Peso de la primera piedra: 2a 
Peso de la segunda piedra: 3a

Ambos monomios, 2a y 3a, tiene la misma parte literal, la letra “a” (que representa el peso del ladrillo), luego ambos monomios son semejantes.

SUMA Y RESTA DE MONOMIOS:
3a + 4a = 7a
8a - 5a = 3a

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE MONOMIOS:
4a x 2 = 8a
6a : 3 = 2a

Una misma letra puede representar distintos valores diferenciandolos por medio de comillas; por ejemplo: a', a'', a''', que se leen a prima, a segunda, a tercera, o también por medio de subindices; por ejemplo: a_1, a_2, a₃, que se leen a subuno, a subdos, a subtres.

Ejemplos
a             puede tomar cualquier valor numérico.

3a           es el triple de la cantidad a o a multiplicado por 3 como quiera verse.

7b^{2}   representa a 7 veces la cantidad b elevada al cuadrado.

El lenguaje algebraico consta principalmente de las letras de alfabeto y algunos vocablos griegos. La principal función de lenguaje algebraico es estructurar un idioma que ayude a generalizar las diferentes operaciones que se desarrollan dentro de la aritmética, por ejemplo: si queremos sumar dos números cualesquiera basta con decir a + b; donde la letra a indique que es un número cualquiera de la numeración que conocemos, b de la misma manera que a significa un número cualquiera de la numeración.

Términos para identificar las operaciones
Suma o adición
Resta o diferencia
Multiplicación o producto
División o Cociente, entre, dividido por, razón de, fracción, porción, parte, reparto, mitad, tercio, cuarto.

EJEMPLOS
a |  Un número cualquiera
b |  Un número cualquiera
a+b |  La suma de dos números o la adición de dos números
a-b+c |  La suma de dos números cualesquiera menos otro número cualquiera
a-b |  La resta de dos números o la diferencia de dos números
a.b |  El producto de dos números
ab |  El producto de dos números
a/b |  El cociente de dos números
2a |  El doble de un número
3(a+b) |  El triple de la adición de dos números
 |  La mitad de un número
 |  La tercera parte de la diferencia de dos números
 |  La tercera parte de la suma de dos números
a² |  El cuadrado de un número
a³ |  El cubo de un número
|  Raíz cuadrada de un número
2b+5d |  El duplo de b mas el quintuplo de d.
|  El triple de m menos la tercera parte de m.
20+2a |  20 aumentado en el doble de a.
|  El quintuplo de la suma de e más f dividido entre 10.
|  El reciproco de un número.
|  El reciproco de la suma de dos números.

 Ejemplos de lenguaje común a lenguaje algebraico

a+b: la suma de dos números o la adición de dos números
a-b: la resta de dos números o la diferencia de dos números
a*b: el producto de dos números
a/b: el cociente de dos números
2a: el doble de un numero
3(a+b): el triple de la adición de dos números
x/2: la mitad de un numero
(a-b) / 3: la tercera parte de la diferencia de dos números
a^2: el cuadrado de un numero
b^3: el cubo de un numero

La multiplicación es la operación que consiste en sumar una cantidad tantas veces como lo indica la segunda cantidad. Para realizar la multiplicación de polinomios es necesario conocer sus propiedades.
Ley de signosa)      Signos iguales dan positivo

(+)(+)= +

(-)(-)= +

b)      Signos diferentes dan negativo.

(+)(-)= -

(-)(+)= +

Los exponentes con las mismas literales se suman. Enla multiplicación de expresiones algebraicas se destacan tres casos deferentes  de multiplicación de polinomios

§  1er caso: Monomios por Monomios.

§  2do caso: Monomio por polinomio.

§  3er caso: Polinomio por polinomio.

xª * xⁿ = xª⁺ⁿ

xª
 --- = xª ⁻ⁿ
 xⁿ 

(xª)ⁿ = xª*ⁿ 

x⁰ = 1

 ………1
 x⁻ⁿ = -----
 ………xⁿ

ⁿ√(xª) = xª/ⁿ

Leyes de los radicales

ⁿ√ab = ⁿ√a ⁿ√b

…………ⁿ√a
 ⁿ√a/b = -------
 …………ⁿ√b

ⁿ√aⁿ=a

ª√ⁿ√b = ªⁿ√b

Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo.

(a + b)² = a² + 2 · a · b + b²


Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo.

Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del segundo, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por el tercero.

(x + 2) (x + 3) =

= x² + (2 + 3)x + 2 · 3 =

= x² + 5x + 6

En este método se identifican aquellos factores que son comunes; es decir, aquellos que están repetidos en los términos de la expresión. Luego se aplica la propiedad distributiva, se saca el máximo común divisor y se completa la factorización.

En otras palabras, se identifica el factor común de la expresión y se divide cada término entre este; los términos resultantes serán multiplicados por el máximo común divisor para expresar la factorización.

Ejemplo: (b²x) + (b²y)

Solución

Primero se encuentra el factor común de cada término, que en este caso es b², y luego se dividen los términos entre el factor común de la siguiente manera:

(b²x) / b² = x

(b²y) / b² = y.

Se expresa la factorización, multiplicando el factor común por los términos resultantes:

(b²x) + (b²y) = b² (x + y).


Factorización por agrupamiento

Como no en todos los casos el máximo común divisor de un polinomio se encuentra claramente expresado, es necesario hacer otros pasos para poder reescribir el polinomio y así factorizar.

Uno de esos pasos consiste en agrupar los términos del polinomio en varios grupos, para luego usar el método del factor común.


Ejemplo 

Factorizar ac + bc + ad + bd.

Se tienen 4 factores donde dos son comunes: en el primer término es “c” y en el segundo es “d”. De esa manera se agrupan y separan los dos términos:

(ac + bc) + (ad + bd).

Ahora es posible aplicar el método del factor común, dividiendo cada término por su factor común y luego multiplicando ese factor común por los términos resultantes, así:

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c(a + b) + d(a + b).

Ahora se obtiene un binomio que es común para ambos términos. Para factorizarlo se multiplica por los factores restantes; de esa manera se tiene que:
ac + bc + ad + bd =  (c + d) _* (a + b).


Factorización con productos notables

Existen casos en los que, para factorizar completamente los polinomios con los métodos anteriores, se convierte en un proceso muy largo.

– Diferencia de dos cuadrados: (a² – b²) = (a – b) _* (a + b)

– Cuadrado perfecto de una suma: a² + 2ab +b² = (a + b)²

– Cuadrado perfecto de una diferencia: a² – 2ab + b² = (a – b)²

– Diferencia de dos cubos: a³ – b³ = (a-b)_*(a² + ab + b²)

– Suma de dos cubos: a³ – b³ = (a + b) _* (a² – ab + b²)

EJEMPLO
(5² – x²)


Solución

En este caso se tiene una diferencia de dos cuadrados; por lo tanto, se aplica la fórmula del producto notable:

(a² – b²) = (a – b) _* (a + b)

(5² – x²) = (5 – x) _* (5 + x)

En geometria analitica y álgebra elemental,  una función lineal es una funcióm polinomica de primer grado, es decir, una función cuya representación en el plano cartesismo es una línea recta . Esta función se puede escribir como:

  son constante

es una variable real. La constante 

determina la

Pendiente oinclinación de la recta, y la constante 

determina el punto de corte de la recta con el eje vertical 

.

En el contexto del análisis matemático, las funciones lineales son aquellas que pasan por el origen de coordenadas, donde {\displaystyle b=0}

, de la forma:

{\displaystyle f(x)=mx}

mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:

{\displaystyle f(x)=mx+b}

Las incógnitas se suelen representar utilizando las últimas letras del alfabeto latino, o si son demasiadas, con subínimos.

A estas ecuaciones, con solo una incognita, se llega a traves de una serie de pasos en los que las ecuaciones intermedias que se van obteniendo tienen menos incognitas que las ecuaciones previas.

Así, es posible que en uno de estos pasos de eliminación de incognitas se utilize un método ( el de reducción, por ejemplo ) y que, en el siguiente paso, se utilize otro método ( el de igualación, por ejemplo ).

Cada vez que se encuentra la solución para una incognita, se sustituye esta incognita por su solución para obtener asi ecuaciones con menos incognitas.

 

Las gráficas de las funciones cuadráticas tienen características que están estrechamente relacionadas con su forma simbólica. A medida que exploremos estas gráficas, aprenderemos a identificar estas características, y veremos algunas de las maneras de estructurar las ecuaciones cuadráticas.