Vektorgeometrie Kursstufe by https://padlet.com/eb_pg/gxa2jzjl6tui8i49 Themenübersicht im Basisfach en-us 2021-06-02 07:21:58 UTC 2023-06-14 15:03:06 UTC hello@padlet.com https://padlet.net/icons/png/1f4d0.png Thema Geraden und Ebenen eb_pg https://padlet.com/eb_pg/gxa2jzjl6tui8i49/wish/1578825459 Anmerkung: 
Padlet lässt keine Vektorpfeile über den Buchstabe zu. Bitte "dazudenken" :)]]> 2021-06-02 07:25:38 UTC https://padlet.com/eb_pg/gxa2jzjl6tui8i49/wish/1578825459 Grundlagen eb_pg https://padlet.com/eb_pg/gxa2jzjl6tui8i49/wish/1578827346 - LGS mithilfe des Gauß-Verfahrens (auch in Matrixschreibweise) lösen
- räumliche Vorstellung: Wir befinden uns in einem 3D-Koordinatensystem (z.B. mit Ursprung in der Zimmerecke)]]> 2021-06-02 07:26:34 UTC https://padlet.com/eb_pg/gxa2jzjl6tui8i49/wish/1578827346 Vektoren eb_pg https://padlet.com/eb_pg/gxa2jzjl6tui8i49/wish/1578849846 - Ein Vektor ist ein Zahlentripel, das eine Verschiebung im Raum beschreibt. Vektoren können mithilfe von Pfeilen dargestellt werden. Ein Vektor beschreibt unendlich viele (parallele und gleich lange) Pfeile.
- Der Betrag eines Vektors beschreibt die Länge eines zugehörigen Pfeils.

Rechnen mit Vektoren
- Addition/Subtraktion koordinatenweise (bildlich: Aneinandersetzen der Pfeile)
- Skalarmultiplikation: Zahl wird mit jedem Eintrag des Vektors multipliziert.
- Beim Multiplizieren zweier Vektoren erhält man eine Zahl. Berechnung: a1b1 + a2b2 + a3b3]]> 2021-06-02 07:37:09 UTC https://padlet.com/eb_pg/gxa2jzjl6tui8i49/wish/1578849846 Geraden im Raum eb_pg https://padlet.com/eb_pg/gxa2jzjl6tui8i49/wish/1578874681 - Parameterdarstellung besteht aus Stützvektor p und Parameter t mal Richtungsvektor v

Lage zweier Geraden
- (echt) parallel: Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander und ein Punkt (z.B. der Aufpunkt) von g1 liegt nicht auf g2
- (parallel) identisch:  Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander und ein Punkt (z.B. der Aufpunkt) von g1 liegt auf g2
- Schnittpunkt: Richtungsvektoren sind keine Vielfachen und Gleichsetzen bringt eine Lösung
- windschief:  Richtungsvektoren sind keine Vielfachen und Gleichsetzen bringt keine Lösung ]]> 2021-06-02 07:50:10 UTC https://padlet.com/eb_pg/gxa2jzjl6tui8i49/wish/1578874681 Ebenen im Raum eb_pg https://padlet.com/eb_pg/gxa2jzjl6tui8i49/wish/1578886507 - Erweiterung der Parametergleichung einer Geraden um einen weiteren Vektor, sodass eine Ebene aufgespannt wird (deshalb hier: Spannvektoren).

Darstellungsformen von Ebenen:
- Parametergleichung: Stützvektor p + zwei Parameter s, t und zwei Spannvektoren u, v
- Koordinatengleichung: Ein zur Ebene senkrechter Vektor (Normalenvektor) steht vor den "x"-en:
E: n1x1 + n2x2 + n3x3 = d
d findet man durch Punktprobe mit einem bel. Punkt in der Ebene

Umformen von Parameter- in Koordinatenform:
- Vektorprodukt aus den beiden Spannvektoren = Normalenvektor
- Punktprobe mit dem Aufpunkt (Punkt, zu dem der Pfeil des Stützvektors zeigt) = d

]]> 2021-06-02 07:57:06 UTC https://padlet.com/eb_pg/gxa2jzjl6tui8i49/wish/1578886507 Orthogonalität & Vektorprodukt eb_pg https://padlet.com/eb_pg/gxa2jzjl6tui8i49/wish/1578913297 Zwei Vektoren sind genau dann orthogonal zueinander, wenn das Skalarprodukt = 0 ergibt.

Durch das Vektorprodukt zweier Vektoren a und b erhält man einen zu beiden Vektoren orthogonalen Vektor.
Berechnung:
a2b3 - a3b2
a3b1 - a1b3
a1b2 - a2b1

bzw. mithilfe dieses Schemas (mit Bleistift).]]> 2021-06-02 08:12:50 UTC https://padlet.com/eb_pg/gxa2jzjl6tui8i49/wish/1578913297 Spurpunkte & Spurgeraden eb_pg https://padlet.com/eb_pg/gxa2jzjl6tui8i49/wish/1578936634 Die Spurpunkte einer Ebene sind die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen.
Sie werden berechnet, indem man für die jeweils anderen beiden Koordinaten in der Koordinatengleichung 0 einsetzt. Z.B.:
E: x1 + 2x2 - 3x3 = 9
S12 (Schnittpunkt mit x3-Achse):
0 + 2 · 0 - 3x3 = 9
--> S12 (0|0|-3)

Die Spurgeraden einer Ebene sind die Schnittgeraden mit den Koordinatenebenen. Sie werden bestimmt, indem man eine Gerade durch zwei Spurpunkte aufstellt.
Geht das nicht (z.B. weil die Ebene weniger als 3 Spurpunkte besitzt), verwendet man als Richtungsvektor einen zur jeweiligen x-Achse parallelen Vektor.

Modell zur Vorstellung

Anmerkung: Auch Geraden können Spurpunkte besitzen.]]> 2021-06-02 08:26:58 UTC https://padlet.com/eb_pg/gxa2jzjl6tui8i49/wish/1578936634 Lage: Gerade - Ebene eb_pg https://padlet.com/eb_pg/gxa2jzjl6tui8i49/wish/1579000292 Vergleich: Richtungsvektor von g mit Normalenvektor von E
- Skalarprodukt = 0 --> E || g (entweder echt parallel oder (parallel) identisch)
- Skalarprodukt ≠ 0 --> Schnittpunkt

Falls ein Schnittpunkt vorhanden ist: g in E einsetzen und nach dem Parameter auflösen.
Anschließend Parameter in g einsetzen und Schnittpunkt berechnen.

Falls kein Schnittpunkt vorhanden ist: Punktprobe mit dem Aufpunkt von g in E.]]> 2021-06-02 09:06:07 UTC https://padlet.com/eb_pg/gxa2jzjl6tui8i49/wish/1579000292 Lage: Ebene - Ebene eb_pg https://padlet.com/eb_pg/gxa2jzjl6tui8i49/wish/1579011658 Vergleich: Sind die Normalenvektoren von E1 und E2 Vielfache voneinander?
- Ja: E1 und E2 sind echt parallel oder (parallel) identisch
--> Punktprobe zur Überprüfung
- Nein: Die Ebenen schneiden sich, d.h. es gibt eine Schnittgerade (Berechnung nur für den Leistungskurs relevant)]]> 2021-06-02 09:12:42 UTC https://padlet.com/eb_pg/gxa2jzjl6tui8i49/wish/1579011658 Thema Abstände und Winkel eb_pg https://padlet.com/eb_pg/gxa2jzjl6tui8i49/wish/1579020976 2021-06-02 09:19:03 UTC https://padlet.com/eb_pg/gxa2jzjl6tui8i49/wish/1579020976 Abstand Punkt - Ebene eb_pg https://padlet.com/eb_pg/gxa2jzjl6tui8i49/wish/1579031568 Lotfußpunktverfahren:
1. Normalenvektor der Ebene E bestimmen und mit dem gegebenen Punkt P eine Gerade g aufstellen
2. Schnittpunkt F von g und E bestimmen (g in E einsetzen)
3. Abstand Punkt-Ebene entspricht dem Betrag des Vektors PF

Alternative (nicht abiturrelevant):
Hesse'sche Normalenform (HNF)]]> 2021-06-02 09:26:55 UTC https://padlet.com/eb_pg/gxa2jzjl6tui8i49/wish/1579031568 Spiegelung eb_pg https://padlet.com/eb_pg/gxa2jzjl6tui8i49/wish/1579032104 Spiegelung Punkt an Ebene:
Erweiterung des Lotfußpunktverfahrens (siehe "Abstand Punkt - Ebene"):
1. Lotfußpunkt bestimmen
2. "Laufweg": OP' = OF + PF]]> 2021-06-02 09:27:23 UTC https://padlet.com/eb_pg/gxa2jzjl6tui8i49/wish/1579032104 Winkel zwischen Vektoren eb_pg https://padlet.com/eb_pg/gxa2jzjl6tui8i49/wish/1579032302 Übersicht und Beispiele

Winkel Vektor - Vektor:
Formel (siehe oben) ohne Betrag im Nenner (da >90° möglich)

Winkel Gerade - Gerade:
Gleiche Formel mit Betrag (a und b sind Richtungsvektoren von g und h)

Winkel Ebene - Ebene: 
Gleiche Formel mit Betrag (a und b sind Normalenvektoren von E1 und E2)

Winkel Gerade - Ebene:
Formel mit Sinus (da sonst der Winkel zwischen Normalenvektor und Gerade anstatt des Winkels zwischen Ebene und Gerade berechnet wird) und Betrag. a und b sind Normalenvektor von E1 bzw. Richtungsvektor von g.]]> 2021-06-02 09:27:34 UTC https://padlet.com/eb_pg/gxa2jzjl6tui8i49/wish/1579032302 Flächeninhalt und Volumen eb_pg https://padlet.com/eb_pg/gxa2jzjl6tui8i49/wish/1579043939 Formel für den Flächeninhalt des Parallelogramms, das von zwei Vektoren a und b aufgespannt wird.
A = | a  ×  b |

Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks, das von zwei Vektoren a und b aufgespannt wird.
 A = 1/2 · | a  ×  b |

Formel für Volumen des Spats, der von drei Vektoren a, b und c aufgespannt wird.
V = | c  · ( a  ×  b ) |
(genannt: Spatprodukt)

Formel für Volumen einer dreiseitigen Pyramide, die von drei Vektoren a, b und c aufgespannt wird.
V = 1/6  ·  | c  · ( a  ×  b ) |


Formel für Volumen einer vierseitigen Pyramide, die von drei Vektoren a, b und c aufgespannt wird.
V = 1/3  ·  | c  · ( a  ×  b ) |
]]> 2021-06-02 09:36:16 UTC https://padlet.com/eb_pg/gxa2jzjl6tui8i49/wish/1579043939 https://padlet.com/eb_pg/gxa2jzjl6tui8i49/wish/1643220450 2021-07-09 10:44:52 UTC https://padlet.com/eb_pg/gxa2jzjl6tui8i49/wish/1643220450