EDAD: 19 Años

CARRERA: Administración de empresas

MIS EXPECTATIVAS DEL CURSO

MATEMATICAS II :

Aprender y comprender nuevos conceptos, mejorar mi habilidad para resolver actividades o problemas de nuestra vida real por medio de :

Funciones

Limites

Derivadas

y desarrollar un pensamiento mas lógico, También saber como aplicar las matemáticas en una situación personal o laboral.

Por ultimo entender la importancia que tienen las matemáticas en la administración.

QUIEN SOY.

Comentario:

soy una persona especial y única delante los ojos de Dios, me caracterizo por ser trabajadora y sobre todo estudiosa, con ganas de aprender nuevas cosas, soy respetuosa, responsable y puntual.

También una persona enfocada en cumplir sus metas y el sueño de ser una gran administradora o empresaria.

las funciones son expresiones algebraicas que relacionan dos magnitudes diferentes. Es decir, las funciones matemáticas relacionan cada elemento de una magnitud con un único elemento de otra magnitud.

Por ejemplo, se puede relacionar matemáticamente la velocidad de una persona con el tiempo que tardará en recorrer un tramo utilizando una función. De manera que sabiendo la velocidad de la persona, se puede calcular el tiempo que tardará mediante una función matemática.

Las funciones se expresan mediante la letra y o con el símbolo f(x) indistintamente:

y = f(x)

Donde x es la variable independiente e y es la variable dependiente.

La notación de funciones que es usada más frecuentemente es f(x), lo cual es leído como “f de x”. En este caso, la letra x ubicada dentro del paréntesis representa al dominio de la función y el símbolo entero f(x) representa al rango de la función.

A pesar de que la f es la letra más usada, podemos usar cualquier otra letra del abecedario tanto minúscula como mayúscula. De igual forma, también podemos usar cualquier otra letra del abecedario en lugar de la x.la función.

EJEMPLO 1

Dada la función f(x)=3x−5 encuentra el valor de f(3).

Solución: Sustituimos el 3 en vez de la x en la función:

f(x)=3x−5

f(3)=3(3)−5

f(3)=9−5

f(3)=4

Esta respuesta puede ser pensada como el par ordenado (3, 4).

1. Funciones lineales: Aquellas en las que la relación entre la variable independiente y la variable dependiente es una línea recta.

2. Funciones cuadráticas: Aquellas en las que la relación entre la variable independiente y la variable dependiente es una parábola.

3. Funciones racionales: Aquellas en las que tanto la variable independiente como la dependiente son polinomios.

4. Funciones irracionales: Aquellas en las que la variable dependiente involucra raíces cuadradas u otras raíces.

5. Funciones logarítmicas: Aquellas en las que la variable dependiente está en forma de logaritmo.

6. Funciones trigonométricas: Aquellas que involucran funciones trigonométricas como seno, coseno, tangente, etc.

Estas son solo algunas de las clasificaciones más comunes, pero hay muchas otras funciones con características diferentes.

se denota como "lim" y se utiliza para estudiar el comportamiento de una función en puntos cercanos a dicho punto. El límite puede existir o no existir, y puede ser finito o infinito.

los limites:

En matemáticas, el límite de una función en un punto es el valor al cual se aproxima la función cuando x se acerca a ese punto.

El límite de la función f(x) en el punto x=a se representa utilizando la siguiente notación:

lim f(x) =b

x=a

La expresión anterior significa que el límite de la función f(x) cuando x tiende a es igual a b.

Para acabar de entender qué significa el límite de una función, vamos a hallar el siguiente límite:

lim (X² - 4x + 5)= ?

x=2

Para ver a qué valor se aproxima la función cuando x tiende a 2, podemos ir calculando imágenes de la función de puntos cada vez más cerca de x=2:

Primera tabla

X F(x) = x² -4x +5

0 5

1 2

1,5 1,25

1,9 1,01

1,99 1,0001

1,999 1,000001

segunda tabla

X F(x) = x² -4x +5

4 5

3 2

2,5 1,25

2,1 1,01

2,01 1,0001

2,001 1,000001

Como podemos ver en las dos tablas anteriores, a medida que vamos tomando valores más próximos a x=2, la función se va acercando a 1. Por lo tanto, el límite de la función cuando x tiende a 2 es 1.

El límite de una función en un punto es único, por lo tanto una función no puede tener dos límites diferentes en un mismo punto.

Refiérase límite como:

Límite:

Siempre que "x" se aproxime a "a", sin llegar a alcanzar nunca este valor, f(x) se aproxima a "A".

1. Propiedad de la suma: El límite de la suma de dos funciones es igual a la suma de los límites de las funciones individuales.

2. Propiedad del producto: El límite del producto de dos funciones es igual al producto de los límites de las funciones individuales.

3. Propiedad del cociente: El límite del cociente de dos funciones es igual al cociente de los límites de las funciones individuales, siempre y cuando el límite del denominador no sea cero.

4. Propiedad de la constante: El límite de una constante multiplicada por una función es igual a la constante multiplicada por el límite de la función.

5. Propiedad del exponente: El límite de una función elevada a una potencia es igual al límite de la función elevada a esa potencia.

Estas son solo algunas propiedades básicas, pero hay muchas más que se utilizan en el cálculo de límites.

Propiedades de los Límites

• Si dos funciones f(x) y g(x) toman valores iguales en un entorno reducido de un punto de acumulación x=a y una de ellas tiene límite l en ese punto, la otra también tiene límite l en a.

  
  

• Si una función tiene límite en un punto, ese límite es único. Una función no puede tener dos límites distintos en un punto.

• Si una función tiene límite l en un punto, en un entorno reducido del mismo, la función toma valores menores que cualquier número mayor que el límite y mayores que cualquier número menor que el límite. Esta propiedad contiene dos subpuntos, los cuales son:

• Si una función tiene en un punto un límite distinto de cero, en un entorno reducido del punto, la función determina valores del mismo signo que su límite.

• Toda función que tiene límite finito en un punto, está acotada en un entorno reducido del mismo.

• Si en un entorno reducido de un punto, los valores que determina la función están comprendidos entre los de otras dos funciones que tienen el mismo límite en ese punto, ella también tiene ese mismo límite en el punto.

1. Funciones lineales: Estas funciones se utilizan para representar relaciones de proporcionalidad directa o inversa entre variables. Por ejemplo, se pueden utilizar para modelar el costo de producción en función de la cantidad de unidades producidas, o para calcular el ingreso en función del precio y la demanda de un producto.

2. Funciones exponenciales: Estas funciones son útiles para modelar el crecimiento o decrecimiento exponencial de variables en el tiempo. En administración, se pueden utilizar para predecir el crecimiento de una empresa en función de su tasa de crecimiento promedio, o para estimar la depreciación de activos a lo largo del tiempo.

3. Funciones logarítmicas: Las funciones logarítmicas son ampliamente utilizadas en la resolución de problemas financieros y de gestión. Por ejemplo, se pueden utilizar para calcular el tiempo necesario para duplicar una inversión con una tasa de interés determinada, o para evaluar la eficiencia de los procesos empresariales utilizando la ley de rendimientos marginales decrecientes.

4. Funciones trigonométricas: Estas funciones son útiles en la administración para analizar patrones cíclicos o periódicos. Por ejemplo, se pueden utilizar para predecir la demanda estacional de productos, o para planificar la asignación de recursos en función de patrones estacionales de producción.

En resumen, las funciones matemáticas son herramientas poderosas que permiten a los administradores tomar decisiones informadas y realizar análisis cuantitativos en diferentes áreas de la administración, como la planificación, la gestión financiera, la logística y la toma de decisiones estratégicas.

Para determinar cuánto tiempo tomará duplicar la inversión utilizando una función logarítmica, necesitamos utilizar la fórmula del interés compuesto:

A = P * (1 + r)^t

Donde:

A = Valor final de la inversión

P = Inversión inicial

r = Tasa de interés anual

t = Tiempo en años

En este caso, queremos que A sea el doble de P, por lo que podemos escribir la ecuación como:

2P = P * (1 + 0.08)^t

Simplificando la ecuación, tenemos:

2 = (1 + 0.08)^t

Ahora, podemos resolver para t utilizando una función logarítmica. Tomando el logaritmo base 10 de ambos lados de la ecuación, obtenemos:

log(2) = t * log(1 + 0.08)

Finalmente, despejamos t:

t = log(2) / log(1 + 0.08)

Calculando esto, encontramos que t es aproximadamente igual a 9.0066 años. Por lo tanto, tomará alrededor de 9 años para duplicar la inversión utilizando una función logarítmica.

Para determinar la cantidad de unidades vendidas en el mes 6 utilizando una función trigonométrica, podemos utilizar la función sinusoidal general:

y = A sin(B (x - C)) + D

Donde:

y = Cantidad de unidades vendidas

A = Amplitud de la función (en este caso, 500 unidades)

B = 2π / período (en este caso, 2π / 12)

x = Mes

C = Desplazamiento horizontal (en este caso, 0)

D = Desplazamiento vertical (en este caso, 0)

Sustituyendo los valores en la ecuación, obtenemos:

y = 500 sin((2π / 12) (6 - 0)) + 0

Simplificando la ecuación, tenemos:

y = 500 * sin(π)

Evaluando la función sinusoidal en π, encontramos que sin(π) es igual a 0.

Por lo tanto, la cantidad de unidades vendidas en el mes 6 utilizando una función trigonométrica es de 0 unidades.

Una función f(x) es continua en un punto (a) si

f(x)=x²

Intuitivamente, la continuidad significa que un pequeño cambio en la variable x implica sólo un pequeño cambio en el valor de f(x), es decir, la gráfica consiste de un sólo trozo de curva.

La continuidad de la función f(x) para un valor a significa que f(x) difiere arbitrariamente poco del valor f(a) cuando x está suficientemente cerca de a.

No hay límites indeterminados. Lo que hay son formas indeterminadas que pueden obtenerse al tratar de calcular un límite directamente. Dos de estas formas son 0/0 e ∞∞/∞∞

Por ejemplo, si tratamos de calcular el límite de f(x) = (1-x)/(x-1) a medida que x se acerca a 1, sustituyendo directamente x por 1, encontramos que el resultado es 0/0.

Al obtener una forma indeterminada al tratar de calcular un límite, no quiere decir que el límite no exista, sino que es necesario buscar otra manera de calcular el límite.

Un concepto importante en las derivadas es el de la tasa de cambio instantánea. La derivada de una función en un punto dado representa la pendiente de la recta tangente a la curva de la función en ese punto. Esta pendiente nos indica cómo está cambiando la función en ese punto específico y nos permite analizar su comportamiento local. En resumen, la derivada nos proporciona información sobre la rapidez con la que una función está variando en un punto determinado.

La derivada de una función es una medida de cómo cambia el valor de la función en respuesta a cambios infinitesimales en su variable independiente. Matemáticamente, la derivada se define como el límite de la razón incremental entre el cambio en el valor de la función y el cambio en la variable independiente, cuando el cambio en la variable tiende a cero. En términos más simples, la derivada nos indica la tasa de cambio instantánea de una función en un punto dado.

Desde una perspectiva geométrica, la derivada de una función es la pendiente de la recta tangente al punto donde se ubica x.

En términos matemáticos, la derivada de una función puede expresarse de la siguiente forma:

f'(x) = f (x+h) - f (x)/h

Lim h=0

En la fórmula, x es el punto en el que la variable toma el valor de x. Asimismo, h es cualquier número. Este luego se igualará a cero pues, como vemos en la imagen superior, debemos calcular el límite de la función cuando h se acerca a cero.

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Si dos cantidades están relacionadas entre sí, entonces cuando una de ellas cambia con el tiempo, la otra cambiará también. Por lo tanto sus razones de cambio (con respecto al tiempo) están relacionadas entre sí. Por ello a este tipo de situaciones se les llama razones de cambio relacionadas.

La razón de cambio en derivadas matemáticas se refiere a cómo cambia la pendiente de una función en un punto específico. La derivada de una función representa la pendiente de la función en cada punto. Si calculamos la derivada de la derivada, obtenemos la segunda derivada, que representa cómo cambia la pendiente en cada punto. La razón de cambio en derivadas matemáticas nos permite analizar cómo varía la pendiente de una función en relación con los cambios en la variable independiente.

    Observa la siguiente animación. En ella observarás como cambia la sombra que una persona proyecta sobre el piso, cuando esa persona se aleja de la fuente luminosa.

    Como habrás observado, la longitud de la sombra depende de la distancia de la persona al poste. Puesto que la distancia x cambia con el tiempo, también la longitud de la sombra s cambia con el tiempo. La razón de cambio de la longitud de la sombra con respecto al tiempo, depende de la velocidad con la que la persona se aleja del poste. A esto le llamamos razones de cambio relacionadas. Enseguida, se muestran los cálculos necesarios para encontrar la razón de cambio de la sombra del ejemplo anterior.

La relación entre x y s es:

1.8 6

 == 

s(t) s(t) + x(t)

Despejando a s(t) obtenemos:

 s(t) = (0.428571) x(t) 

Derivando con respecto al tiempo obtenemos s'(t):

 s'(t) = (0.428571) x'(t) 

Sustituyendo el valor de x'(t)=1. obtenemos: 

s'(t) = 0.428571

La razón de cambio de s con respecto a t es: 

s'(t)= 0.428571 cuando x'(t)= 1

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En el ámbito empresarial, el análisis de costos es una aplicación común de las derivadas en la administración. Las empresas deben tener un control preciso sobre sus costos para maximizar sus ganancias y mantener una ventaja competitiva. Mediante el cálculo de derivadas, es posible determinar cómo varían los costos en función de diferentes variables, como la producción, la demanda o los precios de los insumos.

Por ejemplo, supongamos que una empresa fabrica un producto y desea determinar la cantidad óptima a producir para minimizar los costos. Utilizando las derivadas, es posible encontrar el punto crítico donde la tasa de cambio de los costos con respecto a la producción sea igual a cero. Este punto crítico representa el nivel de producción que minimiza los costos totales.

Además del análisis de costos, las derivadas también se utilizan en la administración para optimizar funciones relacionadas con la producción, la logística y el marketing. Por ejemplo, se puede utilizar el cálculo de derivadas para maximizar los beneficios al determinar el precio óptimo de un producto, considerando factores como la demanda y los costos asociados.

Otra aplicación importante de las derivadas en la administración es en la optimización de procesos. Las empresas constantemente buscan mejorar la eficiencia y reducir los tiempos de producción. Mediante el análisis de derivadas, es posible identificar puntos críticos donde se alcanzan máximos o mínimos en la función que representa el tiempo de producción. Esto permite tomar decisiones informadas para optimizar los procesos y reducir costos.

En resumen, las derivadas son una herramienta poderosa en las matemáticas aplicadas a la administración. Su capacidad para analizar tasas de cambio, optimizar funciones y tomar decisiones informadas las convierte en una herramienta invaluable para las empresas. El uso de las derivadas en la administración permite una gestión más eficiente de los recursos y una toma de decisiones basada en datos sólidos, lo que contribuye al éxito y crecimiento de las organizaciones.

Solución:

Para calcular la tasa de cambio del costo total con respecto a la cantidad de unidades producidas (dC/dx), necesitamos derivar la función de costo total C(x) y evaluarla en x = 100.

La derivada de C(x) es dC/dx = 0.15x² + 20x + 500.

Evaluando en x = 100, tenemos:

dC/dx = 0.15(100)² + 20(100) + 500 = 1500 + 2000 + 500 = 4000.

Por lo tanto, la tasa de cambio del costo total cuando se producen 100 unidades es de 4000 unidades por unidad adicional producida. Esto significa que el costo total aumentará en 4000 unidades cuando se incremente la producción en una unidad.

• La derivada de una suma de funciones es la suma de sus derivadas. Es decir, la derivada de f(x)+g(x) es igual a f′(x)+g′(x)

• La derivada del producto de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la derivada de la función. Es decir:
  (k⋅f(x))′=k⋅f′(x)

Estas dos propiedades son muy útiles para determinar, por ejemplo, la derivada de un polinomio, ya que un polinomio no es otra cosa que una suma de monomios de la forma axn Por ello, para hallar la derivada de cualquier polinomio es suficiente conocer las derivadas xn

• La derivada de un producto de funciones se calcula de la siguiente manera: si h(x)=f(x)⋅g(x)ℎ su derivada es igual a
      h′(x)=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)ℎ′

• La derivada de un cociente de funciones se calcula de la siguiente manera: si h(x)=f(x)g(x)ℎ, su derivada es igual a
      h′(x)=f′(x)⋅g(x)−f(x)⋅g′(x)g2(x)ℎ′

• La derivada de una composición de funciones se calcula con la denominada regla de la cadena: si h(x)=(g∘f)(x))ℎ, entonces su derivada es igual a
      h′(x)=g′(f(x))⋅f′(x)

Las propiedades de la derivada son:

1. Linealidad: La derivada de una suma o resta de funciones es igual a la suma o resta de las derivadas de esas funciones.

2. Regla del producto: La derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada del segundo más el segundo factor por la derivada del primero.

3. Regla del cociente: La derivada del cociente de dos funciones es igual a la resta entre el denominador por la derivada del numerador, menos el numerador por la derivada del denominador, todo dividido por el cuadrado del denominador.

4. Regla de la cadena: La derivada de una función compuesta es igual al producto entre la derivada de la función exterior evaluada en la función interior, por la derivada de la función interior.

5. Derivada de una constante: La derivada de una constante es siempre cero.

6. Derivada de una potencia: La derivada de una función elevada a una potencia es igual a esa potencia multiplicada por la función elevada a la potencia menos uno.

Estas propiedades son fundamentales para calcular las derivadas de diferentes funciones y simplificar expresiones.

COSTO MARGINAL: el costo marginal se refiere al análisis de cómo cambia el costo total cuando se produce una unidad adicional de un bien o servicio. La derivada del costo total con respecto a la cantidad producida se conoce como costo marginal. La interpretación del costo marginal es que representa el costo adicional incurrido al aumentar la producción en una unidad. En la toma de decisiones empresariales, el análisis del costo marginal es útil para determinar el nivel óptimo de producción y establecer precios eficientes. Además, permite evaluar la rentabilidad de producir más unidades o reducir la producción en función de los ingresos adicionales y los costos adicionales asociados.

INGRESO MARGINAL: el ingreso marginal se refiere al análisis de cómo cambia el ingreso total cuando se vende una unidad adicional de un bien o servicio. La derivada del ingreso total con respecto a la cantidad vendida se conoce como ingreso marginal. La interpretación del ingreso marginal es que representa el ingreso adicional generado por vender una unidad adicional. En la toma de decisiones empresariales, el análisis del ingreso marginal es útil para determinar el nivel óptimo de producción y establecer precios eficientes. Permite evaluar si es beneficioso producir y vender más unidades o si es más conveniente reducir la producción en función de los costos y los ingresos adicionales asociados.

                        Y =  f (x)

Donde:, en la practica  x se toma siempre positivo.

     Si: f’ > 0 ; la función es de oferta

     Si: f < 0; La función es de Demanda.

El punto de intersección de las Funciones de oferta y Demanda se llama punto de equilibrio.

Hallar el punto de equilibrio y las pendientes en ese punto de las funciones de Oferta y Demanda : Respectivamente :

Y = (2008 -8x – x^2) /  16    ; y = (1 x^2)/13

Y = (208 -8x – x^2)/16 è   x=8 ; y = 5

Y = (1 + x^2)/13     è   -11,5 : y = 10.4

Se tomara únicamente la 1ra solución como punto de equilibrio, ya que : x debería ser positivo.

La pendiente de la demanda en: P(8,5)

Y = (208 -8x – x^2) /16  è Y’ = ½ -x/8

Reemplazando x=8 è y’(s) = -3/2 <0

La pendiente de la oferta en: P(8,5)

Y= 0 1 + x^2  / 13  è y’(8) = 16/13 >  0

Por la interpretación geométrica de la Derivada, una Derivada  es una Pendiente es una Razón o relación de Variación Instantánea.

Por tanto en el anterior  calculo de las pendiente de las funciones de oferta y Demanda, representan las variaciones instantáneas de los Precios Unitarios (y) con respecto al numero de Unidades (x); exactamente en el instante en que: x = 8.

Tomando en Valor absoluto las Pendientes de la Demanda 3/2 ; de la Oferta 16/13, se aprecia que mayor es la variación de la demanda.

La variación de una cantidad respecto de otra puede ser descrita, mediante un concepto promedio, o un concepto margina.

El concepto  Promedio , es la variación de una primera cantidad, respecto a un Intervalo limitado de la Segunda cantidad.

Si el numero de unidades de un bien es . x ; entonces el costo Total puede expresarse como:

A partir de este costo total pueden definirse los siguientes conceptos:

 COSTO PROMEDIO: Cp =  C (x)  / x   = y

COSTO MARGINAL:   Cm = C ‘ (x) = dy / dx

COSTO PROMEDIO MARGINAL:

Cpm = dy /dx =  xC’(X) – C(x)  / x^2      è d/dx * Cp

Ej: Si la función de Costo es Lineal C(x) 0 ax+ b. donde a,b son constantes

Costo Promedio:  Cp  = C(x) / X  =  ax+b / x  = a + b/x

Costo Marginal: Cm = C’(x) = a

Costo promedio Marginal: Cpm = d/dx Cp = - b/x^2

             R(x) = xy = x-f(x)

A partir de  esta expresión de ingreso total, se definen los siguientes conceptos:

INGRESO PROMEDIO: Rp = r(x) / x

INGRESO MARGINAL: Rm = R ‘(x)

Nótese que la expresión de Ingreso promedio carece de mayor importancia puesto que es equivalente a la demanda del bien.

Ejemplo : Una función de Demanda es:  Y = 12 – 4x

El Ingreso :   R(x) = xy = x(12 -4x)

El Ingreso Marginal:   R’ (x) = 12 -8x

Comúnmente se procura maximizar el Ingreso total para ello es suficiente con recurrir a las técnicas de Máximos y mínimos conocidas ( Derivar e igualar a Cero)

Ejemplo: Hallar el Ingreso Marginal y el Ingreso Máximo, que se obtiene de un bien cuya función de demanda es y = 60 -2x

La demanda:  y = 60 – ex

El Ingreso: R(x) = xy = x( 60 – 2x) = 60x – 2x^2

El Ingreso Marginal: R’(x) = 60 – 4x

Maximizando la ecuación de Ingreso Total:

Si.  R8x) = 60x – 2x^2

R’(x) = 60 – 4x = 0 è x=15

Rmax. = 60+15 – 2*15^” = 450

En este problema no se verifica que el Punto Critico hallado mediante la derivada igualada a Cero, determina evidentemente a un máximo ya que se supone de acuerdo las condiciones de cada  problema ( de todas maneras la verificación es simple utilizando la segunda derivada)

Para la interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto, partiremos de la tasa de variación media en un intervalo de su variable independiente [a, a + Δx].