1) 생애.업적

2) 수학연구분야

   

<선택>

3) 일화
4) 명언

5) 관련영상 및 기타

파스칼은 이 문제를 다음과 같이 해결했다. A가 이기면 점수는 A : B = 3 : 1 이므로 A는 64피스톨을 갖게 된다. 또 B가 이기면 점수는 A : B = 2 : 2 이므로 A와 B는 각각 32피스톨씩을 갖게 된다. 이 두 상황을 종합할 때, A는 32피스톨을 이미 확보해 놓았고, 나머지 32피스톨을 더 얻을 확률은 1/2이므로 A는 32+32*1/2=48피스톨, B는 16피스톨을 가지면 된다.

파스칼은 자신과 쌍벽을 이루던 수학자 피에르 드 페르마에게 자신의 풀이를 보냈으며, 페르마는 다른 방법으로 문제를 해결하였다. A가 2점, B가 1점을 득점한 경우, 앞으로 최대 2번으로 승패가 결정된다.

이때 나타날 수 있는 경우는 모두 4가지로, 두 번 모두 A가 이기는 경우, A가 이기고 그 다음에 B가 이기는 경우, B가 이기고 나서 A가 이기는 경우, 2번 모두 B가 이기는 경우이다. 이 4가지 경우 중 최종적으로 A가 이기는 경우는 앞의 3가지이고 B가 이기는 경우는 마지막 1가지이다. 따라서 A는 64의 3/4인 48피스톨을 갖고, B는 나머지 16피스톨을 가지면 된다.

삼차방정식의 해법을 둘러싸고 카르다노와 그 선취권(先取權)을 다투었다. 그러나 이것은 카르다노가 타르탈리아에게 공식적으로 공표하지 않는다는 약속 하에 배운 것을 자신의 저서에 게재했기 때문에 카르다노의 공식이라고 부르게 되었다.

그는 3차방정식의 해법을 처음으로 발견한 수학자인데 유일하게 해법을 알려준 카르다노가 자신이 발견한 것이라고 발표하였고 카르다노에게 명예를 되찾아오고 싶어 타르탈리아는 3차방정식 내기를 제안했다 자신이 없던 카르다노는 제자 페라리를 대신 내보내었는데 페라리가 타르탈리아보다 먼저 풀어 그는 해법을 빼앗기게 되었다

   

11살: 교사에게 기하학을 주제로 지속으로 질문 및 노는 시간을 아껴 수학공부를 했다.

   

12살: 삼각형의 내각의 합이 180도라는 사실을 오직 자력으로 발견

   

13살: 파스칼의 삼각형을 발견

   

14살: 프랑스 수학자 단체의 정기 회동에 참가

   

16살: 파스칼의 정리를 증명

   

19살: 기어식 계산 기계 발명

   

21살: 수은기둥을 사용한 실험으로 파스칼의 법칙을 완성

The eternal silence of these infinite spaces fills me with dread.

정신이 명료함은 열정도 명료함을 뜻한다. 때문에 위대하고 명료한 정신을 지닌 자는 열정적으로 사랑하고 자신이 사랑하는 대상을 분명히 안다.

Clarity of mind means clarity of passion, too; this is why a great and clear mind loves ardently and sees distinctly what it loves.


클레오 파트라의 코가 조금만 낮았어도 인류의 역사가 달라졌다.

Even if Cleopatra's nose was a little lower, the history of mankind would have changed.


고귀한 행동은 드러내지 않을 때 가장 존경스럽다.


Noble deeds are most revered when they are not revealed.

  이 경기는 모두 30문제를 서로 상대방에게 출제하여 50일 동안에 푸는 것이었는데, 타르탈리아는 모든 문제를 풀었으나 플로니우스는 한 문제도 풀지 못하였습니다.

 그러나 그는 더욱 연구하여 1541년 삼차방정식의 가장 일반적인 해법을 발견합니다.

 그런데 그 때 밀라노의 카르다노라는 수학자가 타르탈리아에게 삼차방정식의 해법을 알려달라고 간청합니다.
타르탈리아는 다른 사람에게는 절대로 말하지 않겠다는 약속을 받은 후 카르다노에게 그 해법을 알려 주었습니다.

 그러나 카르다노는 약속을 어기고 제자인 페라리에게 삼차방정식의 해법을 가르쳐 주었고, 그가 1545년에 출판한 ‘위대한 술법(Ars Magna)’라는 책에 마치 자신의 발견한 것으로 발표하였습니다.

 타르탈리아는 약속을 어겼다면서 분노했지만 카르다노는 오히려 타르탈리아를 거짓말쟁이로 몰아세웁니다.

 말더듬이였던 타르탈리아는 아무도 자신의 말을 믿어주지 않자 비탄과 울분 속에 카르다노를 저주하다가 1557년에 사망합니다.

[출처] 방정식의 저주 1 - 타르탈리아 카르다노 페라리|작성자 강태형

 19세에 아버지를 잃고 가난에 허덕이던 그를 그나마 인정하고 알리려던 사람이 독일 수학자 아우구스트 레오폴트 크렐레(August Leopold Crelle ,1780~1855)였는데 그의 노력으로 아벨에게 베를린대학 수학 교수직을 얻게 해주었다. 그러나 아벨은 가난에 시달리고 있었고 이로 인해 결핵을 얻은 상태라 결국 소꿉친구이자 약혼자였던 크리스티네 켐프(Christine Kemp)의 품에서 26세의 젊은 나이로 요절하고 만다. 그리고 아벨이 죽고 난 바로 이틀 뒤에 교수 임명서가 도착했다. 반응이 없다는 대학 측 답변에 이상하게 여긴 크렐레는 편지를 보냈는데 '닐스는 이미 죽었답니다' 라고 아벨의 지인이 쓴 답장을 받고서야 뒤늦게 죽은 걸 알게 되었다. 다만 비슷하게 5차 방정식을 연구하고 요절한 갈루아와 혼동되는 경향이 있는데, 비슷하면서도 다르다. 아벨은 대학생 시절 이미 노르웨이에서 가장 유명한 수학자들 중 하나였으며, 비록 정식 교수직을 받지 못해 생활이 쪼들렸으나 다른 교수들이 도움을 주고 간간히 펀딩도 나와 유럽을 여행하며 연구를 계속했다. 아벨은 당시에는 드물지 않았던 결핵으로 병사했지만 생전에 수학계 (적어도 노르웨이 수학계에서는)에 이름을 날린 인물이었다.
 


1802년 노르웨이 남쪽지방에서 목사의 아들로 태어난 아벨은, 중학교 때부터 수학에 흥미를 갖게 되었고 대학시절 뛰어난 재능을 보였다. 그러나 18세 때 부친이 돌아가시게 되어 가난 속에서 어머니와 어린 동생들을 돌보면서 장학생으로 힘들게 공부하였다.

아벨은 22세의 젊은 나이에 위의 5차 방정식에 관한 논문을 비롯해서 여러 업적을 내었으나, 코시(Augustin Louis Cauchy; 1789-1857), 가우스(Karl Friedrich Gauss; 1777-1855) 등 당대의 저명 수학자들은 여러 이유로 그의 연구 성과에 별로 관심을 기울이지 않았다. 불운 속에서도 연구를 계속하던 그는 가난과 과로로 인하여 폐결핵이 심해져서, 결국 1829년에 27세의 아까운 나이로 세상을 떠나고 말았다.

 

 우선 세 개의 양의 정수 x, y, z에 대하여

 

 을 성립하는 정수가 있다고 가정하자. (귀류법)

 x, y, z의 최대공약수 k가 있다고 하면 아래와 같이 나타낼 수 있다.

 만약 A와 B가 모두 짝수라면 좌변이 짝수이므로 우변 역시 짝수이다. 그렇다면 C 역시 짝수이므로 A, B, C가 서로소라는 가정에 모순된다.

 따라서 A와 B와 C의 기우성은 (A, B, C) = (짝, 홀, 홀), (홀, 짝, 홀), (홀, 홀, 짝)의 경우가 존재한다. 첫번째와 두번째 경우는 동치이므로 편의상 (짝, 홀, 홀), (홀, 홀, 짝)의 경우만 따지기로 하자.

​ 우선 p와 q를 아래와 같이 두자.

​

 제곱수를 4로 나누었을 때의 나머지는 0 또는 1이라는 성질이 있다. 당연히 나머지가 0일 때는 짝수, 1일 때는 홀수이다. 이 성질을 이용해 p와 q의 기우성에 대해 조사해보자.

 우선 p이다. C와 B에 각각 2k+1, 2l+1을 대입하여 식을 정리한다.

 다음 q이다. C와 B에 각각 2k+1, 2l+1을 대입하여 식을 정리한다.

 만약 (k+l)^2를 4로 나누었을 때 나머지가 0이면 p와 k+l는 짝수라는 것을 알 수 있고, 이를 'q'식에 대입하면 우변은 4로 나누었을 때 나머지가 1이 되어 q는 홀수가 됨을 알 수 있다. 반대로 (k+l)^2를 4로 나누었을 때 나머지가 1이면 p와 k+l는 홀수라는 것을 알 수 있고, 이를 'q'식에 대입하면 우변은 4로 나누었을 때 나머지가 0이 되어 q는 짝수가 됨을 알 수 있다. 따라서 p와 q의 기우성은 다르다.

[출처] 페르마의 마지막 정리 - n=3일 때 증명 1|작성자 과학이와 수학이

n=4인 경우는 페르마의 정리의 원작자인 페르마가 직접 남겨놓은 유일한 증명으로, n=3일 때보다 일찍 발표되었으므로 먼저 서술한다. 페르마의 경우 무한강하법으로 증명했다. 사실 페르마가 연구했던 것은 '직각삼각형의 두 변을 이루는 정수로 된 네제곱 수가 존재할 수 없다'는 것으로 방정식
x^4 + y^4 = z^4x
4+y
4=z
4의 미지의수 x, y, z의 정수해가 존재하지 않는다는 것인데 이 방정식의 양변을 정리하면 FLT의 기본 꼴인
x^n + y^n = z^nx
n+y
n=z
n꼴로 치환된다. 이 페르마의 증명법은 n=3의 증명중 오일러의 증명법과 연계되며, 페르마의 <직각삼각형 정리>에 수록되어있다. n=4인 경우는 1600년대부터 현재까지 수십명의 학자들이 증명 논문을 발표했으며, 이 중엔 페르마의 증명법을 재탐구 한 논문도 많다. 증명은 다음과 같으며 여기에서는 먼저
x^4 + y^4 = z^2x
4+y
4=z
2의 사례를 통해 무한강하법으로 유도했다.

1. 귀류법을 사용한다. 즉,
x^4 +y^4 = z^2 (x>0, y>0, z>0)x
4+y
4=z
2(x>0,y>0,z>0)을 만족하는 정수해가 존재한다고 가정하자[3].

2. 우선 x와 y를 서로소로 두자[4]. 둘이 서로소라면 x와 y 중 하나는 반드시 홀수이다. 따라서

중 하나가 성립한다[6].
한편 홀수의 네제곱은 8로 나눈 나머지가 1이고[7], 짝수의 네제곱은 8로 나눈 나머지가 0이다.
이 정리에 의해, A의 경우
준식
x^4 +y^4 = z^2 (x>0, y>0, z>0)x
4+y
4=z
2(x>0,y>0,z>0)의 좌변을 8로 나눈 나머지는 2, 우변을 8로 나눈 나머지는 0이므로, A의 경우는 성립할 수 없다.
따라서 x는 짝수, y는 홀수, z는 홀수이다.

3. 2에 의해

x^2 = 2abx
2=2ab

y^2 = a^2 - b^2y
2=a
2−b
2

z = a^2 + b^2z=a
2+b
2(단 a와 b는 서로소[8], a>b)
을 만족하는 a, b가 존재하다.
y는 홀수이므로 y²을 4로 나눈 나머지는 1이다.[9]

y²=a²-b²y²=a²−b², 즉 a²-b²을 4로 나눈 나머지 역시 1이어야 하므로, a는 홀수, b는 짝수이다.[10]
여기서 b=2c라고 두면 a와 b가 서로소이므로 a와 c도 서로소이다.
위 식[11]에서 서로소인 두 수의 곱이 제곱수이므로 각각의 수 a와 c는 제곱수이다[12].
따라서 "
a=u², b=2c=2v²a=u²,b=2c=2v² "이라고 둘 수 있다.

4. 위 식을
y^2 = a^2 - b^2y
2=a
2−b
2에 대입하면

y^2 = u^4 - 4v^4y
2=u
4−4v
4

4v^4 + y^2 = u^44v
4+y
2=u
4

(2v^2)^2 + y^2 = (u^2)^2(2v
2)
2+y
2=(u
2)
2
이라고 하는 식을 새로 얻을 수 있다.
2v²과 y가 서로소이고 2v²이 짝수이므로, 다시

2v^2 = 2lm2v
2=2lm

y =l^2 - m^2y=l
2−m
2

u^2 = l^2 + m^2u
2=l
2+m
2(단 l과 m은 서로소, l>m)
이라는 식을 얻는다.
한편
v²=lmv²=lm에서 l과 m이 각각 제곱수, 즉

l=r², m=s²l=r²,m=s²이며, 이를
u^2 = l^2 + m^2u
2=l
2+m
2에 대입하면

r^4 + s^4 = u^2r
4+s
4=u
2, 즉 1에서 주어진 식과 완전히 똑같은 형태의 식을 얻는다.
한편
u ≤ u² = a ≤ a² < a² + b² = zu≤u²=a≤a²<a²+b²=z,
즉
u<zu<z이다.

5. 1, 2, 3, 4를 종합하면

x^4 +y^4 = z^2 (x>0, y>0, z>0)x
4+y
4=z
2(x>0,y>0,z>0)을 만족하는 정수해가 존재한다고 가정하면

r^4 +s^4 = u^2 (r>0, s>0, u>0)r
4+s
4=u
2(r>0,s>0,u>0)이면서 u<z를 만족하는 정수해가 항상 존재한다. 그런데 무한강하법에 의해 이는 성립할 수 없으며, 가정이 잘못되었다는 결론을 얻는다. 따라서, n=4일 때 페르마의 마지막 정리는 성립한다.

수학 교과서에 가장 많이 접하는 공식 중 하나가 '방정식'입니다.

1차 방정식부터 4차 방정식까지 공식이 확립되어 있습니다..

이전부터 수학자들은 5차 이상의 방정식도 풀어내려는 노력을 지속하였습니다.

하지만 19세기에 이르기까지 아무도 해법을 발견할 수 없었습니다.

결국 5차 이상의 방정식은 대수학적인 방법으로는 풀어낼 수 없다는 사실을 발견하였습니다.  

 

아벨은 유한개의 제곱근과 사칙연산을 통해 5차 이상의 고차방정식은 근의 공식이 없음을 최초로 증명했습니다. 이는 훗날 ‘아벨-루피니’ 정리로 알려집니다. 

5차방정식이 근의 공식을 갖지 않는다는 것을 증명하는 과정에서 방정식의 대칭성을 서술하는 ‘군론’이라는 개념이 처음으로 생겨나고 도입되었습니다. 

해석: 미래 사람들은 과거인들이 모든 것을 다 알지 못한다는 것을 보여준 나에게 고마워 할 것이다.

"I have found a very great number of exceedingly beautiful theorems."

해석: 나는 엄청나게 많은 아름다운 정리들을 발견했다.

"Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caperet."
"나는 이 문제에 대한 놀라운 증명을 알고 있으나 여백이 부족하여 여기에 적지 않는다."

[2] 그랑제콜 중 하나로서, 현재까지도 상당한 권위를 갖추고 있다.

[3] 막내동생을 제외한 나머지 가족들은 갈루아를 미쳤다고 외면했다고 한다.

[4] 1789~1857, 코시-슈바르츠 부등식의 그 분

[5] 아버지가 취미로 풍자시를 짓고는 했는데, 가톨릭 신부가 지역의 명사를 저질적으로 음해하는 풍자시를 갈루아 아버지의 이름으로 작성해서 발표해버렸다.

[6] 갈루아의 아버지를 자살하게 한 장본인인 예수회 가톨릭 신부는 이후 뻔뻔하게 갈루아의 아버지 장례를 진행했다가, 그 위선에 분노한 시민들에게 욕설과 함께 돌 세례를 맞고 허겁지겁 달아났다.

[7] 여기에 관해서 실은 칠판지우개 투척 사건은 없었고 후대의 전기 작가의 창작에 불과하다는 이야기도 있다.

[8] 이 보고서에 칠판지우개 투척이 기록되어 있다고 한다.

[다만] "그것은 자명하다"라는 말을 반복했다는 자료를 찾을 수 없다. "너무 자명했기 때문에(trivial)"를 오역한 것이 아닌지.

[10] 살아생전에 갈루아가 자신의 업적을 인정받지 못했던 가장 큰 이유 중 하나가 귀찮은 부연설명은 다 건너뛰는 습관을 갖고 있었기 때문이다.

[11] 현재는 에콜 노르말 쉬페리외르. 파리 고등사범학교. 이 역시 그랑제콜의 하나다.

[12] 지금은 다수의 필즈상 수상자를 배출하는 등 수학 쪽으로도 유명하지만 당시에는 수학 쪽으로는 그렇게 유명하지 않았다.

[13] 이에 관해선 여러 가지 설이 존재한다. 하나는 코시가 갈루아의 논문을 분실했다는 설이고 다른 하나는 코시가 자기가 발표하는 대신, 갈루아가 직접 아카데미 프랑세즈가 최고의 과학 및 수학자에게 수여하는 그랑프리에 도전하도록 권유했다는 설이다. 이와 반대로 코시가 논문을 고교생이 썼다는 것을 알고 처음부터 읽어보지도 않았다는 설도 있다.

[14] 또는, 마리오 리비오가 작성한 책엔 당시 코시는 자기중심적이였다고 서술했으며, 실제로 닐스 헨리크 아벨의 논문도 개무시했다.

[15] 1768~1830. 푸리에 급수의 그 사람.

[16] 1832년 1월 2일자엔 언제까지 학생들은 하루 종일 수동적으로 강의를 듣거나 아니면 반복해 암송만 해야 할까? 축적된 지식을 숙고할 시간은 언제나 주어질까? 수많은 정리와 연관성 없는 계산들을 정리하여 내재된 패턴을 찾아낼 수 있는 시간은 언제나 주어질까? 학생들은 시험 통과에 관심이 있지 학습 자체에는 그다지 관심이 없다. 라는 칼럼을 기고해 팩트폭력을 날렸으나, 안타깝게도 교수법이 바뀌고 영재교육이 도입된 시기는 그가 죽고 한참이 지나서 이루어지기에 당시엔 아무도 관심을 안 가졌다.

[17] 1781~1840.전자기학에 주로 나오는 푸아송 방정식과 재료역학을 수강했다면 익숙할 푸아송 비(Poisson's ratio), 혹은 확률 분포를 공부하면 나오는 푸아송 분포의 그 푸아송이다.

[18] 당시에는 알렉상드르 뒤마, 화학자 라페 등 거물들이 모여있었다.

[19] 두 사람이 서로를 향해 총을 쏘는 것이 당시 유행하던 결투의 방식이었다.

[20] 알프레드는 1848년 2월 혁명이 성공하자 이를 보지 못한 채 눈을 감은 형의 동판화를 제작했다.

[21] 장례식 당시 폭동이 일어날 것을 우려한 정부가 혁명 동지들을 수십 명 체포했지만 그래도 장례식장에서 난동이 일어났다고 한다.

[22] 그러나 아벨 역시 사후에야 이 상을 받게 되었다. 그리고 별 상관없지만, 생전에 갈루아는 아벨의 연구 성과를 알고 있었고 그를 천재라며 좋아했다고 전해진다. 참고로 아벨은 1829년 4월 6일 27살, 갈루아는 1832년 5월 31일, 20살로 삶을 마감했다.

[23] 갈루아가 참가한 그랑프리에서 갈루아를 이긴 수상자였다.

[24] Joseph Liouville. 1809~1882. 최초로 초월수의 존재를 증명한 수학자. 리우빌의 정리로 유명하다.

[25] 푸앵카레 추측의 바로 그 사람이다.

[26] 샤를 에르미트(Charles Hermite, 1822~1901). 수학 분야에서 상당한 천재였음에도 어릴 적부터 다리 하나를 절었다는 이유만으로 퇴학당했다. 다만 이는 에콜 폴리테크니크가 항목에서 나오듯이 시작이 사관학교 같은 성격이 있었기 때문이다. 퇴학당한 에르미트는 열심히 공부하여 갈루아랑 비슷한 20살 나이로 논문을 발표해 인정받아 수학적 성과를 이루자 퇴학당한지 몇 년 안가 에콜 폴리테크니크 측은 에르미트를 조교로 받아들였고 그는 나중에 정식 교수가 된다. 에르미트는 신체적, 정신적 문제가 있어도 천재적인 수학자에 대하여 관대했기에 에콜 폴리테크니크 입시제도 개편에 열심히 나섰다.

[27] 엄밀하게는 확장체(extension field)

[28] 가해성을 정확히 말하자면: 군 G에 대해 1=G₀ , G₁ , ..., G_k = G 의 열이 있어, G_i+1 / G_i 가 가환이다.

[29] 따라서 3차방정식과 4차방정식을 풀 수 있었던 것이다. 한편으로는 갈루아 이론을 활용해서 카르다노와 페라리의 공식을 유도할 수도 있다.

[30] 과장해서 말하자면 근과 계수와의 관계 뿐

파스칼의 삼각형이란, 아래 그림과 같이

이항계수를 삼각형 모양으로 배열 한 것을 말합니다.

파스칼의 삼각형의 용도는 "조합수를 규칙성을 갖고 효율적으로 계산"하는 것으로

조합수를 계산해야 하는 상황을 마주할 때, 파스칼의 삼각형을 떠올려보면 계산이 쉬워질 것입니다.

파스칼의 삼가형 특징


1)삼각수

파스칼의 삼각혀의 3행 1열에서 시작하는 오른쪽 아래 방향의 대각선의 수는 1,3,6,10,15,21...이다 이 수들은 정삼각형 모양으로 점을 배열했을 때 그 모양을 이루고 있는 점의 개수인 삼각수(triangular number)가 된다




2)하키 스틱 패턴

파스칼의 삼각형에서 각 행의 첫 번째 수나 마지막 수인 1에서 시작하여 대각선 방향에 배열된 수들을 더하면 그 다음 행의 오른쪽이나 왼쪽에 있는 수가 된다.

  비에트는 삼각법, 대수, 기하학 등에 관하여 많은 저술을 하였는데, 그 중에서 중요한 다음과 같다.

    <수학요람> (Canon mathematicus seu ad triangula) -1579

    <해석학 서설> (In artem analyticam isagoge) -1591

    <보 기하학> (Supplementum geometriae) -1593

    <방정식의 수학적 해법> (De numerosa potestatum resolutione) -1600

    <방정식의 재검토와 수정> (De aeguationum recognitione et emendatione)

                              -이는 비에트가 죽은 후 1615년에 출간되었다.

생애: 1707년 4월 15일 ~ 1783년 9월 18일(향년 76세)

1707년 스위스 바젤에서 태어났다. 어린 시절 요한 베르누이에게 수학적 재능을 인정받고 수학자의 길을 걷게 되었다고 한다. 13세에 대학에 입학하면서 신학을 전공할지 수학을 전공할지 많은 갈등을 하다가 결국 수학을 전공하기로 하지만, 평생동안 독실한 기독교 신자로 남았다.
20세인 1727년에 베르누이 형제의 추천으로 러시아의 페테르부르크 아카데미로 건너갔다. 이 페테르부르크 아카데미에는 요한 베르누이의 아들 다니엘 베르누이가 교수로 있었기 때문이다. 6세의 나이로 수학과장이 되었다.(다니엘이 러시아를 떠나서) 활동하던 스위스 출신 화가 게오르크 그셀의 딸 카타리나와 결혼했다. 그러나 그는 과한 연구로 인해 1735년, 28살에 오른쪽 눈의 시력을 잃게 된다.

1741년에는 프리드리히 대왕의 초청을 받아 베를린 아카데미로 적을 옮겼다가 다시 러시아로 와달라는 예카테리나 2세의 요청을 수락해 1766년에 다시 러시아로 되돌아간다. 하루에 20시간 이상을 연구에 매진하여 몸을 혹사시켜온 오일러는 오른쪽 눈을 잃은 후에도 계속 이런 생활을 반복하다가 결국 백내장으로 인해 다른 한 쪽의 눈까지도 못 보게 되어 1766년부터 세상을 떠날 때까지 약 17년을 맹인으로 살았다.

시각 장애인이 된 후에 오일러는 영국 해군이 낸 문제인 태양, 달, 지구의 위치를 정확하게 계산하는 법을 연구하기도 했다.그러나 만유인력을 매개체로 하여 상호 작용하는 세 개의 물체의 위치를 알아내는 것은 이른바 '삼체문제'라 하여, 이후 앙리 푸앵카레에 의해 결코 풀 수 없음(즉, 해가 없음)이 증명된 문제이다. 하지만 오일러는 발상을 전환해 위치를 정확하게 계산하는 대신 근사치를 구하는 방법을 생각해 냈다. 그는 반복 연산법(알고리즘)을 개발하였는데, 이것은 첫 계산으로 대략적인 값을 알아낸 후 그 결과를 다시 계산식에 넣어서 더 정확한 값을 얻어내는 과정을 반복하는 것이다.이렇게 해서 오일러는 배의 위치를 km 단위까지 정확하게 알아낼 수 있었고, 이에 영국 해군은 상금을 지급함으로써 그의 공로를 인정했다.

1783년 9월 18일 그는 가족들과 점심 식사를 한 후 학술회의 동료 안데르스 요한 렉셀과 함께 새로 발견한 행성 우라노스(천왕성)의 궤도를 연구하던 도중 갑작스런 뇌출혈로 쓰러졌다. 몇 시간 후 오일러는 평생토록 쉴 새 없이 계속했던 위대한 계산을 멈추고 수학자로서의 삶에 종지부를 찍었다. 그 후 러시아 상트페테르부르크의 제카브리스토프 섬에 있는 스몰렌스키 루테란 묘지에 묻혔다. 

   

수학연구분야 :  미적분학, 그래프 이론, 위상수학, 해석적 수론(복소수)

⇒ 수학에서 실수와 허수의 합의 꼴로써 나타내는 수. 두 실수 a, ba,b에 대하여 a+bia+bi(단, a, ba,b는 실수)(ii는 허수단위)[1]로 나타내는 체(field)를 여러개의 단위로 이루어진 수라는 데에서 복소수라 하며, aa를 실수 부분, bb를 허수 부분이라고 한다.

   

업적 : 기하학, 미적분학, 삼각법, 대수학, 정수론 등 수학의 거의 모든 분야뿐만 아니라 연속체 역학, 천문학 등 여러 물리학 분야에서도 많은 업적을 남겼다. 많은 수학 개념에 오일러의 이름이 들어가 있는데, 그는 자신의 이름을 딴 상수가 두 개인(오일러-마스케로니 상수와 오일러 상수) 유일한 수학자이기도 하다.

   

명언 : “우리는 우리의 판단력보다는 도리어 대수적 계산에 신뢰를 두어야 한다.”

   

   

   

   

칸토어의 주요 업적으로는 수학에 집합 개념을 도입한 것과 동시대 수학자 데데킨트와 더불어 실수 개념의 엄밀한 정의, 그리고 당대 수학자들이 기피하던 무한에 대한 적극적인 탐구로 볼 수 있다.

칸토어는 일대일 대응의 개념을 통해 집합의 크기. 즉 원소의 개수를 정의했고, 이에 따라 무한집합도 그 크기가 다를 수 있다는 것을 보였다. 실제로 그는 자연수와 짝수, 유리수는 그 개수가 같지만, 실수는 자연수보다 훨씬 많다는 것을 증명했다. 이 증명에서 그는 유명한 대각선 논법을 개발했다.

말년에 그는 연속체 가설을 증명하기 위해서 노력했지만 실패했다. 그 뒤 그가 세상을 떠난 후에 괴델과 코언에 의해 연속체 가설의 독립성이 증명되었다.

게오르크 칸토어의 명언   수학의 본질은 자유로움에 있다.

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