(300г. до н.э. - 200г. до н.э.)

Пингала - древний индийский автор Чандамшастры, состоящий из восьми глав и датированный последними столетиями до нашей эры. Не зная самой биномиальной теоремы, в работе по перечислению слоговых комбинаций Пингала наткнулся как на треугольник Паскаля, так и на  биномиальные коэффициенты. Хотя его труд не сохранился полностью, ее комментарий сохранил Халаюдхи (X век). Текст комментария указывает, что Пингала осознавал комбинаторную идентичность.

       Работа Пингалы также содержит основные идеи чисел Фибоначчи, называемых матрамеру. 

(505г. – 587г.)

В VI веке Варахамихира был одним из первых математиков, открывших версию того, что сейчас известно как треугольник Паскаля. Он использовал его для вычисления биномиальных коэффициентов. 

9 век


В 850 году джайнский математик Махавира написал  Ганитасарасанграха или Компендиум по сути математики, где  дал другую формулу для биномиальных коэффициентов, используя умножение, эквивалентную современной формуле треугольника Паскаля.

(953–1029)


Аль-Караджи написал утерянную ныне работу «Книга об алгебре и алмукабале» около 1010 года, в которой дал первую формулировку  биномиальных коэффициентов  и первое описание  треугольника Паскаля. В своём сочинении он приводит таблицу биномиальных коэффициентов и формулу бинома.

     Ему также приписывают открытие биномиальной теоремы. В работе математик ввел идею аргументированного доказательства с помощью  математической индукции. 

(1380—1429)


      В трактате ал-Каши «Ключ к арифметике», написанном в 1427 году, изложены приемы извлечения корней любой степени, один из которых был основан на применении формулы бинома Ньютона для натурального показателя. У ал-Каши треугольная числовая таблица приводится до 

n = 9. 

(1010–1070)

Цзя Сянь описал треугольник Паскаля (треугольник Цзя Сянь) примерно в середине 11 века. Цзя использовал его как инструмент для извлечения квадратных и кубических корней. Цзя Сянь знал расписание (a+b)ⁿ и составил треугольную таблицу биномиальных коэффициентов до n = 6. Оригинальная книга Цзя под названием Ши Суо Суан Шу была утеряна. Однако метод Цзя подробно изложил Ян Хуэй. 

(1238-1298)

       Метод китайского математика Цзя Сянь подробно изложил Ян Хуэй. Ян Хуэй изобрел треугольник Паскаля, который изображен в китайском средневековом манускрипте «Яшмовое зеркало четырех элементов», выпущенным в 1303 году:

      В Китае этот треугольник до сих пор называюттреугольником Яна Хуэйя 

(1089–1167)

Среди математических достижений ему принадлежат вычисления и свойства биномиальныx коэффициентов. Авраам ибн Эзра около 1140 года установил симметрию биномиальных коэффициентов.

(1288—1344) 

Гершом использовал метод математической индукции. Биномиальные коэффициенты рассчитал, используя для них мультипликативную формулу. 

(1495–1552) 

В Европе треугольная числовая таблица, названная «арифметическим треугольником», фигурирует в трудах П. Апиана.

В 1527 году работа Петера Апиана по бизнес-расчетам вошла в математику. В ней он опубликовал вариант треугольника Паскаля. 

(1487—1567)

Самая важная работа Штифеля Arithmetica Integra (1544 г.) содержала важные нововведения.  Штифель описал правило образования биномиальных коэффициентов биномиальные коэффициенты и составил их таблицу до 18–й степени и опубликовал часть треугольника (от второго до среднего столбца в каждой строке), описав его как таблица  фигурных чисел. Дальнейшими проблемами были метод вычисления корней более высокого порядка с использованием  биномиальных коэффициентов  и последовательностей. 

(1499-1557)

Итальянский алгебраист Никколо Фонтана Тарталья был опытен в биномиальных разложениях и опубликовал шесть строк арифметического треугольника в 1556 году. Тарталья включил множество рабочих примеров в Часть II «Большого трактата о числах и мерах» (Общего Траттато), в одном из которых подробно объяснялось, как вычислять слагаемые, включая соответствующие биномиальные коэффициенты. 

     В Италии треугольник Паскаля упоминается как треугольник Тартальи.

(1623-1662)
       
Блез Паскаль создал схему вычисления биноминальных коэффициентов, , которую называют треугольником Паскаля. Трактат о Арифметическом треугольнике был опубликован в 1655 году. Паскаль провел детальное изучение свойств биномиальных коэффициентов. Позднее треугольник был назван в честь Паскаля. Треугольником Паскаля называется бесконечная треугольная таблица, в которой на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предшествующей строке. 

Используя знак суммы, формулу бинома Ньютона можно записать короче.