Questa scoperta viene raccontata da Giamblico di Calcide con un aneddoto. Pitagora udì un giorno un fabbro che batteva martelli di pesi diversi sull’incudine. Notò che a seconda del peso variava la frequenza del suono, producendo tintinnii più o meno piacevoli. Indagando sul perché, Pitagora si rese conto che martelli i cui pesi stavano in precisi rapporti producevano suoni consonanti (piacevoli).

In laboratorio Pitagora tese delle corde elastiche (nervi di bue) tramite pesi differenti. Qui scoprì che vi era una consonanza tra coppie di suoni, quando le tensioni stavano fra loro in un rapporto di 4:1 o di 9:4. Una corda tesa da un peso quadruplo emette quindi una nota di frequenza doppia. Il nostro cervello percepisce le due frequenze “uguali”, ma una più acuta rispetto all’altra. 

Che ogni accordo musicale si configuri come un rapporto numerico, quindi, è una consapevolezza che viene da lontano. Lo studio e la composizione musicale non possono prescindere dalla matematica: frequenze e tempi sono descritti dal linguaggio matematico e alla base della struttura di un qualunque brano musicale si ritrovano inevitabilmente calcoli matematici. 

Attraverso il linguaggio della geometria, è possibile descrivere e apprezzare le cosiddette simmetrie musicali:

· Una traslazione sull’asse verticale, cambia le note del tema dato e quindi la tonalità.

· Invertendo il segno alla variabile dipendente o a quella indipendente, si esegue una riflessione.

· E infine, uno stiramento, è una variazione di unità di misura sull’asse orizzontale e verticale.

É infatti possibile rappresentare una qualunque linea melodica nello spazio, ponendo ad esempio sull’asse delle ordinate i valori relativi alle altezze sonore, e su quello delle ascisse la dimensione invece temporale. In tal modo una semplice funzione y = f(x) potrebbe indicare una linea melodica ascendente.

Per rendersene conto, può essere sufficiente prendere in considerazione la struttura delle Variazioni Goldberg, composizione strutturata in 32 parti secondo un principio formale rigoroso e una concezione architettonica molto complessa. In tale raccolta le variazioni sono disposte a gruppi da tre e l’ultima di ciascun gruppo è un canone, costruito su intervalli via via ascendenti (dall’unisono alla nona).

Connotazioni di carattere fortemente pitagorico all’interno di queste composizioni sono:

1.     Principio dell’enigma: nel quale i canoni si presentano come enigmi da risolvere. 

2.     Principio dello specchio: in cui il carattere speculare dei canoni per moto contrario, potrebbe rispecchiare l’idea pitagorica del rapporto fra l’archetipo e la sua immagine. Il principio dello specchio ritorna anche nella notazione musicale greca (alfabetica), la cui invenzione viene attribuita allo stesso Pitagora. In realtà, in tutta la storia delle religioni, si è sempre data importanza allo specchio: nel mondo antico era familiare l’idea che la creazione visibile fosse uno specchio di Dio.

3.     Principio della monade: nella quale i canoni sono composizioni complesse la cui struttura è essenzialmente derivata da un unico tema generatore di tutte le altre parti. L’idea che tutte le cose abbiano radice nell’uno, nell’unità, è un’idea pitagorica. 

Dagli anni ottanta ha preferito prendere le distanze dal termine ampliando al massimo le possibilità espressive offerte dalla tonalità, e accogliendo sempre più suggestioni dalle culture musicali extraeuropee, interesse del resto già manifestato all'inizio della carriera collaborando con il musicista e compositore indiano Ravi Shankar.

Tra le sue opere compaiono numerosi componimenti musicali di vario tipo, con una certa predilezione per le forme sceniche (teatro, danza, performance) e le colonne sonore di diversi film e documentari.

Intervista a Philip Glass:

 per volere di suo padre, ingegnere, il quale desiderava che il figlio seguisse le sue orme. Tuttavia per lui non fu un peso intraprende questo percorso, in quanto aveva interesse e talento per la matematica e poiché gli era sempre piaciuto studiarla, a patto che non diventasse un obbligo che lo distogliesse dalla musica. 

 

Questi studi in seguito gli furono utili in ambito musicale. Usò infatti le proprietà delle permutazioni nella composizione, cercando di andare oltre quello che si faceva allora in dodecafonia. Si cimentò negli aspetti geometrici della stessa corrente; come riflessioni, inversioni, ribaltamenti. Tuttavia li riteneva più semplici di quelli aritmetici e quindi meno interessanti. Mentre preferiva sperimentare con le leggi di riscrittura. Come nelle grammatiche generative, si decide che un certo elemento sarà riscritto in un certo modo, in modo da trasformarlo e moltiplicarlo. O da diminuirlo sempre più, come nei frattali. Ma sono tutte analogie, che non vanno prese letteralmente, anche se possono forzare a pensare in maniera differente. 

 

Riguardo la dodecafonia, i Cinque pezzi di Anton Webern sono sempre sembrati a Boulez come l'esemplificazione di una intuizione matematica: il fatto, cioè, che alla casualità si può arrivare non soltanto tirando dadi, ma anche attraverso una pianificazione esasperata; aleatorietà non pura, ma orientata.

 

Altri compositori hanno usato tecniche simili, benché in maniera differente. Ad esempio, John Cage stava dalla parte opposta di Webern, che usava il caso e i dadi, cosa che invece Boulez considerava una perdita di tempo.

Estremi analoghi a quelli di Cage e Webern si trovano oggi nel minimalismo di Glass e nella musica formalizzata di Xenakis: entrambi di formazione matematica. Questa corrente, secondo il compositore, riduce la musica a una sola dimensione, aspetto molto primitivo, secondo la sua opinione, “l'unidimensionalità annichila tutto”.