Hệ thức lượng trong đường tròn by Như Ý

Khung đồng hồ.

ptny050206 — 2022-01-24 08:26:31 UTC

https://shopee.vn/%C4%90%E1%BB%93ng-H%E1%BB%93-Treo-T%C6%B0%E1%BB%9Dng-10inch-H%E1%BB%8Da-Ti%E1%BA%BFt-Ho%E1%BA%A1t-H%C3%ACnh-S%C3%A1ng-T%E1%BA%A1o-%C4%90%C3%A1ng-Y%C3%AAu-Trang-Tr%C3%AD-Ph%C3%B2ng-B%C3%A9-G%C3%A1i-i.255939798.7587671584?sp_atk=cf4fe75a-4dd3-4e8d-b2c8-bfaa4991c8c1. Link mua đồng hồ treo tường xinh xắn cho bạn nào cần nè:3

Khung của bánh xe đạp.

ptny050206 — 2022-01-24 08:28:32 UTC

Vành chiếc đĩa.

ptny050206 — 2022-01-24 08:30:11 UTC

Vành ngoài của chiếc gương treo tường.

ptny050206 — 2022-01-24 08:37:24 UTC

https://shopee.vn/G%C6%B0%C6%A1ng-tr%C3%B2n-Treo-T%C6%B0%E1%BB%9Dng-G1-Vi%E1%BB%81n-Da-i.321265068.7885239673. Link mua gương cho những bạn cần nhá:3

Định lý 1:

ptny050206 — 2022-01-24 10:46:54 UTC

Cho đường tròn (O,R) và một điểm M trên mặt phẳng cách O một khoảng bằng d.. Từ M kẻ cát tuyến MAB tới (O). Khi đó:

(*) M̅A.M̅B = d² - R²

Định nghĩa: Ta gọi đại lượng d² - R² là phương tích của điểm M đối với (O), kí hiệu là P_M/(O)=d² - R²
Nhận xét: NếuP_M/(O)>0 thì M nằm ngoài (O), P_M/(O)=0 thì M nằm trên biên (O), P_M/(O)<0 thì M nằm trong (O). Trong nhiều bài toán, ta thường sử dụng độ dài đoạn thẳng dạng hình học và viết (*) dưới dạng M̅A.M̅B = |d² - R²|

Định lí 2:

ptny050206 — 2022-01-24 11:02:28 UTC

Cho (O) và một điểm M trên mặt phẳng. Từ M kẻ 2 cát tuyến MAB, MCD thì M̅A. M̅B =M̅C.M̅D

Định lí 3:

ptny050206 — 2022-01-24 11:05:16 UTC

Cho (O) và một điểm M nằm ngoài (O). Kẻ tiếp tuyến MN, cát tuyến MAB. Ta có M̅A. M̅B =M̅N ²

Định lí 4:

ptny050206 — 2022-01-24 11:07:39 UTC

Cho hai đường thẳng AB,CD cắt nhau tại M (khác A,B,C,D). Nếu M̅A. M̅B =M̅C.M̅D thì 4 điểm A,B,C,D cùng thuộc một đường tròn.

Định lí 5:

ptny050206 — 2022-01-24 11:08:59 UTC

Cho hai đường thẳng AB,MN cắt nhau tại M. Nếu
M̅A. M̅B =M̅N ²thì đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN tiếp xúc với MN tại N.

Định lí 6:

ptny050206 — 2022-01-24 12:05:12 UTC

Nếu đường tròn suy biến thành điểm, tức là đường tròn có bán kính bằng 0 thì phương tích của điểm M đến đường tròn đó bằng d², với d là khoảng cách từ M

Định lí 7:

ptny050206 — 2022-01-24 12:09:20 UTC

Cho hai đường tròn không đồng tâm (O1;R1)

(O1;R1) và (O2;R2). Tập hợp các điểm M mà phương tích của M đối với hai đường tròn bằng nhau là một đường thẳng.

Định nghĩa và định lí:

ptny050206 — 2022-01-24 13:09:27 UTC

Định nghĩa: Trục đẳng phương của hai đường tròn là quỹ tích những điểm sao cho tiếp tuyến từ điểm đó đến hai đường tròn có độ dài bằng nhau.
Định lí:
Tập hợp các điểm M có cùng phương tích đối với hai đường tròn không đồng tâm (O1,R1),(O2,R2) là một đường thẳng vuông góc với đường thẳng nối hai tâm O1,O2. Nếu gọi O là trung điểm O1O2, H là hình chiếu của M trên O1O2 thì
OH ̅ = R1² - R2²/20102

Trường hợp 1:

ptny050206 — 2022-01-24 13:26:47 UTC

(O1) giao (O2) tại 2 điểm phân biệt A,B. Đường thẳng AB chính là trục đẳng phương của (O1) và (O2)

Trường hợp 2:

ptny050206 — 2022-01-24 13:28:23 UTC

(O1) và (O2) chỉ có một điểm chung X. Tiếp tuyến chung tại X của hai đường tròn là trục đẳng phương của (O1) và (O2)

Trường hợp 3:

ptny050206 — 2022-01-24 13:34:55 UTC

(O1) và (O2) không có điểm chung, dựng đường tròn (O3) có hai điểm chung với (O1) và (O2). Dễ dàng vẽ được trục đẳng phương của (O1) và (O3), (O2) và (O3). Hai đường thẳng này giao nhau tại M. Từ M kẻ MH ⊥ O1O2. MH chính là trục đẳng phương của (O1) và (O2).

Tính chất của trục đẳng phương:

ptny050206 — 2022-01-24 13:54:14 UTC

Cho hai đường tròn (O) và (I), ta có những tính chất sau:

Trục đẳng phương của hai đường tròn vuông góc với đường thẳng nối tâm.
Nếu hai đường tròn cắt nhau tại A và B thì AB chính là trục đẳng phương của chúng.
Nếu điểm M có cùng phương tích đối với (O) và (I) thì đường thẳng qua M vuông góc với OI là trục đẳng phương của hai đường tròn.
Nếu hai điểm M,N có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì đường thẳng MN chính là trục đẳng phương của hai đường tròn.
Nếu 3 điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì 3 điểm đó thẳng hàng.
Nếu (O) và (I) tiếp xúc nhau tại A thì đường thẳng qua A và vuông góc với OI chính là trục đẳng phương của hai đường tròn.

Trục đẳng phương trong hệ tọa độ Descartes:

ptny050206 — 2022-01-24 14:03:21 UTC

Định nghĩa:

tuongvicao246 — 2022-01-24 14:18:37 UTC

Cho ba đường tròn không có hai đường tròn nào đồng tâm. Khi đó ba trục đẳng phương của các cặp đường tròn trùng nhau hoặc song song hoặc cùng đi qua một điểm. Trong trường hợp chúng đi qua một điểm, điểm đó được gọi là tâm đẳng phương của ba đường tròn.

Tính chất:

tuongvicao246 — 2022-01-24 14:24:02 UTC

Nếu ba trục đẳng phương song song hoặc trùng nhau thì tâm của ba đường tròn thẳng hàng.
Nếu ba đường tròn đôi một cắt nhau thì các dây cung chung cùng đi qua một điểm.
Nếu ba đường tròn cùng đi qua một điểm và các tâm thẳng hàng thì các trục đẳng phương trùng nhau.

Phương trình đường tròn:

ptny050206 — 2022-01-24 14:28:22 UTC

Biểu thức tọa độ của phương tích:

ptny050206 — 2022-01-24 14:29:58 UTC

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn:

ptny050206 — 2022-01-24 14:37:19 UTC

Vị trí tương đối giữa hai đường tròn:

ptny050206 — 2022-01-24 14:38:03 UTC

Viền khung tranh

tuongvicao246 — 2022-01-26 02:06:00 UTC

Viền thảm lót gạch

tuongvicao246 — 2022-01-26 02:06:46 UTC

Viền phao bơi

tuongvicao246 — 2022-01-26 02:09:01 UTC

Bài toán: Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định, OM = d. Một đường thẳng thay đổi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Chứng minh MA.MB = MO^2 – R ^2= d^2 – R^2

ptny050206 — 2022-01-27 12:51:53 UTC

Chứng minh: Cho hai đường tròn không đồng tâm (O1 ;R1 ) và (O2 ;R2 ) Tập hợp các điểm M có phương tích đối với hai đường tròn bằng nhau là một đường thẳng, đường thẳng này được gọi là trục đăng phương của hai đường tròn (O1) và (O2)

ptny050206 — 2022-01-27 13:09:01 UTC

Chứng minh: Cho 3 đường tròn (C1), (C2) và (C3). Khi đó 3 trục đăng phương của các cặp đường tròn này hoặc trùng nhau hoặc song song hoặc cùng đi qua một điểm. Nếu các trục đẳng phương cùng đi qua một điểm thì điểm đó được gọi là tâm đẳng phương của ba đường tròn.

ptny050206 — 2022-01-27 13:33:22 UTC

Cảm ơn cô và các bạn đã ghé thăm phòng trưng bày của nhóm em, mong cô và các bạn nhận xét cũng như đánh giá để bọn em rút kinh nghiệm cho những bài sau <3

ptny050206 — 2022-01-27 13:43:45 UTC

Phần quà nho nhỏ cho các bạn: https://geosiro.com/?p=197 - đây là link của chuyên đề Hệ thức lượng trong đường tròn bao gồm lý thuyết và bài tập các bạn có thể tham khảo nhé!!!

Trường hợp không tồn tại trục đẳng phương:

ptny050206 — 2022-01-27 14:40:57 UTC

Khi hai đường tròn đồng tâm khác bán kính thì giữa chúng không tồn tại trục đẳng phương.

Ví dụ: Cho tam giác ABC đều cạnh a và H là trực tâm. Tính phương tích của điểm A và H đối với đương tròn đường kính BC.

tuongvicao246 — 2022-01-28 07:22:11 UTC

Giải:
Đường tròn đường kính BC có tâm O là trung điểm của BC và bán kính R = BC/2 = a/2.
PA/(O) = AO2- R2 = a2/2.
PH/(O) = HO2-R2 = -a2/6.

Cho tam giác ABC có đường cao BD và CE cắt nhau tai H. M là trung điểmcủa BC, N là giao điểm của DE và BC. Chứng minh rằng NH vuông góc vớiAM.(MOP

tuongvicao246 — 2022-01-28 13:58:35 UTC

Ta có: NE.ND = NF.NM (Do E, D, M, F đồng viên)
Suy ra N nằm trên trục đẳng phương của đường tròn đường kính MH và đường tròn đường kính AH. Mặt khác H là giao điểm của (O) và (I), suy ra NH chính là trục đẳng phương của (O) và (I). Suy ra NH ⊥ OI mà OI // AM,
do đó NH ⊥ AM.

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) có M, N lần lượt là giao điểm củacác cặp cạnh đối AB,CD và AD, BC. Gọi E là giao điểm của 2 đường chéo.Khi đó ta có: E là trực tâm tam giác OMN (Định lí Brocard)

tuongvicao246 — 2022-01-28 14:01:36 UTC

Gọi K = (ABE) ∩ (CDE).
Dễ thấy K, E, M cùng nằm trên trục đẳng phương của (ABE), (CDE) nên chúng thẳng hàng.
Ta có: ∠BKC = ∠BKE + ∠CKE = ∠EAB + ∠EDC = ∠COB nên O,K, B,C đồng viên.

Tương tự thì O,K, A, D đồng viên. Từ đây suy ra K là giao điểm của (OBC) và
(OAD) nên N,K, O thẳng hàng. Ta có:
∠NKM = ∠MKB+∠NKB = ∠EAB+∠OCB = ∠EDC+∠OBC = ∠EKC+∠OKC = MKO
Suy ra ME ⊥ ON. Hoàn toàn tương tự ta cũng có: NE ⊥ OM nên E Là trực tâm
của tam giác OMN

Chứng minh

tuongvicao246 — 2022-01-28 14:55:21 UTC

Sử dụng tinh chất góc ngoài để ý thấy tam giác DIC cân tại D => DI=DC (1)
Ta thấy tam giác AHI~tam giác GCD (g.g)
=> AI/GD = HI/CD = 2Rr (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AI.DC = 2Rr (3)
Xét tam giác đồng dạng ta lại được:
AI.DI = EI.FI = (R-d)(R+d) = R^2 - d^2 (4)
Từ (3) và (4) suy ra: d^2 = R^2 - 2Rr

Trong hình học, định lý Euler nói về khoảng cách d giữa tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp của một tam giác thể hiện qua công thức sau: d^2=R(R-2r)

tuongvicao246 — 2022-01-28 15:05:07 UTC

Trong đó R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại và nội tiếp của một tam giác. Định lý đặt tên theo nhà toán học Leonhard Euler, người công bố nó năm 1767. Tuy nhiên, kết quả tương tự đã được nhà toán học người Anh William Chapple công bố trước Euler vào năm 1746

Từ định lý trên ta có bất đẳng thức Euler:^{R >= 2r}
Đẳng thức xảy ra khi tam giác là tam giác đều.