Podemos fazer o cálculo dessa medida usando a Geometria Analítica.

No plano, um ponto fica totalmente determinado conhecendo um par ordenado (x, y) associado a ele.

Para conhecer a distância entre dois pontos, iremos inicialmente representá-los no plano cartesiano, para então calcular essa distância.

1) Qual a distância entre o ponto A (1,1) e o ponto B (3,1)?

d(A,B) = 3 - 1 = 2

2) Qual a distância entre o ponto A (4,1) e o ponto B (1,3)?

Note que a distância entre o ponto A e o ponto B é igual a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos 2 e 3.

Assim, usaremos o teorema de Pitágoras para calcular a distância entre os pontos dados.

[d(A,B)]² = 3² + 2² = √13

Para encontra a fórmula da distância, podemos generalizar o cálculo feito no exemplo 2.

Para dois pontos quaisquer, tais como A (x₁,y₁) e B (x₂, y₂), temos:

O segmento de reta possui inúmeros pontos alinhados, mas somente um deles divide o segmento em duas partes iguais. A identificação e a determinação do ponto médio de um segmento de reta serão demonstrados com base na ilustração a seguir:

O segmento de reta AB possui um ponto médio (M) com as seguintes coordenadas (x_M, y_M). Observe que os triângulos AMN e ABP são semelhantes e possuem três ângulos iguais. Dessa forma, podemos aplicar a seguinte relação entre os segmentos que formam os triângulos. Veja:

AM = AN
AB    AP

Podemos concluir que AB = 2 * (AM), considerando que M é o ponto médio do segmento AB.

 AM = AN
2AM   AP

AN = 1
AP    2

AP = 2AN

x_P – x_A = 2*(x_M – x_A)
x_B – x_A = 2*(x_M – x_A)
x_B – x_A = 2x_M – 2x_A
2x_M = x_B – x_A + 2x_A
2x_M = x_A + x_B
x_M = (x_A + x_B)/2

Por meio de um método análogo, conseguimos demonstrar que y_M = (y_A + y_B )/2.

Portanto, considerando M o ponto médio do segmento AB, temos a seguinte expressão matemática para determinar as coordenadas do ponto médio de qualquer segmento no plano cartesiano:

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Percebemos que o cálculo da abscissa x_M é a média aritmética entre as abscissas dos pontos A e B. Assim, o cálculo da ordenada y_M é a média aritmética entre as ordenadas dos pontos A e B.

→ Dadas as coordenadas dos pontos A(4,6) e B(8,10) pertencentes ao segmento AB, determine as coordenadas do ponto médio desse segmento.

X_A = 4
y_A = 6
x_B = 8
y_B = 10

x_M = (x_A + x_B) / 2
x_M = (4 + 8) / 2
x_M = 12/2
x_M = 6

y_M = (y_A + y_B) / 2
y_M = (6 + 10) / 2
y_M = 16 / 2
y_M = 8

As coordenadas do ponto médio do segmento AB são x_M (6, 8).

→ Dados os pontos P(5,1) e Q(–2,–9), determine as coordenadas do ponto médio do segmento PQ.

X_M = [5 + (–2)] / 2
x_M = (5 – 2) / 2
x_M = 3/2

y_M = [1 + (–9)] / 2
y_M = (1 – 9) / 2
y_M = –8/2
y_M = –4

Portanto, M(3/2, –4) é o ponto médio do segmento PQ.

As coordenadas dos pontos A, B e C são:

Ponto A (x1,y1)
Ponto B (x2,y2)
Ponto C (x3,y3)

Através dessas coordenadas iremos montar a matriz 3x3, as abscissas dos pontos constituirão a 1ª coluna; as ordenadas, a 2ª coluna e a terceira coluna será complementada com o número um.

Aplicando Sarrus temos:

x1*y2*1 + y1*1*x3 + 1*x2*x3 – (y1*x2*1 + x1*1*y3 + 1*y2*x3) = 0
x1y2 + y1x3 + x2*x3 – y1x2 – x1y3 – y2x3 = 0


Exemplo 1

Vamos verificar se os pontos P(2,1), Q(0,-3) e R(-2,-7) estão alinhados.
Resolução:
Vamos construir a matriz através das coordenadas dos pontos P, Q e R e aplicar Sarrus.

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2*(–3)*1 + 1*1*(–2) + 1*(–7)*0 – [1*(–3)*( –2) + 1*0*1 + 2*(–7)*1] = 0
– 6 – 2 – 0 – [6 + 0 – 14] = 0
– 8 – 6 +14 = 0
–14 + 14 = 0
0 = 0

Podemos verificar que os pontos estão alinhados, pois o determinante da matriz das coordenadas dos pontos é nulo.

Para compreender melhor como obtemos essa fórmula, observe o gráfico a seguir:

Veja que a distância no eixo vertical (ordenada) é representada por:

Dy=y−y0

Já a distancia no eixo horizontal (abscissa) é dado por:

Dx=x−x0

Para calcularmos o coeficiente angular (m), utilizamos a seguinte fórmula:

m=y−y0x−x0

Exemplo 1: Obtenha a equação da reta r que passa pelo ponto P(x₀, y₀) = P(- 3, 1) e possui coeficiente angular m = 2.

Dados da questão:

Substitua os valores x₀, y₀, m; na equação fundamental da reta.

y – y₀ = m . (x – x₀)

y – 1 = 2 . [x – (- 3)]

y – 1 = 2 . [x + 3]

y – 1 = 2x + 6

Exemplo 2: Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A(- 2, - 3) e B( -1, + 5).

Dados da questão:

Aplique a formula para calcular coeficiente angular e substitua as coordenadas dos pontos A e B.

m=y−y0x−x0

m=5−(−3)−1−(−2)

m=5+3−1+2

m=81=8

Para encontrar a equação da reta, substitua o valor do coeficiente angular (m = 8) e das coordenadas do ponto A na equação geral da reta.

y – y₀ = m . (x – x₀)

y – (- 3) = 8 . [x – (– 2)]

y + 3 = 8 . [x + 2]

y + 3 = 8x + 16

Também é possível definir uma equação da reta a partir de sua inclinação e das coordenadas de um ponto que lhe pertença.

Dois pontos definem uma reta. Desta forma, podemos encontrar a equação geral da reta fazendo o alinhamento de dois pontos com um ponto (x,y) genérico da reta.

Sejam os pontos A(x_a,y_a) e B(x_b,y_b), não coincidentes e pertencentes ao plano cartesiano.

Três pontos estão alinhados quando o determinante da matriz associada a esses pontos é igual a zero. Assim devemos calcular o determinante da seguinte matriz:

Desenvolvendo o determinante encontramos a seguinte equação:

(y_a - y_b) x + (x_a - x_b) y + x_ay_b - x_b - y_a = 0

Vamos chamar:

a = (y_a - y_b)
b = (x_a - x_b)
c = x_ay_b - x_b - y_a

A equação geral da reta é definida como:

ax + by + c = 0

Onde a, b e c são constantes e a e b não podem ser simultaneamente nulos.

Encontre uma equação geral da reta que passa pelos pontos A(-1, 8) e B(-5, -1).

Primeiro devemos escrever a condição de alinhamento de três pontos, definindo o matriz associada aos pontos dados e a um ponto genérico P(x,y) pertencente a reta.

Desenvolvendo o determinante, encontramos:

(8+1)x + (1-5)y + 40 + 1 = 0

A equação geral da reta que passa pelos pontos A(-1,8) e B(-5,-1) é:

9x - 4y + 41 = 0

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Estabelecendo a equação geral da reta s: ax + by + c = 0 e a coordenada do ponto P(x₀,y₀), conseguimos chegar à expressão capaz de calcular a distância entre o ponto P e a reta s:

d = |ax₀ + by₀ + c|
      √(a² + b²)

Essa expressão surge de uma generalização feita, podendo ser utilizada nas situações em que envolve o cálculo da distância entre um ponto qualquer e uma reta.


Exemplo

Dado o ponto A(3, -6) e r: 4x + 6y + 2 = 0. Estabeleça a distância entre A e r utilizando a expressão dada anteriormente.

Temos que:
x: 3
y: -6
a: 4
b: 6
c: 2

h = medida da altura
b = medida da base
Podemos escrever: a área de uma região triangular é dada pela metade do produto da medida base pela medida da altura correspondente.

Exemplo 1


Nem sempre podemos usar a fórmula citada anteriormente, pois em algumas situações a base ou a altura não são dadas, tendo então que recorrer à Fórmula de Heron.

Dado um triângulo de lados a, b e c temos:


Onde p é o valor do semiperímetro.

Exemplo 2


Há outra forma de calcular a área de um triângulo, quando conhecemos as medidas de dois de seus lados e a medida do ângulo formado por eles, a área da região será calculada da seguinte forma:

Exemplo 3

A distância do centro é determinada pelo tamanho do raio (r).

Definição

Seja um ponto C, chamado de centro, e uma medida não nula r, chamada de raio, definimos uma circunferência ao lugar geométrico dos pontos do plano a uma distância r do ponto C.

Corda, Raio e Diâmetro

A corda de uma circunferência é um segmento de reta ligando dois pontos da extremidade. A corda quando passa pelo centro recebe o nome de diâmetro.

O raio é um segmento de reta que conecta o centro a um ponto qualquer da sua extremidade.

O diâmetro é igual a duas vezes a medida do raio, ou seja, é um segmento de reta que conecta um ponto a outro ponto da extremidade, passando pelo centro.

O diâmetro divide a circunferência em duas metades iguais. Então, a medida do diâmetro é 2 . r.

Equação Reduzida

Considere uma circunferência com centro C(a; b) e raio r. Seja um ponto P(x; y) que pertence à circunferência, então temos:

P ∈ a circunferência ⇔ d_PC = r ⇔

Assim, a equação r² = (x – a)² + (y – b)² é a equação reduzida da circunferência. Se a circunferência estiver com centro na origem C(0; 0), a equação reduzida ficará assim: r² = x² + y².

Equação Geral

Se desenvolvermos a equação reduzida r² = (x – a)² + (y – b)², teremos:

Se igualarmos -2a = m; -2b = n e a² + b² = p, temos como resultado a expressão:

Que é chamada de equação geral da circunferência.

Área

A área é calculada fazendo o produto da medida do raio pela constante π. Para isso, temos a seguinte fórmula:

Onde:

Perímetro

O perímetro é a medida da borda da figura. Que é calculado pelo produto entre o raio e duas vezes a constante π. Então, para calcular o perímetro temos a seguinte fórmula:

Onde:

Leia mais sobre perímetros de figuras planas.

Comprimento

O comprimento é determinado pelo tamanho do raio, que é igual a calcular a medida do perímetro.

Assim, para calcular o comprimento usamos a seguinte fórmula:

Onde:

Circunferência e Círculo

Circunferência e círculo possuem uma diferença sutil, porém não são a mesma coisa. A circunferência é denominada a borda curva da figura e o círculo é a parte interna limitada pela linha curva.

Ambas as figuras planas são bem parecidas, inclusive as fórmulas para calcular a área e o perímetro são iguais.

Nesse caso, a distância entre o centro O e a reta s é maior que a medida do raio. Ou seja:
d_O,s > r

2º caso: A reta s é tangente à circunferência.

Nesse caso, a distância entre o centro O e a reta s é exatamente igual ao raio. Ou seja:
d_O,s = r

3º caso: A reta s é secante à circunferência.

Nesse caso, a distância entre o centro O e a reta s é menor que a medida do raio. Ou seja:
d_O,s < r

Exemplo 1. Verifique a posição relativa entre a reta s: 3x + y – 13 = 0 e a circunferência de equação (x – 3)² + (y – 3)² = 25.
Solução: Devemos calcular a distância entre o centro da circunferência e a reta s e comparar com a medida do raio. Da equação da circunferência, obtemos:

x₀ = 3 e y₀ = 3 → O(3, 3)
r² = 25 → r = 5

Vamos utilizar a fórmula da distância entre ponto e reta para calcular a distância entre O e s.

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Da equação geral da reta, obtemos:
a = 3, b = 1 e c = – 13

Assim,

Como a distância entre o centro O e a reta s é menor que o raio, a reta s é secante à circunferência.

Exemplo 2. Verifique se a reta s: 2x + y + 2 = 0 é tangente à circunferência de equação (x – 1)² + (y – 1)² = 5.
Solução: Devemos verificar se a distância do centro da circunferência até a reta s é igual à medida do raio. Da equação da circunferência, temos que:

x₀ = 1  e y₀ = 1 → O(1, 1)
r² = 5 → r = √5

E da equação da reta, obtemos:
a = 2, b = 1 e c = 2

Vamos aplicar a fórmula da distância entre ponto e reta.

Como a distância entre o centro O e a reta s é exatamente igual à medida do raio, podemos afirmar que a reta s é tangente à circunferência.