Mural digital by HAMILTON DANIEL SUAREZ CARRANZA

Definición de Funciones

hdsuarez — 2022-11-08 00:19:50 UTC

Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto B. Por la definición, se puede inferir que todas las funciones son relaciones, pero NO todas las relaciones son funciones.

Existen 4 formas de definir una función

hdsuarez — 2022-11-08 00:27:28 UTC

1. DESCRIPTIVA: es la descripción verbal del fenómeno que se estudia, en esta se detallan las condiciones en que ocurren los hechos. Por Ejemplo: La ganancia G que resulta de vender x artículos, en la cual el valor unitario es de $200

Existen 4 formas de definir una función

hdsuarez — 2022-11-08 00:29:50 UTC

NUMÉRICA: consiste en hacer una tabla de valores con los datos obtenidos del fenómeno al hacer las mediciones correspondientes. Por Ejemplo:

Existen 4 formas de definir una función

hdsuarez — 2022-11-08 00:31:45 UTC

3. GRÁFICA: por medio de una representación gráfica, ubicando pares ordenados en el plano cartesiano, se puede observar la forma de la curva que muestra la función dada.

Existen 4 formas de definir una función

hdsuarez — 2022-11-08 00:32:48 UTC

4. ANALÍTICA: también es llamada Matemática, es aquella que por medio de un modelo matemático se describe el fenómeno, para el ejemplo que estamos analizando sería: el modelo describe la ganancia (G) en función de número de artículos vendidos (x).
𝑮 = 𝟐𝟎X

Clases de Funciones

hdsuarez — 2022-11-08 00:35:25 UTC

1. FUNCIÓN INYECTIVA. También llamada Función Uno a Uno, son aquellas donde los elementos del rango que son imagen de algún elemento del dominio, solo lo hacen una vez. Las funciones crecientes y decrecientes son inyectivas. sea la función y=f(x), dados los elementos del dominio X1 y X2, si X1≠ X2, y f(X1) ≠ f(X2), entonces la función es inyectiva.

Clases de Funciones

hdsuarez — 2022-11-08 00:37:36 UTC

2. FUNCIÓN SOBREYECTIVA. Las funciones 𝑦 = 𝑓(𝑥), donde “Todos los elementos del rango” son al menos imagen de uno o varios elementos del dominio. Lo anterior quiere decir que todos los elementos del rango se relacionan con algún o algunos elementos del dominio.

Clases de Funciones

hdsuarez — 2022-11-08 00:39:04 UTC

3. FUNCIÓN BIYECTIVA. Una función y = f(x) es Biyectiva si, solo si, es inyectiva y sobreyectiva.

Elementos de una Función

hdsuarez — 2022-11-08 00:40:09 UTC

1. DOMINIO. Son los elementos del conjunto de partida; es decir, los elementos de x, que corresponden a la variable independiente. En el ejemplo mencionado anteriormente sobre la utilidad al ver x unidades de artículos, la variable independiente son el número de artículos vendidos.

Elementos de una Función

hdsuarez — 2022-11-08 00:41:00 UTC

2. CODOMINIO O IMAGEN. Son los elementos del conjunto de llegada; es decir, los elementos de y, que corresponden a la variable dependiente. En el ejemplo mencionado anteriormente sobre la utilidad al ver x unidades de artículos, la ganancia G es la variable dependiente y a su vez la imagen de la función. En otras palabras, son los elementos que se ubican en el eje y del plano cartesiano.

Elementos de una Función

hdsuarez — 2022-11-08 00:42:48 UTC

3. RANGO O RECORRIDO. Se considera a la forma en que se relacionan los elementos de x e y. Cada función tiene una regla que relaciona las dos variables. Solo se debe tener presente que a cada elemento de x le corresponde uno de y. Ejemplo: la relación entre las variables X e Y está dada de tal manera que, Y se obtiene elevando al cuadrado la variable X, a partir de la descripción del fenómeno, obtener la tabla de datos, la gráfica y el modelo matemático.9 Solución: la relación mencionada será entonces: 𝒀 = 𝑿 𝟐 , los valores y la gráfica están a continuación:

Tipos de Simetrías

hdsuarez — 2022-11-08 00:49:19 UTC

La simetría es el comportamiento de la curva respecto a los ejes coordenados. Una curva es simétrica respecto al eje y, si la parte derecha es la imagen especular de la parte izquierda, será simétrica respecto a x si la parte superior es la imagen especular de la parte inferior.

Es importante mencionar que en funciones la simetría respecto al eje X no existe, debido a que cualquier curva que sea simétrica respecto al eje X no es considerada como función ya que por un valor del dominio tendrá por lo menos dos imágenes distintas.

Tipos de Simetrías

hdsuarez — 2022-11-08 00:51:18 UTC

La simetría de las funciones está relacionada intrínsecamente con el concepto de función par e impar, veamos en qué consisten dichos principios.

1. FUNCIÓN PAR: Una función f(x) es par si para todo x en su dominio se cumple que: 𝒇(−𝒙) = 𝒇(𝒙) Este tipo de funciones son simétricas respecto al eje Y.

2. FUNCIÓN IMPAR:Una función 𝑓(𝑥) es impar si para todo x en su dominio: 𝒇(−𝒙) = −𝒇(𝒙) . Este tipo de funciones son simétricas respecto al origen de coordenadas. El ejemplo típico son las funciones cúbicas.

ÁLGEBRA DE FUNCIONES

hdsuarez — 2022-11-08 00:54:30 UTC

1. SUMA: La suma de dos o más funciones origina otra función, cuyo dominio serán los elementos comunes a las funciones que participaron en la operación.

Sean las funciones. 𝑓 (𝑥),𝑔 (𝑥), ℎ (𝑥) entonces: 𝑠 (𝑥) = 𝑓 (𝑥) + 𝑔 (𝑥) + ℎ (𝑥) La suma de funciones cumple con las leyes básicas propias de la suma, como la conmutativa, clausurativa, asociativa y otras.

2. RESTA Al igual que en la suma, la resta de dos o más funciones, origina otra función. El dominio de la función resultante son los elementos comunes a las funciones que fueron operadas.

Sean 𝑓 (𝑥) 𝑦 𝑔 (𝑥) dos funciones, luego: 𝑟 (𝑥) = 𝑓 (𝑥) – 𝑔 (𝑥) Es pertinente recordar que la resta no es conmutativa.

ÁLGEBRA DE FUNCIONES

hdsuarez — 2022-11-08 00:56:48 UTC

3. PRODUCTO: Cuando se multiplican dos o más funciones, se produce otra función, la función resultante tiene como dominio los elementos comunes de las funciones multiplicadas.

Sea 𝑓 (𝑥), 𝑔 (𝑥) 𝑦 ℎ (𝑥) funciones, entonces: 𝑝 (𝑥) = 𝑓 (𝑥) ∗ 𝑔 (𝑥) ∗ ℎ (𝑥). El producto de funciones cumple con las leyes básicas propias del producto de números reales.

4. COCIENTE: Dividir funciones es equivalente a dividir polinomios, solo que, para poder realizarla, el denominador debe ser diferente de cero. Sea entonces:

𝒇(𝒙) = 𝒑(𝒙)/𝒒(𝑿) , 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒒(𝒙) ≠ 0
El dominio de 𝑓(𝑥) serán todos los valores de x, excepto aquellos que hagan 𝑞(𝑥) = 0.

ÁLGEBRA DE FUNCIONES

hdsuarez — 2022-11-08 00:59:59 UTC

5. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES: Una de las operaciones más importantes en el álgebra de funciones es la composición. Intuitivamente componer funciones es “Introducir” una función dentro de otra, de tal manera que la función introducida será el dominio de la función anfitriona.

Sea f (x) y g (x) dos funciones, entonces: 𝒇[𝒈(𝒙) ] = (𝒇°𝒈)(𝒙) Se lee f de g, o f compuesta de g 𝒈[𝒇(𝒙) ] = (𝒈°𝒇)(𝒙) Se lee g de f, o g compuesta de f

El dominio de 𝒇 ° 𝒈 es el conjunto de todos los elementos x del dominio de la función g, de tal manera que 𝒈(𝒙) esté en el dominio de f. De la misma forma para 𝒈 ° 𝒇. Se puede graficar la composición de funciones.

Es de aclarar que la función compuesta NO es conmutativa ya que: 𝒇 ° 𝒈 ≠ 𝒈 ° 𝒇

FUNCIÓN LINEAL 01

hdsuarez — 2022-11-08 01:04:21 UTC

Su nombre es dado por la gráfica que la representa, la cual es una línea recta no vertical, además su ecuación es de primer grado.

- Concepto: sea 𝒇(𝒙) = 𝒎𝒙 + 𝒃, donde m y b son reales y 𝒎 ≠ 𝟎. Se define como una función lineal, donde m se conoce como la pendiente y b el punto de intercepto.

1. El dominio de la función lineal son todos los reales al igual que la imagen: 𝑓: 𝑅 → 𝑅
2. La pendiente m se calcula de la siguiente manera, a partir de dos puntos: 𝑃1(𝑥1, 𝑦1) 𝑦 𝑃2(𝑥2, 𝑦2)
3. La pendiente puede ser negativa, positiva o cero: 𝑚 = 𝑦2 − 𝑦1 / 𝑥2 − 𝑥1

FUNCIÓN LINEAL 02

hdsuarez — 2022-11-08 01:07:00 UTC

En la gráfica se observa los tres casos de la función lineal.
- Para 𝒚 = 𝟐 la pendiente m = 0, la recta es horizontal y el intercepto es y = 2.
- Para 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟐, la pendiente m > 0, la recta es creciente y el intercepto es y = 2.
- Para 𝒚 = −𝟐𝒙 − 𝟏 la pendiente m < 0, la recta es decreciente y el intercepto es y = -1.
- Para b=0, la función es simétrica impar.

Recordar: Como se puede inferir, la monotonía de la función lineal está determinada por el valor de la pendiente.

FUNCION LINEAL 03

hdsuarez — 2022-11-08 01:11:23 UTC

RECTAS PARALELAS: Del concepto básico sobre la recta, esta aquel que dice que dos rectas son paralelas cuando tiene el mismo ángulo, o cuando para todo x, la distancia entre ellas siempre es igual.

TEOREMA: Dos rectas no verticales son paralelas si, y solo si, estas tienen la misma pendiente, es decir, 𝑚1 = 𝑚2 para: 𝒇(𝒙)𝟏 = 𝒎𝟏𝒙 + 𝒃𝟏 𝒚 𝒇(𝒙)𝟐 = 𝒎𝟐𝒙 + 𝒃2

FUNCION LINEAL 04

hdsuarez — 2022-11-08 01:16:50 UTC

RECTAS PERPENDICULARES: Cuando dos rectas se cortan en algún punto, estas NO son paralelas, pero si las rectas se cortan de tal manera que el ángulo entre ellas es de 90º, se dice que las rectas son perpendiculares.

TEOREMA: Dos rectas L1 y L2 cuyas pendientes son m1 y m2 respectivamente, son perpendiculares si, y sólo si: 𝒎𝟏. 𝒎𝟐 = −1

FUNCIÓN CUADRÁTICA

hdsuarez — 2022-11-08 01:23:32 UTC

Su nombre es dado por el tipo de polinomio que la describe, un polinomio de segundo grado.

Definición: sea 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄, donde a, b y c son reales y a ≠ 0. Se define como una función cuadrática. El dominio de la función cuadrática son todos los reales al igual que la imagen 𝒇:𝑹 → 𝑹

La gráfica de una función cuadrática es una parábola, que consta de dos ramales que se unen en un punto llamado vértice; además, una recta que pasa por el vértice llamada eje de simetría, el cual divide la curva en dos partes iguales. Para que una parábola corresponda a una función, el eje de simetría debe ser siempre vertical.

FUNCIONES POLINÓMICAS 01

hdsuarez — 2022-11-08 01:38:52 UTC

Las funciones polinómicas son aquellas cuya regla está dada por el polinomio que la define, por lo tanto, el grado de la función será el grado del polinomio.

DEFINICIÓN: Sea 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒏𝒙 𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏𝒙 𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒂𝒙 + 𝒂𝟎, donde 𝑎𝑛, 𝑎𝑛−1 ,… , 𝑎 𝑦 𝑎0 son reales 𝑎𝑛 ≠ 0 𝑦 𝑛 ∈ ℤ +y. Se define como una función polinómica. Para estas funciones el dominio y su imagen están en los reales; es decir: 𝒇:𝑹 → 𝑹

Es importante mencionar que, la función polinómica es la generalización de las funciones algebraicas ya que si n=1, tendremos un polinomio grado uno que es equivalente a una función lineal, y si n=2 el polinomio será el modelo matemático de una función cuadrática. Es importante mencionar cuando n=3, ya que se configura una función más conocida como Función Cúbica.

FUNCIONES POLINÓMICAS 02

hdsuarez — 2022-11-08 01:42:54 UTC

FUNCIÓN CÚBICA: Su nombre es dado por el tipo de polinomio que la describe, un polinomio de tercer grado. Sea 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 𝟑 + 𝒃𝒙 𝟐 + 𝒄𝒙 + 𝒅, donde a, b, c y d son reales y a≠0. Se define como una función cúbica. El dominio y la imagen están en los reales: 𝒇:𝑹 → 𝑹

Cuando b = c = d = 0, se obtiene la función característica 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 𝟑 , . Esta función es impar. Cuando a > 0 la función es creciente y cuando a < 0 la función es decreciente

FUNCIONES RACIONALES

hdsuarez — 2022-11-08 01:46:07 UTC

Los cocientes de los números enteros son llamados números racionales. De manera semejante, los cocientes de funciones polinomiales son llamados funciones racionales.

Sea 𝒇(𝒙) = 𝒑(𝒙) 𝒒(𝒙) , 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒒(𝒙) ≠ 𝟎, se denomina función racional.
El dominio de las funciones racionales son todos los reales excepto aquellos que hagan a 𝒒(𝒙) = 𝟎. Respecto a la imagen, depende del tipo de función, ya que cada una tiene sus particularidades, al igual que la monotonía y simetría. La gráfica de una función racional se puede hacer identifican

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

hdsuarez — 2022-11-08 01:51:45 UTC

Las funciones trigonométricas son relaciones en las cuales a cada ángulo le corresponde un único número real. El dominio de las funciones trigonométricas son todas las medidas de los ángulos agudos, pero según la función definida, el dominio se puede extender a otros ángulos .

Las funciones trigonométricas son conocidas también como funciones circulares ya que pueden demostrarse mediante una circunferencia de radio uno llamada circunferencia unidad.

REFERENCIAS

hdsuarez — 2022-11-08 01:52:36 UTC

https://campusvirtual.uniboyaca.edu.co/pluginfile.php/375818/mod_resource/content/3/Unidad%2004.%20Funciones%20%28Parte%202%29%282%29.pdf

.php/375817/mod_resource/content/2/Unidad%204.%20Funciones%20%28Parte%201%29%282%29%20.pdf