https://www.youtube.com/watch?v=oSuclnxECWM

Situazione di partenza:

1. Il numero totale di ore lavorative richieste per ogni giorno è 80 ore (somma delle ore lavorate da infermieri e OSS). 

2. Il budget giornaliero disponibile per pagare gli stipendi è 720 euro, sapendo che: 

   - Gli infermieri guadagnano 12 euro/ora. 

   - Gli OSS guadagnano 8 euro/ora. 

L’obiettivo è calcolare quante ore devono lavorare gli infermieri e gli OSS per soddisfare entrambe le condizioni. 

La situazione può essere rappresentata con un sistema lineare.

1. Formulazione del sistema lineare 

   Gli studenti devono tradurre il problema in un sistema di equazioni.

Se indichiamo con:

   - x : ore lavorate dagli infermieri

   - y : ore lavorate dagli OSS

   il sistema diventa:

   x+y = 80 condizione sul totale ore

   12x + 8y = 720 condizione sul budget giornaliero

Soluzione grafica con Geogebra

https://www.geogebra.org/calculator/zywubxtf

X=20

y=60

La soluzione è: gli infermieri lavorano 20 ore e gli OSS lavorano 60 ore. 

1. Da x + y = 80 ricavano y = 80 - x . 

2. Sostituiscono y = 80 - x nella seconda equazione:

   12x + 8(80 - x) = 720.

 Risolvendo: 

12x + 640 - 8x = 720

4x = 80

x = 20.

Poi sostituiscono x = 20 nella prima equazione: 

 20 + y = 80

y = 60.

Situazione di partenza

Due pazienti diabetici stanno monitorando i livelli di glicemia dopo un pasto per valutare la risposta ai farmaci. La glicemia è misurata ogni ora per 6 ore, e l'andamento è rappresentato graficamente con due rette, una per ciascun paziente. 

- Per il paziente A, il farmaco stabilizza la glicemia più rapidamente. 

- Per il paziente B, la glicemia diminuisce più lentamente. 

I dati raccolti sono descritti con due equazioni lineari: 

1. Paziente A: y = -3x + 150  

2. Paziente B: y = -2x + 140  

dove

x è il tempo (in ore)

y è la glicemia (in mg/dL). 

Gli studenti devono analizzare il tasso di variazione della glicemia (pendenza) e determinare il momento in cui i livelli di glicemia dei due pazienti coincidono (punto di intersezione delle rette). 

1. Formulazione del sistema lineare e rappresentazione delle rette

   Gli studenti devono tradurre il problema in un sistema di equazioni.

Se indichiamo con:

   - x : tempo ( in ore)

   - y : glicemia (in mg/dL)

Ogni retta rappresenta l'andamento della glicemia di un paziente e il sistema diventa:

•  y = -3x + 150  Paziente A

•  y = -2x + 140  Paziente B

Soluzione grafica con Geogebra

https://www.geogebra.org/calculator/zywubxtf

X=10

y=120

La soluzione è: a 10 ore dalla somministrazione del farmaco, i livelli di glicemia dei due pazienti coincidono a 120 mg/dL. 

1. Paziente A: y = -3x + 150 

2. Paziente B: y = -2x + 140  

• Le pendenze -3 e -2 rappresentano la velocità con cui la glicemia diminuisce nel tempo. 

• Le intercette 150 e 140 indica il livello iniziale di glicemia al tempo x = 0. 

• Intersezione: A 10 ore dalla somministrazione del farmaco, i livelli di glicemia dei due pazienti coincidono a 120 mg/dL. 

• Il farmaco del paziente A agisce più rapidamente, ma entrambi i pazienti raggiungono un livello simile dopo 10 ore. 

Situazione di partenza

1. Gruppo A: pazienti sedentari. 

2. Gruppo B: pazienti che praticano attività fisica regolare. 

Le relazioni tra l'età dei pazienti x e la frequenza cardiaca a riposo y vengono rappresentate graficamente: 

• Per il gruppo A, la relazione è descritta dalla retta: 

  y = -0.5x + 90

  
  

• Per il gruppo B, la relazione è descritta dalla retta: 

  y = 2x + 40

Gli studenti analizzano la condizione di perpendicolarità e il punto di intersezione fra le 2 rette.

- Gli studenti calcolano le pendenze delle due rette:

  - Per il gruppo A la pendenza è m_1 = -0.5 . 

  - Per il gruppo B la pendenza è m_2 = 2 . 

- Gli studenti verificano la condizione di perpendicolarità:

  m_1 m_2 = (-0.5) * 2 = -1

  Questo conferma che le due rette sono perpendicolari, indicando una relazione inversa tra i due gruppi. 

2. Rappresentazione grafica 

- Gli studenti tracciano le due rette in un piano cartesiano: 

• Asse x: età dei pazienti (in anni). 

• Asse y: frequenza cardiaca a riposo (in battiti al minuto). 

Il punto di intersezione è (20, 80) . 

Soluzione con Geogebra

https://www.geogebra.org/calculator/zywubxtf

Gli studenti possono analizzare altre varianti del problema: 

- Cosa succede se il budget diminuisce? 

Se il budget giornaliero diminuisce (680 euro) a parità di ore il punto di intersezione sarà (10,70) ovvero gli infermieri lavorano 10 ore e gli OSS 70 ore ( gli OSS hanno paga oraria inferiore)

Gli studenti possono analizzare altre varianti del problema: 

- Cosa accade se il numero totale di ore richieste cambia? 

Se le ore richieste diminuiscono a 65, allora la soluzione sarà:

gli infermieri lavorano 50 ore e gli OSS 15 ore (con un budget di 720 euro giornaliero).

Gli studenti possono analizzare altre varianti del problema: 

- Cosa succede se il budget aumenta? 

Se il budget giornaliero aumenta (780 euro) a parità di ore il punto di intersezione sarà (35,45) ovvero gli infermieri lavorano 35 ore e gli OSS 45 ore ( sempre gli OSS lavorano un numero di ore maggiori).

Gli studenti possono analizzare altre varianti del problema: 

- Qual è la soluzione ottimale se il costo orario cambia? 

Nell'ipotesi in cui il costo orario diminuisce e precisamente :

Infermieri 11euro/ora

OSS 7 euro/ora

Il punto di intersezione sarebbe (40,40) ovvero lavorerebbero un numero uguale di ore.

• La distribuzione delle ore soddisfa sia il fabbisogno lavorativo sia il limite di budget. 

• Gli infermieri, essendo più qualificati e costosi, coprono meno ore rispetto agli OSS, che completano la maggior parte del turno.

1. Da

y = -3x + 150 

y = -2x + 140 

2.Uguagliando le equazioni: 

-3x + 150 = -2x + 140

3.Risolvendo:

-3x + 2x = 140 - 150

ovvero: x = 10

4.Sostituendo x = 10 in una delle equazioni: 

 y = -3(10) + 150 = 120. 

Il punto di intersezione è (10, 120) . 

Calcolo del punto di intersezione 

Gli studenti determinano il punto di intersezione risolvendo il sistema lineare: 

y = -0.5x + 90

y = 2x + 40

Uguagliando le due equazioni: 

-0.5x + 90 = 2x + 40

Risolvendo: 

-0.5x - 2x = 40 - 90

ovvero x = 20

Sostituendo x = 20 in una delle equazioni: 

y = 2(20) + 40 = 80

• A 20 anni, entrambi i gruppi presentano una frequenza cardiaca a riposo di 80 battiti al minuto. 

• Questo rappresenta un'età in cui l’effetto dell’attività fisica regolare inizia a distinguersi in modo significativo, con il gruppo B che mantiene una frequenza cardiaca più bassa rispetto al gruppo A in età avanzata.