Con Hilbert (1862-1943) si affaccia la concezione formalista della matematica. Egli appartiene pienamente al XX secolo in quanto avverte l’esigenza fondamentale di determinare la non contraddittorietà di un sistema assiomatico: esso esiste, gli enti matematici esistono, se l’ammissione della loro esistenza non è contraddittoria. I criteri di valutazione di un dato sistema di assiomi sono di tipo formale: si richiederanno la coerenza del sistema ed ancora l’ indipendenza di ciascun assioma dagli altri.

Non casualmente questi requisiti sono soddisfatti dalla ricostruzione della geometria euclidea che lo stesso Hilbert aveva compiuto nei suoi  Fondamenti della geometria (1899). 

E un corollario del” teorema di incompletezza di Gödel” afferma che nessun sistema formale o calcolo logico, supposto non contraddittorio, può sostenere, nel suo interno, la dimostrazione della propria non-contraddittorietà. Se il calcolo è coerente, dunque, esso è tale che non è dimostrabile al suo interno la formula che esprime la sua coerenza; non è quindi possibile dimostrare la non contraddittorietà di un sistema attraverso ciò che appartiene allo stesso sistema , attraverso cioè assiomi, definizioni, regole di deduzione proprie del sistema dato. Per farlo occorre ricorrere ad un sistema più ampio, più ricco di mezzi logici rispetto al primo. Secondo Gödel la non contraddittorietà di una teoria non è quindi una prova assoluta ma relativa.