e^{ix}=cos x+isin x

dove e è la base dei logaritmi naturali, i è l'unità immaginaria e seno e coseno sono funzioni trigonometriche.

Si tratta di una relazione usata per rappresentare i numeri complessi in coordinate polari, e che permette la definizione del logaritmo per argomenti complessi. La rappresentazione della funzione e^ix nel piano complesso è un cerchio unitario, e x è l'angolo che un segmento che collega l'origine a un punto del cerchio unitario forma con l'asse reale positivo, misurato in senso antiorario e in radianti.

Gauss era particolarmente dotato nell'effettuare a mente conti molto complicati. Si dice che si divertisse a cercare numeri primi in un intervallo di mille numeri appena aveva del tempo libero. Dopo aver calcolato l'orbita di Cerere gli fu chiesto come avesse fatto a ottenere valori numerici così accurati. Rispose: "Ho usato i logaritmi". L'interlocutore gli chiese allora dove avesse trovato tabelle dei logaritmi che arrivavano fino a numeri così grandi. La replica di Gauss fu: "Tabelle? Li ho calcolati a mente!"

Ebbene, recenti studi stanno dimostrando che lo sviluppo di tali vasi sanguigni può essere misurato con l'applicazione della matematica frattale.

Anche se i vari organi assolvono a funzioni differenti, la loro struttura frattale consente di comprimere nel minimo spazio grandi capacità di estensione: se si pensa che la capacità respiratoria di un animale è direttamente correlata alla superficie dei suoi polmoni, e che questi, in un individuo normale, occupano uno spazio grande quasi come un campo da tennis, si comprende quanto efficace sia stata la scelta "frattale" fatta dalla natura per lo sviluppo dei nostri organi.

{z_{0}=0  
{z{n+1}=z{n}^{2}+c
è limitata.

La formula di Eulero afferma che, per ogni numero reale x si ha:

e^{ix}=cos x+isin x

dove e è la base dei logaritmi naturali, i è l'unità immaginaria e seno e coseno sono funzioni trigonometriche. Si tratta di una relazione usata per rappresentare i numeri complessi in coordinate polari, e che permette la definizione del logaritmo per argomenti complessi. La rappresentazione della funzione eix nel piano complesso è un cerchio unitario, e x è l'angolo che un segmento che collega l'origine a un punto del cerchio unitario forma con l'asse reale positivo, misurato in senso antiorario e in radianti.

La formula di Eulero dà origine ad un'identità considerata tra le più affascinanti della matematica, nota come identità di Eulero, che mette in relazione tra loro cinque simboli che sono alla base dell'analisi matematica: e, i, π, 1 e 0:

e^{i, π}+1=0

Un’analisi statistica effettuata presso L’Istituto di fisica nucleare dell’Accademia polacca delle scienze ha infatti rivelato che, indipendentemente dalla lingua usata, grandi romanzi di autori internazionali come James Joyce e Julio Cortazar,sono accomunati nella scrittura dalla costruzione di strutture frattali, ossia figure che si ripetono a cascata su scale diverse e non solo, certe volte si trovano pure forme molto più complesse che in matematica sono conosciute come multifrattali, ovvero frattali di frattali.

Nella nota rivista Information Sciences, i fisici di Cracovia hanno compiuto un’analisi statistica di oltre cento famose opere della letteratura mondiale, in diverse lingue e di diversi generi andando alla ricerca di correlazioni nella variazione delle lunghezze delle frasi ed è proprio qui che sono emerse le dinamiche utilizzate che riprendono la "forma" dei frattali! I romanzi sono stati trasfigurati in senso matematico convertendo ogni frase nel numero delle sue parole e poi gli scienziati sono andati alla ricerca di relazioni (come per esempio una legge lineare). La domanda che si ponevano era: se una frase di una data lunghezza era x volte più lunga di un’altra, lo stesso rapporto era conservato quando si guardava a frasi più lunghe (o più corte)?

“Tutti i testi esaminati hanno mostrato auto-similarità in termini di organizzazione delle lunghezze delle frasi. Le correlazioni erano evidenti e quindi in questi testi c’era la costruzione di un frattale”, ha spiegato Pawel Oswiecimka, che ha anche però sottolineato che, ovviamente, la frattalità di un testo letterario non sarà mai perfetta come quella nel mondo della matematica, dove è invece possibile andare a ingrandire all’infinito.

2) Struttura fine: F rivela dettagli ad ogni ingrandimento.

3) Irregolarità: F non si può descrivere come luogo di punti che soddisfano semplici condizioni geometriche o analitiche. (la funzione è ricorsiva: F = {Z | Z = f(f(f(...)))}

4) Dimensioni di autosimilarità > della dimensione topologica

La caratteristica di queste figure, caratteristica dalla quale deriva il loro nome, è che, sebbene esse possano essere rappresentate (se non si pretende di rappresentare infinite iterazioni, cioè trasformazioni per le quali si conserva il particolare motivo geometrico) in uno spazio convenzionale a due o tre dimensioni, la loro dimensione non è intera. In effetti la lunghezza di un frattale "piano" non può essere misurata definitamene, ma dipende strettamente dal numero di iterazioni al quale si sottopone la figura iniziale.

ETIMOLOGIA

frat-tà-le
 Significato Elemento geometrico che ripete la sua struttura su scale diverse. Etimologia dal latino: fractus spezzato, da frangere rompere, per via della dimensione frazionaria degli elementi ripetuti. Parola delle origini
 Figura affascinante, archetipica: avvicinandosi con l'occhio alla montagna, stringendo dal suo corpo immenso, al singolo sperone di roccia fino al solitario sasso in vetta quasi non cambia forma; l'abete ha forma di abete nella sua interezza, e così in ogni ramo, in ogni rametto - in ogni ago l'intuizione di un abete; in ogni verso del grande poeta si intravede frattalmente il messaggio che il poema tutto porta. Figura più comune di quanto si possa pensare al primo impatto, ed elegante, bella: quando scovata od inserita in un discorso, lascia addosso la serendipità di chi non si sia fatto sfuggire una meraviglia sapendo poi meglio interpretare il mondo - che sia il frattale di un broccolo romanesco nel piatto, o un integerrimo valore di onestà che scaturendo dal cuore si sviluppa frattalmente in ogni frammento della vita.

Un famoso aneddoto narra che a nove anni di età, quando andava a scuola, il suo insegnante, J.G. Buttner, per tenere buona la classe, ordinò agli alunni di fare la somma di tutti i numeri da 1 a 100. Poco dopo, il giovanissimo Carl diede per primo la risposta esatta, sorprendendo l'insegnante. Non si è certi di quale metodo abbia adottato Gauss per risolvere il problema; presumibilmente, egli si era accorto che, mettendo in una riga tutti i numeri da 1 a 100 e nella riga sottostante i numeri da 100 a 1, ogni colonna dava come somma 101: Carl fece dunque il prodotto 100 x 101 e divise per 2, ottenendo facilmente il risultato. Come già detto, però, i dettagli della storia sono assai incerti.

Gauss era particolarmente dotato nell'effettuare a mente conti molto complicati. Si dice che si divertisse a cercare numeri primi in un intervallo di mille numeri appena aveva del tempo libero. Dopo aver calcolato l'orbita di Cerere gli fu chiesto come avesse fatto a ottenere valori numerici così accurati. Rispose: "Ho usato i logaritmi". L'interlocutore gli chiese allora dove avesse trovato tabelle dei logaritmi che arrivavano fino a numeri così grandi. La replica di Gauss fu: "Tabelle? Li ho calcolati a mente!"

 

SCOPERTE

Tra le scoperte scientifiche di Gauss vanno ricordate:

·        il teorema fondamentale dell'algebra

·        quali sono i poligoni regolari costruibili con riga e compasso

·        introduzione dell'aritmetica modulare

·        il metodo dei minimi quadrati

 

NUMERI COMPLESSI

Il piano di gauss è un diagramma cartesiano sul quale è possibile rappresentare i numeri complessi come vettori del piano, ponendo in ascissa la parte reale e in ordinata la parte immaginaria del numero.

Anche se le vere basi ci vennero date da Eulero e De Moivre, fu solo con le pubblicazioni matematiche di Gauss che i numeri complessi entrarono a far parte del mondo matematico.

L'esistenza dei numeri complessi non è stata accettata completamente fino a che non è stata scoperta la loro interpretazione geometrica (vedi oltre) da Caspar Wesswl nel 1799, e poi riscoperta e resa famosa parecchi anni dopo da Carl Friedrich Gauss. Con Gauss la teoria dei numeri complessi ha avuto un'espansione notevole. L'idea della rappresentazione grafica dei numeri complessi era stata accennata fin da 1685, da John Wallis nel suo De Algebra tractatus.

Gauss fu il primo a dimostrare, nel 1799, il Teorema fondamentale dell'algebra, il quale afferma che il campo dei numeri complessi è algebricamente chiuso, ossia che ogni polinomio a coefficienti complessi ha almeno una radice in C {\displaystyle C} C. Dal teorema segue che un polinomio di grado n ha esattamente n radici in campo complesso, se contate con le rispettive molteplicità.

Lo studio approfondito di questo insieme comincia nel 1984 con il lavoro dei matematici Adrien Douady e John H. Hubbard, che ne scoprono molte fondamentali proprietà e gli danno il nome di Mandelbrot. 

L'articolo di copertina del numero di  dell'agosto 1985, tradotto in italiano su Le Scienze nell'ottobre dello stesso anno, rappresenta un'immagine creata da Benoît Mandelbrot, Heinz-Otto Peitgen e John H. Hubbard; in quell'articolo l'insieme è definito "l'oggetto più complesso esistente in matematica" e, grazie anche alle colorate immagini che accompagnano l'articolo, inizia la popolarità dell'insieme anche presso il grande pubblico. I matematici Heinz-Otto Peitgen e Peter Richter diventano famosi promuovendo l'insieme con fotografie, libri e raccolte d'immagini. 

Il lavoro di Douady e Hubbard coincide con una grande crescita d'interesse nella dinamica complessa e lo studio dell'insieme di Mandelbrot è subito un elemento centrale di questo campo. Una lista completa di tutti i matematici che da allora contribuiscono alla comprensione di questo insieme è al di là degli scopi di questa voce, ma una tale lista includerebbe senz'altro ai primi posti Mikhail Lyubich,  Curt McMullen, John Milnor, Mitsuhiro Shishikura e Jean-Christophe Yoccoz. 

 

I frattali sono degli oggetti matematici veri e propri, definiti in una maniera rigorosa attraverso delle formule. Lo studio della geometria frattale è tutto sommato abbastanza recente, ed inizia con Mandelbrot verso l'inizio del ventesimo secolo. Solo la potenza di calcolo fornita negli ultimi anni dall'avvento dei computer è però riuscita a mostrarci in tutti i loro dettagli questi straordinari oggetti. 

La formula che genera l'insieme di Mandelbrot è la seguente:Z=z*z+ c 

Si tratta semplicemente di quella che in analisi matematica è una parabola traslata rispetto all'origine di un termine noto c! L'incognita è indicata con z perché questa è la lettera che usualmente i matematici usano per i numeri complessi. Il frattale di Mandelbrot è infatti definito in un piano semicomplesso (due assi sono per la parte reale ed immaginaria dei numeri, e la rappresentazione avviene grazie all'uso di colori diversi) 

Seguendo rigorosamente lo schema, grazie alla semplicissima formula Z=z*z+c, si crea un oggetto estremamente bello e complesso, che è proprio il frattale di Mandelbrot. 

I frattali non sono solo oggetti matematici, privi di ogni attrattiva per chiunque non sia interessato alla materia, ma, grazie alla loro varietà e al loro piacevole aspetto grafico, possono diventare addirittura oggetto di "arte"

Abbiamo sinora visto solo l'aspetto visivo dei frattali. Essendo funzioni matematiche, è altrettanto possibile associarvi una rappresentazione sonora. L'effetto è meno diretto e sicuramente non è altrettanto gradevole.
L'altezza e la durata di una nota è scelta con lo stesso criterio con cui viene scelto il colore nella rappresentazione grafica di un punto. Ascoltando la melodia, ci si accorge di alcune regolarità e della ricorrenza di alcuni temi: è proprio questo che evidenzia l'autosimilarità che è così chiara nelle immagini. Esattamente come nella rappresentazione convenzionale, abbiamo a che fare con un "ordine nel disordine", un caos deterministico.

Gauss era particolarmente dotato nell'effettuare a mente conti molto complicati. Si dice che si divertisse a cercare numeri primi in un intervallo di mille numeri appena aveva del tempo libero. Dopo aver calcolato l'orbita di Cerere gli fu chiesto come avesse fatto a ottenere valori numerici così accurati. Rispose: "Ho usato i logaritmi". L'interlocutore gli chiese allora dove avesse trovato tabelle dei logaritmi che arrivavano fino a numeri così grandi. La replica di Gauss fu: "Tabelle? Li ho calcolati a mente!"

A Gauss viene attribuita la frase: "Sono soltanto tre i matematici che hanno fatto epoca: Archimede, Newton e Eisenstein."

Un giorno il grande esploratore tedesco Alexander von Humboldt, amico di Gauss, chiese al grande matematico francese Laplace quale fosse, a suo parere, il più grande matematico della Germania. Con sua grande sorpresa, la risposta fu: "Pfaff". "E di Gauss che ne dite?" replicò von Humboldt. "Gauss è il più grande matematico del mondo.", disse Laplace.

Tra le scoperte scientifiche di Gauss vanno ricordate:
il teorema fondamentale dell'algebra

i motivi sono molteplici :l'impossibilità di risoluzione di equazioni di secondo grado,quando il numero è negativo.

Il numero complesso è rappresentato dall'espressione :z=x+iy;dove x,y∈ R,più propriamente x si chiama”parte reale”,mentre la y si chiama”coefficiente immaginaria”.

Si definisce unità immaginaria e si indica con “i” 

i un numero (non reale) tale che i^2=−1. 

Il piano cartesiano che utilizziamo per rappresentare i numeri complessi è dettopianodiArgand-Gauss: l'asse x è detto asse realee l'asse y invece è l'asse immaginario.Egli arrivo ad un interpretazione geometrica che consiste nell'associazione di ogni numero complesso:z=x+iy a un punto nel piano euclideo R^2.

La parte reale e la parte immaginaria assumono il ruolo rispettivamente di ascissa e di ordinata:P(x;y)=(Re”z”;Im”i”)ed il piano è chiamato appunto Piano di Gauss.

I numeri complessi si comportano in modo simile ai vettori bidimensionali e perciò soddisfano la regola del parallelogramma.

dove e è la base dei logaritmi naturali, i è l'unità immaginaria e seno e coseno sono funzioni trigonometriche.

Si dice quindi geometria frattale, la geometria (non euclidea) che studia queste strutture, ricorrenti ad esempio nella progettazione ingegneristica di reti, nel moto browniano e nelle galassie^[1].

Questa caratteristica è spesso chiamata auto similarità oppure autosomiglianza. Il termine frattale venne coniato nel 1975 da Benoît Mandelbrot nel libro Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension per descrivere alcuni comportamenti matematici che sembravano avere un comportamento "caotico", e deriva dal latino fractus (rotto, spezzato), così come il termine frazione; infatti le immagini frattali sono considerate dalla matematica oggetti di dimensione anche non intera.

Un punto c del piano complesso appartiene all'insieme se la successione definita ricorsivamente dalla formula

z(n+1) = z(n)*z(n) + c

con z(0) = 0

non diverge.

Cosa ha di speciale questo insieme?  la sua frontiera (cioè il suo perimetro) è una curva frattale, uno dei frattali più complessi che si conoscano.

Un altro aneddoto, più verosimile, racconta che a 9 anni il suo insegnante, J.G. Büttner, per mettere a tacere i turbolenti allievi ordinò loro di fare la somma dei numeri da 1 a 100. Quasi subito il bimbo Gauss diede la risposta esatta, sorprendendo l'insegnante ed il suo assistente Martin Bartels. Non si è certi di quale metodo abbia adottato Gauss; forse mise in una riga i numeri da 1 a 100 e in una riga sotto i numeri da 100 a 1, e vide che ogni colonna dava come somma 101: Carl moltiplicò 100 × 101 e divise per due, ottenendo il risultato corretto.

 Si tratta di una parabola traslata rispetto all'origine di un termine noto c. L'incognita è indicata con z perché questa è la lettera che usualmente i matematici usano per i numeri complessi. Il frattale di Mandelbrot è definito in un piano semi-complesso (due assi sono per la parte reale ed immaginaria dei numeri, e la rappresentazione avviene grazie all'uso di colori diversi). Il modo di procedere può essere molto brevemente descritto nel modo seguente: per ogni punto X del piano complesso, si pone c = X, e poi, a partire da z = 0 + i*0, si calcola Z con la formula descritta sopra. 

 e^{ix}=cos x+isin x

dove e è la base dei logaritmi naturali, i è l'unità immaginaria e seno e coseno sono funzioni trigonometriche.

Si tratta di una relazione usata per rappresentare i numeri complessi in coordinate polari, e che permette la definizione del logaritmo per argomenti complessi. La rappresentazione della funzione e^ix nel piano complesso è un cerchio unitario, e x è l'angolo che un segmento che collega l'origine a un punto del cerchio unitario forma con l'asse reale positivo, misurato in senso antiorario e in radianti.
La formula di Eulero dà origine ad un'identità considerata tra le più affascinanti della matematica, nota come identità di Eulero, che mette in relazione tra loro cinque simboli che sono alla base dell'analisi matematica: e, i, π, 1 e 0:

e^(i*π)+1=0

In Giappone, ad esempio, tutti questi trasferimenti interbancari di denaro avvengono tramite una speciale rete informatica fornita dalla Banca del Giappone, la quale registra ed analizza i dati dettagliati del trasferimento di denaro effettivo tra le banche. La quantità totale di flusso di denaro tra le banche giapponesi in un giorno è di circa 30 mila miliardi di yen, con un numero di transazioni giornaliere pari a circa 10 mila. Analizzando la corrispondenza fra queste due grandezze si può osservare un comportamento molto simile al caso precedente del prezzo del cotone.

Le tendenze irregolari dell’andamento della borsa sono raggruppate per dimensioni: le grosse variazioni arrivano in rapida successione seguite da sequenze di piccole variazioni. Il comportamento della borsa è quindi una struttura frattale.

 Si tratta di una parabola traslata rispetto all'origine di un termine noto c. L'incognita è indicata con z perché questa è la lettera che usualmente i matematici usano per i numeri complessi. Il frattale di Mandelbrot è definito in un piano semicomplesso (due assi sono per la parte reale ed immaginaria dei numeri, e la rappresentazione avviene grazie all'uso di colori diversi). Il modo di procedere può essere molto brevemente descritto nel modo seguente: per ogni punto X del piano complesso, si pone c = X, e poi, a partire da z = 0 + i*0, si calcola Z con la formula descritta sopra. 

• i punti della successione z1, z2, ... rimangono tutti in un intorno dell’origine; 

• i punti della successione z1, z2, ... si allontanano definitivamente dall’origine e tendono all’infinito. 

I punti liberi, cioè quelli che si allontanano verso l’infinito, formano l’insieme dei punti di fuga, gli altri formano l’insieme prigioniero o prigione. La forma della prigione dipende dalla scelta di w. L’insieme di fuga e l’insieme prigione sono separati da una frontiera detta insieme di Julia. Sono punti di fuga quelli che si trovano a una distanza maggiore o uguale a 2 dall’origine; sono punti prigionieri quelli che si trovano a una distanza minore di 2 dall’origine. L’insieme di Mandelbrot è costituito dai punti w per i quali si ottengono insiemi di Julia connessi. Tale insieme permette pertanto di indicizzare gli insiemi di Julia. A ogni punto w del piano complesso corrisponde un diverso insieme di Julia che risulta connesso se w appartiene all’insieme di Mandelbrot, non connesso se non vi appartiene. 

Sorprendentemente, opere che hanno fatto la storia delle letteratura hanno frasi organizzate secondo una struttura geometrica "a frattali". Anche la Bibbia

Brutte notizie per gli umanisti che odiano la matematica. Non se ne esce: anche nei grandi romanzi si nascondono oggetti matematici come i frattali – e, in quelli che sono basati sul flusso di coscienza, addirittura multifrattali.

Un’analisi statistica effettuata presso L’Istituto di fisica nucleare dell’Accademia polacca delle scienze ha infatti rivelato che, indipendentemente dalla lingua usata, grandi romanzi di autori internazionali come James Joyce, Julio Cortazar, Marcel Proust, Henryk Sienkiewicz e Umberto Eco (ovviamente di Eco hanno studiato Il nome della rosa) sono accomunati nella scrittura dalla costruzione di strutture frattali, ossia figure che si ripetono a cascata su scale diverse. E non solo, certe volte si trovano pure forme molto più complesse che in matematica sono conosciute come multifrattali, ovvero frattali di frattali.

I frattali sono oggetti matematici auto-simili: andando a guardare nel dettaglio un frammento di un frattale, la forma che emerge è identica a quella del particolare da cui si è partiti. I più famosi frattali sono quelli di Sierpinski o di Mandelbrot e sono detti monofrattali, il che significa che, quando si allarga, si ottiene l’effetto di ritrovare la forma originale muovendosi sempre con lo stesso ritmo in ogni parte del frattale. Ci sono poi i multifrattali, che nascono da intrecci di frattali e che, per dare luogo a questo stesso effetto, devono essere trattati allargando con velocità diverse in diversi punti.

Come si legge sulla rivista Information Sciences, i fisici di Cracovia hanno compiuto un’analisi statistica di oltre cento famose opere della letteratura mondiale, in diverse lingue e di diversi generi andando alla ricerca di correlazioni nella variazione delle lunghezze delle frasi ed è qui che sono emerse le dinamiche delle cascate.  Le 113 opere considerate erano scritte in inglese, francese, tedesco, italiano, polacco, russo e spagnolo da scrittori come Honoré de Balzac, Arthur Conan Doyle, Julio Cortazar, Charles Dickens, Dostoevskij, Alexandre Dumas, Umberto Eco, George Elliot Victor Hugo, James Joyce, Thomas Mann, Marcel Proust, Wladyslaw Reymont, William Shakespeare, Henryk Sienkiewicz, JRR Tolkien, Lev Tolstoj e Virginia Woolf. Ogni opera non aveva meno di 5mila parole (al fine di garantire l’affidabilità statistica).

I romanzi sono stati trasfigurati in senso matematico convertendo ogni frase nel numero delle sue parole e poi gli scienziati sono andati alla ricerca di relazioni (come per esempio una legge lineare). La domanda che si ponevano è: se una frase di una data lunghezza era x volte più lunga di un’altra, lo stesso rapporto era conservato quando si guardava a frasi più lunghe (o più corte)?
“Tutti i testi esaminati hanno mostrato auto-similarità in termini di organizzazione delle lunghezze delle frasi. Alcuni erano più espressivi, come per esempio Gli ambasciatori di Henry James. Le correlazioni erano evidenti e quindi in questi testi c’era la costruzione di un frattale”, ha spiegato Pawel Oswiecimka, che ha anche però sottolineato che, ovviamente, la frattalità di un testo letterario non sarà mai perfetta come quella nel mondo della matematica, dove è invece possibile andare a ingrandire all’infinito.

Più di una dozzina di opere hanno rivelato una struttura mutifrattale e quasi tutte appartenevano a genere del flusso di coscienza (con Finnegans Wake di Joyce più multifrattale di tutti). Anche la Bibbia, in particolare l’Antico Testamento, era molto multifrattale, così come L’opera struggente di un formidabile genio di Dave Eggers, Rayuela di Julio Cortazar, The Usa. Trilogy di John Dos Passos, Le Onde di Virginia Woolf, 2666 di Roberto Bolano, e l’Ulisse di Joyce. In alcune opere chiaramente basate sul flusso di coscienza, Atlas Shrugged di Ayn Rand e A la recherche du temps perdu di Marcel Proust, invece, la struttura multifrattale era appena percepibile.

 

Marcial ovvero Marziale (il termine francese avant-garde deriva dal linguaggio militare e indica il reparto che apre il cammino agli altri) è un uomo primitivo che trasforma il suo modo di nutrirsi “osservando, pensando e creando”, accompagnato e raccontato dalla voce fuori campo di Ferran Adrià. In un gioco di parole e di metafore, tra la scoperta e la creazione di strumenti per cucinare e giocare, il grande chef si domanda se anche in futuro si creerà nella stessa maniera. 
Un originalissimo spunto è quello di Susi Diaz de La Finca, una delle poche chef donna presenti al congresso, stupisce con un intervento che parla di cucina dei frattali. Un frattale – come recita Wikipedia – è un oggetto geometrico che si ripete nella sua forma allo stesso modo su scale diverse e dunque ingrandendo una qualunque sua parte si ottiene una figura simile all’originale. Susi prepara un riso nero con verdure e polpo e, quando ha finito, sorprende tutti domandando se questo è la fine o l’inizio del piatto… Così, attraverso un video, dimostra come in realtà si tratti della base per altri 11 piatti – zuppa, bon bon, gelato, fritti… – perché anche “la cucina può avere infinite facce con un solo ingrediente”.

 La formula di Eulero afferma che, per ogni numero reale{\displaystyle x} si ha:               

   e 𝑗𝑧 = cos 𝑧 + 𝑗 sen 𝑧 ,

{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}dove e è la base dei logaritmi naturali, i è l'unità immaginaria e seno e coseno sono funzioni trigonometriche.

 

 

Frattale agg. e s. m. [dal fr. fractal (termine introdotto nel 1975 dal matematico fr. B. Mandelbrot), der. del lat. fractus, part. pass. di frangĕre «spezzare» (v. fratto)]. – In matematica, denominazione di particolari enti geometrici (oggetti f. o assol. frattali) che possono essere caratterizzati da un numero non intero (cioè frazionario: e di qui il nome) di dimensioni, e quindi risultare, per es., intermedî tra quelli unidimensionali (linee) e quelli bidimensionali (superfici); sono solitamente definiti per mezzo di procedure ricorsive, e godono di determinate proprietà di scala, per cui rappresentazioni in scale diverse di uno stesso oggetto frattale presentano similitudini strutturali: in altri termini, se si ingrandisce con un opportuno fattore di scala una porzione comunque piccola dell’oggetto, si manifestano caratteristiche strutturali che riproducono quelle dell’oggetto non ingrandito.

Ai giorni nostri, l'inadeguatezza della geometria euclidea nella descrizione nella natura è un dato difficilmente contestabile. Dalla fine del XIX secolo la scienza si è orientata verso lo studio di sistemi complessi: basti pensare allo sviluppo eccezionale che ha avuto la teoria quantomeccanica o quella della relatività. Queste due teorie dimostrano come la ricerca non sia più legata all'immediata comprensibilità da parte dell'uomo. Questa tendenza alla complessità, può essere bene esemplificata appunto dai frattali, figure geometriche complesse e caotiche determinate per approssimazione di una funzione ricorsiva: noi non potremo mai sapere come sia la figura finale che ha le proprietà di un frattale, ma dovremo limitarci ad un'approssimazione, che può essere indicativa ma non è il frattale. Queste problematiche hanno dato l'avvio allo studio del "caos deterministico", cioè di situazioni di disordine ottenute però da processi matematico-fisici deterministici. Curiosità:            nella fisiologia umana possiamo individuare strutture riconducibili ai frattali: tra queste, i vasi sanguigni, le fibre nervose e le strutture canalizzate.
 Da studi e misurazioni effettuati sul polmone umano e di altre specie di mammiferi è risultato che dette misurazioni mostrano i rapporti tipici di oggetti frattali. Anche se i vari organi assolvono a funzioni differenti, la loro struttura frattale consente di comprimere nel minimo spazio grandi capacità di estensione: se si pensa che la capacità respiratoria di un animale è direttamente correlata alla superficie dei suoi polmoni, e che questi, in un individuo normale, occupano uno spazio grande quasi come un campo da tennis, si comprende quanto efficace sia stata la scelta "frattale" fatta dalla natura per lo sviluppo dei nostri organi.

Il feto, secondo un’ipotesi ormai accreditata presso molti studiosi, sembra seguire una dinamica frattale nel suo processo di sviluppo e, inoltre, come non pensare ai frattali quando si guarda la doppia elica dei filamenti del DNA presente in ogni parte del nostro corpo?

 

La foglia di felce: la foglia di felce è uno degli esempi più esilaranti della presenza della geometria frattale in natura: la sua struttura infatti, si ripete nelle foglie più piccole che compongono quella grande.

Le chiocciole: il guscio della chiocciola è un altro esempio di frattale in natura. Il modello sul quale questo elemento si basa è la spirale che venne presa in considerazione per la prima volta da Archimede che scrisse un trattato intitolato “Sulle Spirali”.

La foglia di platano: in natura esistono un’immensa quantità di foglie strutturate secondo uno schema geometrico frattale e quella di platano è una di esse. Attraverso l’uso di quadrati si può riprodurre la foglia di platano con la geometra frattale.

Nel 1799 l’astronomo italiano Giuseppe Piazzi scoprì l’asteroide Cerere, ma lo poté seguire solo per alcuni giorni perché scomparve dietro la Luna. Gauss, che era nascosto dietro una tenda arabescata, calcolò il punto esatto in cui il corpo celeste sarebbe riapparso. Cerere, dopo qualche mese, fece capolino proprio nel punto indicato da Gauss.

Pare che avesse scoperto prima di altri colleghi i fondamenti della geometria non euclidea, ma che si fosse rifiutato di diffonderli per paura di dover affrontare le enormi discussioni che avrebbe sollevato.

E Come racconta Isaac Asimov, un giorno Gauss venne interrotto mentre stava risolvendo un problema numerico. Sua moglie stava morendo. Avrebbe risposto: “Ditele di aspettare finché non ho finito”.

Quest'ultimo fatto lo possiamo facilmente verificare per il fiocco di neve appena visto.  Ad ogni iterazione la lunghezza della curva cresce di un fattore 4/3: se il segmento di partenza ha lunghezza pari a 1, il secondo misura 4/3, il terzo 16/9, il quarto 64/27 e così via.  Questa successione è chiaramente divergente, cioè tende ad assumere un valore infinito.  Ma non è tutto: ogni pezzo del fiocco di neve, anche piccolissimo, gode della proprietà dell'autosimilitudine cioè contiene in sé un'infinita ricchezza di particolari, di minuscoli fiocchi di neve, e quindi anch'esso è di lunghezza infinita.

Cosa ha di speciale questo insieme?  E' presto detto: la sua frontiera (cioè il suo perimetro) è una curva frattale, uno dei frattali più complessi che si conoscano.La figura  mostra M nella sua interezza: i punti dell'insieme sono quelli di colore nero all'interno della grossa cardioide mentre gli altri colori sono usati per indicare le diverse velocità con cui la successione diverge, come spiegato più avanti.