Filho do joalheiro Jacques Argand e de Eve Carnac. De 1791 a 1794 participou da revolução da República de Genebra em diferentes cargos de liderança. Depois mudou-se primeiramente para Sèvres, e mais tarde para Paris.

Argand publicou em 1806 uma interpretação geométrica dos números complexos, o Diagrama de Argand. Esta descrição geométrica dos números complexos também é associada ao nome de Gauss, embora anteriormente a Gauss, Caspar Wessel também tenha descrito o diagrama.

Caspar foi para a escola da catedral em Christiania (agora Oslo ) junto com dois de seus irmãos mais velhos, Johan Herman Wessel e Ole Christopher Wessel. Ele entrou na Universidade de Copenhague na Dinamarca em 1761, já que naquela época não havia universidades na Noruega, e estudou direito.

Em 1762 , seu irmão, Ole Christopher Wessel, foi requisitado como inspetor de um projeto da Real Academia Dinamarquesa de Ciências e Letras (Kongelige Danske Videnskabernes Selskab) para triangular a posição da Dinamarca. Em 1764 Caspar entrou no projeto como ajudante do irmão.

Em 1796, Wessel completou a triangulação da Dinamarca e usou os dados obtidos para produzir o primeiro mapa preciso do país. No mesmo ano, ele escreveu seu primeiro e único artigo matemático expressando a interpretação geométrica de números complexos e o apresentou em uma reunião da Academia Real Dinamarquesa em 10 de março de 1797. Este artigo não foi publicado até 1799.