sehingga menjadi (x + 2) (x + 3) = 0.

- Maka, x1 + 2 = 0 ATAU x2 + 3 = 0.

- Pindahkan ruasnya menjadi: x1 = - 2 ATAU x2 = -3.

- Terakhir, tulis himpunan penyelesaiannya, yaitu {-2, -3}.

Langkah-langkah yang dilakukan untuk melengkapkan kuadrat sempurna adalah sebagai berikut.

1. Melalui proses melengkapkan kuadrat sempurna, ubahlah persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 ke dalam bentuk (x + p)2 = q, dengan q ≥ 0.

2. Tentukan himpunan penyelesaian atau akar-akar persamaan kuadrat itu sesuai dengan bentuk persamaan yang terakhir.

Jadi, rumusnya adalah

(x+p)2 = x2 + 2px + p2

Ubah menjadi bentuk persamaan dalam (x+p)2 = q dengan penyelesaian:

(x+p)2 = q

x+p = ± q

x = -p ± q

Berikut, contoh soalnya

Dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna, tentukan himpunan penyelesaian atau akar-akar dari persamaan kuadrat berikut ini.

x2 + 2x - 8 = 0

Jawab:

x2 + 2x - 8 = 0

Ubah menjadi x2 + 6x = 8

Tambahkan satu angka di ruas kiri dan kanan agar menjadi kuadrat sempurna. Penambahan angka ini diambil dari separuh angka koefisien dari x yang dikuadratkan, sehingga persamaannya menjadi:

x2 + 2x - 8 = 0

⇔ x2 + 2x = 8

⇔ x2 + 2x + (1)2 = 8 + (1)2

⇔ x2 + 2x + 1 = 9

⇔ (x + 1)2 = 9

⇔ x + 1 = ± 3

⇔ x + 1 = 3 atau x + 1 = -3

⇔ x = 2 atau x = -4

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat x2 + 2x - 8 = 0 adalah x = 2 atau x = -4.

Pengertian

Rumus ABC adalah rumus matematika yang digunakan untuk mencari akar-akar dari sebuah persamaan kuadrat. Rumus ini merupakan alternatif untuk metode pemfaktoran dan kuadrat sempurna, serta dapat menyelesaikan semua jenis persamaan kuadrat. 

Bentuk Umum

x₁,₂ = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

x₁,₂ = (-4 ± √(4² - 4.1.5)) / 2.1

Langkah - Langkah

1. Pertama identifikasi nilai a, b, dan c lalu masukan ke dalam bentuk

   x₁,₂ = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

2. Hitung bagian dalam akar kuadrat: b² - 4ac. 

3. Kemudian, pisahkan perhitungan menjadi dua solusi: 

   • x₁ = [-b + √(b² - 4ac)] / 2a . 

   • x₂ = [-b - √(b² - 4ac)] / 2a . 

4. Selesaikan 2 solusi itu dan anda akan menumukan akar - akar persamaan tersebut.

Contoh soal: Ada pada gambar diatas

mengubah bentuk persamaan kuadrat menjadi perkalian dua bentuk aljabar bertujuan untuk mencari nilai-nilai x yang memenuhi persamaan (akar-akar).

Langkah:

1. tentukan angka a, b, c nya apa

2. kemudian cari dua angka yg memenuhi kriteria berikut: p+q = b dan p . q = a . c

3. masukkan p dan q dalam persamaan x1 + p = 0 atau x2 + q = 0

4. pisahkan variabel dan angka -> x1 = -p atau x2 = -q

5. terakhir tulis himpunan penyelesaiannya (HP)

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat:

jika a = 1

ax^2+bx+c=0

p+q = b - p . q = a . c

--> (x1 + p) (x2 + q)

jika a = >1

(ax + p) (ax + q)

------------------ = 0

a

contoh soal:

3x^2 - 4x - 4 = 0

--> p + q = -4 - p . q =12

p = 2

q = - 6

--> (ax + p) (ax + q)

------------------ = 0

a

(3x + 2) (3x - 6)

------------------ = 0

3

(3x + 2) (x - 2) 3

------------------ = 0

3

(3x + 2) (x - 2) = 0

x1 : 3x + 2 = 0

x 1 = -2/3

x2 : x - 2 = 0

x 2 = 2

• Kuadrat sempurna:
  (a±b)² = a²±2ab+b

• Melengkapkan kuadrat sempurna:

  ax²+bx+c=0 -> (x+b/2a)²=b²-4ac/4a²

• Hasil akar:
  x=−b±√b²-4ac /4a²

• Contoh Soal:
  Selesaikan dengan melengkapkan kuadrat:
  x² + 4x + 1 = 0

  Penyelesaian:

  1. Pindahkan konstanta ke kanan:
     x² + 4x = -1

  2. Tambahkan (4/2)² = 4 ke kedua ruas:
     x² + 4x + 4 = -1 + 4
     x² + 4x + 4 = 3

  3. Bentuk kuadrat sempurna:
     (x + 2)² = 3

  4. Ambil akar kuadrat:
     x + 2 = ±√3

  5. Hitung nilai x:
     x = -2 ± √3

  Hasil akhir:
  x = -2 + √3 atau x = -2 - √3

Pemfaktoran adalah salah satu cara untuk menyelesaikan suatu persamaan kuadrat (quadratic equation). Pemfaktoran menggunakan rumus yaitu p + q = b (koefisien dari x) dan p x q = a x c, setelah ditemukan p dan q nya, kita masukkan ke perumusan yaitu (x + p)(x + q) = 0, lalu dapat diketahui bahwa x1 + p = 0 dan x2 + q = 0, lalu pindahkan p atau q ke sisi kanan persamaan menjadi x1 V x2 = 0 - p V q, dan proseskan persamaan tersebut menjadi hasil akhir yaitu x1 atau x2.

Contoh 1

x^2 + 7x + 10

Cari dua bilangan yang hasil kali = (10), hasil jumlah = (7).

Yaitu 2 dan 5

Maka:

x^2 + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5)

Contoh 2

x^2 - 9x + 20

Cari dua bilangan yang hasil kali = (20), hasil jumlah = (-9).

Yaitu -4 dan -5

Maka:

x^2 - 9x + 20 = (x - 4)(x - 5)

Contoh 3

2x^2 + 5x + 3

* cari dua bilangan yang hasil kali = (6), hasil jumlah = (5).

* Yaitu 2 dan 3

Bentuk umum dari persamaan kuadrat:

ax2 + bx + c = 0

Untuk caranya, ubahlah persamaan ax2 + bx + c = 0 menjadi bentuk (px+q)(rx+s)= 0

Langkah langkah metode Faktor :

1. Kalikan a x c

2. Cari dua bilangan yang hasilnya kalinya = a x c dan jumlahnya = b

3. Pecah suku tengah (bx) menggunakan dua bilangan tersebut.

4. kelompokkan suku lalu faktorkan per kelompok

5. ambil faktor yang sama, maka persamaan jadi perkalian 2 faktor.

6. itunglah akar akar persamaannya

   
   

1. Definisi

Persamaan kuadrat adalah persamaan dengan pangkat tertinggi variabelnya 2 dan ditulis dalam bentuk umum:

ax^2 + bx + c = 0 , a ≠ 0a = koefisien kuadrat

a = koefisien kuadrat

• b = koefisien linear

• c = konstanta

2. Bentuk Umum

ax^2 + bx + c = 0

3. Rumus ABC

   x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

   D = b^2 - 4ac

   
   

   Jika D > 0 → ada 2 akar real berbeda

   Jika D = 0 → ada 2 akar real sama (kembar)

   Jika D < 0 → tidak ada akar real (akar imajiner)

4. Contoh soal

   x^2 - 5x + 6 = 0

   a = 1, b = -5, c = 6

   D = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1

   x = (-(-5) ± √1) / (2*1)

   x = (5 ± 1) / 2

   x1 = 3 , x2 = 2

   Himpunan penyelesaian = {2, 3}

   
   

   
   

-!apa itu melengkapi kuadrat sempurna?

Melengkapi kuadrat sempurna adalah sebuah metode untuk mengubah persamaan kuadrat umum (ax² + bx + c = 0) menjadi bentuk (x + p)² = q, yang kemudian dapat diselesaikan untuk mencari nilai x

-Langkah-langkah Melengkapi Kuadrat Sempurna:

1.Pastikan koefisien x² adalah 1: Jika tidak, bagi seluruh persamaan dengan koefisien tersebut

2.Pindahkan konstanta ke ruas kanan: Ubah bentuk persamaan menjadi ax² + bx = -c

3.Tambahkan kuadrat setengah koefisien x ke kedua sisi: Hitung (b/2)² dan tambahkan ke setiap sisi persamaan.

Misalnya, jika persamaannya adalah x² + 6x = 7, maka (6/2)² = 3² = 9

4.Tambahkan 9 ke kedua sisi: x² + 6x + 9 = 7 + 9.

5.Bentuk kuadrat sempurna di ruas kiri: Sisi kiri sekarang harus menjadi bentuk kuadrat sempurna, yaitu (x + b/2)²

6. Dalam contoh di atas, x² + 6x + 9 menjadi (x + 3)².

Selesaikan untuk x:

Ubah persamaannya menjadi (x + p)² = q.

Akar kuadratkan kedua sisi persamaan.

Pisahkan menjadi dua kasus: kasus positif dan negatif dari akar kuadratnya.

Hitung nilai x untuk setiap kasus untuk menemukan akar-akar persamaan kuadrat.

Langkah-langkah metode faktor jika a=1,

ax² + bx + c = 0

note :

p = Bilangan 1

q = Bilangan 2

1. Cari tau bilangan yang

p + q = b

p . q = a . c

2. Setelah mendapat nilai p dan q, kasih ke bentuk persamaan faktor

(x + p) (x + q) = 0

3. Tuliskan akar-akarnya

x1 + p = 0

x1 = -p

atau (V)

x2 + q = 0

x2 = -q

Bentuk faktor = (x - x1)(x - x2)=0

Metode faktor jika a>1,

1. Sama seperti yang pertama, tetapi bentuk faktornya

(ax + p) (ax + q) / a = 0

Rumus ABC adalah rumus matematika yang digunakan untuk mencari akar-akar dari persamaan kuadrat berbentuk:

ax^2 + bx + c = 0

Bentuknya:

[-b ± √(b² - 4ac)] / 2a

Contoh Soal,

3x^2 - 6x - 5 = 0

Langkah-langkah:

1. a=3,b=-6,c=-5

2. [-(-6) ± √(-6² - 4x3x(-5))] / 2x3

3. [6 ± √(36 + 60)] / 6

4. √(36 + 60)>>√(96)>>4√(6)

5. [3 ± 2√6] / 3

6. HP= [3 - 2√6] / 3 V [3 + 2√6] / 3

• Pengertian 📝

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang pangkat tertingginya 2.

Bentuk umum:

ax2+bx+c=0

🖇️ Keterangan:

a = koefisien x2

b = koefisien x

c = konstanta

—

• Akar Persamaan Kuadrat 📝

Akar = nilai x yang membuat persamaan = 0

Cara mencari akar:

• Faktorisasi

• Melengkapi kuadrat

• Rumus ABC

—

• Rumus ABC 🧮

Digunakan untuk mencari akar dari persamaan kuadrat:

x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a

🖇️ Keterangan:

• Tanda ± artinya ada dua nilai akar

• Bagian b² - 4ac disebut diskriminan