Mapa Mental Matemática by Fernando Medeiros

Matrizes

fernandogdemedeirosw — 2021-07-26 17:57:19 UTC

O que são matrizes?

fernandogdemedeirosw — 2021-07-26 17:58:18 UTC

Chamamos de matriz uma tabela com números organizados por linhas e colunas, representadas por m x n (m = linhas, n = colunas). As matrizes servem para relacionar dados numéricos, portanto, as matrizes têm muitas aplicações, que são úteis em várias áreas além da matemática.

fernandogdemedeirosw — 2021-07-26 18:05:01 UTC

Matrizes Especiais

fernandogdemedeirosw — 2021-07-26 18:06:20 UTC

Matriz Linha: Quando a matriz é formada por apenas 1 linha.

fernandogdemedeirosw — 2021-07-26 18:09:08 UTC

Matriz Coluna: Quando a matriz é formada por apenas 1 coluna.

fernandogdemedeirosw — 2021-07-26 18:10:31 UTC

Matriz Nula: Quando a matriz é formada por elementos iguais a 0.

fernandogdemedeirosw — 2021-07-26 18:10:53 UTC

Matriz Quadrada: Quando o número de linhas e colunas são iguais.

fernandogdemedeirosw — 2021-07-26 18:11:04 UTC

Determinantes de Matriz

fernandogdemedeirosw — 2021-07-26 18:21:23 UTC

Matriz Inversa: A matriz inversa é uma matriz quadrada. Ela ocorre quando o produto de duas matrizes for igual a uma matriz identidade quadrada de mesma ordem.

fernandogdemedeirosw — 2021-07-26 18:29:15 UTC

Matriz Transposta: A transposta de uma matriz A é uma matriz que apresenta os mesmos elementos de A, só que colocados em uma posição diferente. Ela é obtida transportando-se ordenadamente os elementos das linhas de A para as colunas da transposta.

fernandogdemedeirosw — 2021-07-26 21:35:39 UTC

Matriz Identidade: A matriz identidade ocorre quando os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1 e os outros elementos são iguais a 0:

fernandogdemedeirosw — 2021-07-26 21:44:27 UTC

Matriz Oposta: Na matriz oposta, os elementos entre duas matrizes apresentam sinais diferentes, por exemplo:

fernandogdemedeirosw — 2021-07-26 21:48:52 UTC

Matrizes de Ordem 1: Quando temos uma matriz de ordem 1, a matriz possui um único elemento, o a11. Nesse caso o determinante da matriz coincide com esse seu único termo. A = (a11) det(A) = | a11 | = a11

fernandogdemedeirosw — 2021-07-26 22:02:50 UTC

Matrizes de Ordem 2: Para calcular o determinante de uma matriz de ordem 2, calculamos a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal e os termos da diagonal secundária. Utilizando o exemplo algébrico que construímos, o det(A) será:

fernandogdemedeirosw — 2021-07-26 22:03:55 UTC

Matriz de Ordem 3: Na matriz de ordem 3, nós utilizamos a regra de Sarrus. A regra de Sarrus é um método para calcular-se determinantes de matrizes de ordem 3. É necessário seguir alguns passos, sendo o primeiro duplicar as duas primeiras colunas no final da matriz, depois vamos multiplicar os termos de cada uma das três diagonais que estão no mesmo sentido da diagonal principal. Realizaremos um processo parecido com a diagonal secundária e as outras duas diagonais que estão no mesmo sentido que ela. Note que os termos da diagonal secundária estão sempre acompanhados com o sinal negativo, ou seja, sempre trocaremos o sinal do resultado da multiplicação dos termos da diagonal secundária.

fernandogdemedeirosw — 2021-07-26 22:07:48 UTC

Propriedades dos Determinantes

fernandogdemedeirosw — 2021-07-26 22:21:00 UTC

P1 - Matriz Transposta

fernandogdemedeirosw — 2021-07-26 22:46:22 UTC

Se M é a matriz de ordem n e Mt sua transposta, então det Mt = det M.

P2 - Fila Nula

fernandogdemedeirosw — 2021-07-26 22:48:28 UTC

Se os elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) de uma matriz M de
ordem n forem todos nulos, então det M = 0.

P3 - Multiplicação de uma fila por uma constante

fernandogdemedeirosw — 2021-07-26 22:49:07 UTC

Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz M de ordem n por número
K, o determinante da nova matriz M' obtida será o produto de K pelo determinante
de M, isto é, det M' = K . det M.

P4 - Troca de filas paralelas

fernandogdemedeirosw — 2021-07-26 22:50:38 UTC

Seja M uma matriz de ordem n >= 2. Se trocarmos de posição duas filas
paralelas (duas linhas ou duas colunas), obteremos uma nova matriz M' tal que
det M' = -det M.

P5 - Filas Paralelas Iguais

fernandogdemedeirosw — 2021-07-26 22:52:36 UTC

Se uma matriz M de ordem n >= 2 tem duas filas paralelas (duas linhas ou duas
colunas) formadas por elementos respectivamente iguais, então det M = 0.

P6 - Teorema de Cauchy

fernandogdemedeirosw — 2021-07-26 22:53:56 UTC

A soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer de uma matriz M,
ordenadamente, pelos cofatores dos elementos de uma fila paralela, é igual a zero.

P7 - Filas paralelas proporcionais

fernandogdemedeirosw — 2021-07-26 22:55:06 UTC

Se uma matriz M de ordem n >= 2 tem duas filas paralelas (duas linhas ou duas
colunas) formadas por elementos respectivamente proporcionais, então det M = 0.

P8 - Adição de determinantes

fernandogdemedeirosw — 2021-07-26 22:56:03 UTC

Seja M uma matriz de ordem n, em que os elementos da j-ésima coluna são
tais que:

P9 - Teorema da combinação linear

fernandogdemedeirosw — 2021-07-26 22:59:38 UTC

Se uma matriz quadrada M = aij , de ordem n, tem uma linha (ou coluna) que
é combinação linear de outras linhas (ou colunas), então det M = 0.

Então, teremos:det M = det M' + det M"em que M' é a matriz que se obtém de M, substituindo os elementos aij da j-ésimacoluna pelos elementos bij (1 =< i =< n), e M" é a matriz que se obtém de M, substituindoos elementos aij da j-ésima coluna pelos elementos cij (1 =
fernandogdemedeirosw — 2021-07-26 23:01:09 UTC

P10 - Teorema de Jacobi

fernandogdemedeirosw — 2021-07-26 23:03:24 UTC

Adicionando a uma fila de uma matriz M, de ordem n, uma outra fila paralela,
previamente multiplicada por uma constante, obteremos uma nova matriz M', tal que
det M' = det M.

P11 - Matriz triangular

fernandogdemedeirosw — 2021-07-26 23:04:14 UTC

Chamamos matriz triangular aquela cujos elementos situados “de um mesmo
lado” da diagonal principal são iguais a zero, isto é, M = aij é triangular se
aij = 0 para i < j

ou

aij = 0 para i > j
O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal
principal.

P12 - Teorema de Binet

fernandogdemedeirosw — 2021-07-26 23:06:59 UTC

Se A e B são matrizes quadradas de ordem n, então
det (A . B) = (det A) . (det B)

Operações com Matrizes

fernandogdemedeirosw — 2021-07-27 18:35:20 UTC

Matriz Simétrica

fernandogdemedeirosw — 2021-07-27 18:46:24 UTC

Uma matriz A é simétrica quando é igual a sua transposta, isto é, A = At.

Matriz Antissimétrica

fernandogdemedeirosw — 2021-07-27 18:47:59 UTC

Uma matriz A é antissimétrica quando sua transposta é igual a sua oposta, isto é,
At = -A.

Como calcular determinantes

fernandogdemedeirosw — 2021-07-27 18:50:15 UTC

Matriz Triangular Inferior e Superior:

fernandogdemedeirosw — 2021-07-27 18:54:17 UTC

Uma matriz é triangular quando os elementos que estão acima da diagonal principal ou os elementos que estão abaixo da diagonal principal são todos nulos. Existem duas classificações possíveis para esse tipo de matriz: a primeira é quando os elementos que estão acima da diagonal principal são nulos, o que configura uma matriz triangular inferior; a segunda é quando os elementos que estão abaixo da diagonal principal são nulos, configurando uma matriz triangular superior.

fernandogdemedeirosw — 2021-07-27 18:55:44 UTC

Matriz Diagonal:

fernandogdemedeirosw — 2021-07-27 18:57:28 UTC

A matriz diagonal é um caso particular de matriz triangular. Nela os únicos termos que são diferentes de zero são aqueles que estão contidos na diagonal principal. Já os termos que estão acima ou abaixo da diagonal principal são todos iguais a zero.

Definição

fernandogdemedeirosw — 2021-07-27 18:59:35 UTC

O determinante é um número associado a uma matriz quadrada, é como um “resumo numérico” das informações que ela continha. Ele é calculado com operações específicas dependendo da ordem da matriz. Indicamos o determinante de A como det A ou colocando os seus elementos numéricos entre barras.

Menor complementar:

fernandogdemedeirosw — 2021-07-27 19:15:58 UTC

Consideremos uma matriz M de ordem n >= 2; seja aij um elemento de M.
Definimos menor complementar do elemento aij, e indicamos por Dij, como sendo o
determinante da matriz que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j de M.

Complemento Algébrico:

fernandogdemedeirosw — 2021-07-27 19:16:58 UTC

Consideremos uma matriz de ordem n >= 2; seja aij um elemento de M. Definimos
complemento algébrico do elemento aij (ou cofator de aij) e indicamos por Aij,
o número (-1)i + j = Dij.

Determinante de ordem n >= 2(Com o teorema de laplace):

fernandogdemedeirosw — 2021-07-27 19:28:19 UTC

O determinante de uma matriz de ordem n >= 2 é a soma dos produtos
dos elementos de qualquer lista pelos seus respectivos cofatores.

Adição

fernandogdemedeirosw — 2021-07-27 19:39:49 UTC

Dadas duas matrizes, A = (aij)m 3 n e B 5 (bij)m x n, chama-se soma A + B a matriz C = (cij)m x n tal que cij = aij + bij, para todo i e todo j. Isso significa que a soma de duas matrizes A e B do tipo m x n é uma matriz C do mesmo tipo em que cada elemento é a soma dos elementos correspondentes em A e B.

Multiplicação de matrizes por um número real

fernandogdemedeirosw — 2021-07-27 19:43:34 UTC

Dado um número k e uma matriz A 5 (aij)m 3 n, chama-se produto kA a matriz B 5 (bij)m 3 n tal que bij 5 k ? aij para todo i e todo j. Isso significa que multiplicar uma matriz A por um número k é construir uma matriz B formada pelos elementos de A todos multiplicados por k.

Produto de matrizes

fernandogdemedeirosw — 2021-07-27 20:01:22 UTC

Dadas duas matrizes, A = (aij)m x n e B = (bjk)n x p , chama-se produto AB a matriz C = (cik)m x p tal que

Sistemas Lineares

fernandogdemedeirosw — 2021-07-27 20:06:30 UTC

Definição

fernandogdemedeirosw — 2021-07-27 20:09:06 UTC

É um conjunto de m (m > 1) equações lineares, com n equações e n incógnitas.

Tipos

fernandogdemedeirosw — 2021-07-27 20:39:44 UTC

Possiveis e determinados

fernandogdemedeirosw — 2021-07-27 20:39:52 UTC

Sistemas lineares que têm solução única

Possíveis e indeterminados

fernandogdemedeirosw — 2021-07-27 20:40:04 UTC

Possui uma quantidade infinita de soluções

Impossíveis

fernandogdemedeirosw — 2021-07-27 20:40:27 UTC

Caso um sistema não tenha nenhuma solução,
diremos que o mesmo é impossível ou incompatível

Representando Sistemas com matrizes

fernandogdemedeirosw — 2021-07-27 20:48:52 UTC

Lembrando a definição de produto de matrizes, notemos que o sistemas lineares
pode ser escrito na forma matricial.

Formas de Solucionar:

fernandogdemedeirosw — 2021-07-27 21:00:22 UTC

Teorema de Crammer

fernandogdemedeirosw — 2021-07-27 21:01:43 UTC

Consideremos um sistema linear em que o número de equações é igual ao número
de incógnitas (isto é, m = n). Nessas condições, A é matriz quadrada; seja D = det (A).
Seja S um sistema linear com número de equações igual ao de incógnitas.
Se D ≠ 0, então o sistema será possível e terá solução única (α1, α2, α3, …, αn),
tal que

em que Di é o determinante da matriz obtida de A, substituindo-se a i-ésima colunapela coluna dos termos independentes das equações do sistema.

fernandogdemedeirosw — 2021-07-27 21:04:49 UTC

fernandogdemedeirosw — 2021-07-27 21:09:11 UTC

Solução de sistemas escalonados

fernandogdemedeirosw — 2021-07-27 21:10:24 UTC

Tipos de matrizes

fernandogdemedeirosw — 2021-07-28 00:40:55 UTC

1º Tipo - Número de equações igual ao número de incógnitas.

fernandogdemedeirosw — 2021-07-28 00:47:27 UTC

Pelo teorema de Cramer, S é possível e determinado. Os valores α1, α2, α3, …, αn da solução podem ser obtidos resolvendo o sistema por substituição. Partindo da última equação, obtemos xn; em seguida, substituindo esse valor na equação anterior, obtemos xn - 1. Repetindo esse procedimento, vamos obtendo xn - 2, xn - 3, …, x3, x2, x1.

2º Tipo - Número de equações menor que o número de incógnitas

fernandogdemedeirosw — 2021-07-28 01:05:43 UTC

Para resolvermos tal sistema, podemos tomar as incógnitas que não aparecem no começo de nenhuma das equações (chamadas variáveis livres) e transpô-las para o segundo membro. O novo sistema assim obtido pode ser visto como um sistema contendo apenas as incógnitas do primeiro membro das equações. Nesse caso, atribuindo valores a cada uma das incógnitas do 2º membro, teremos um sistema do 1º tipo, portanto, determinado; resolvendo-o, obteremos uma solução do sistema. Se atribuirmos outros valores às incógnitas do 2º membro, teremos outro sistema, também determinado; resolvendo-o, obteremos outra solução do sistema. Como esse procedimento de atribuir valores às incógnitas do 2º membro pode se estender indefinidamente, segue-se que podemos extrair do sistema original um número infinito de soluções.

Sistemas escalonados:

fernandogdemedeirosw — 2021-07-28 01:17:55 UTC

Definição:

fernandogdemedeirosw — 2021-07-28 01:42:56 UTC

Dado um sistema linear em que em cada equação existe pelo menos um coeficiente não nulo, dizemos que S está na forma escalonada, se o número de coeficientes nulos, antes do primeiro coeficiente não nulo, aumenta de equação para equação.

Escalonamento de um sistema:

fernandogdemedeirosw — 2021-07-28 01:50:10 UTC

Dizemos que dois sistemas lineares S1 e S2 são equivalentes se toda solução de S1 for solução de S2 e toda solução de S2 for solução de S1.

Teorema 1:

fernandogdemedeirosw — 2021-07-28 01:53:06 UTC

Multiplicando-se os membros de uma equação qualquer de um sistema linear S por um número K ≠ 0, o novo sistema S' obtido será equivalente a S.

Teorema 2:

fernandogdemedeirosw — 2021-07-28 01:54:52 UTC

Se substituirmos uma equação de um sistema linear S pela soma, membro am embro, dela com uma outra, o novo sistema obtido, S', será equivalente a S.

Escalonamento do sistema:

fernandogdemedeirosw — 2021-07-28 01:55:45 UTC

Para escalonarmos um sistema, teremos que seguir vários passos, todos eles baseados nos teoremas 1 e 2.
1º passo Colocamos como 1ª equação aquela em que o coeficiente da 1ª incógnita seja
diferente de zero.
2º passo Anulamos o coeficiente da 1ª incógnita de todas as equações (com exceção
da 1ª), substituindo a i-ésima equação (i >= 2) pela soma desta com a 1ª multiplicada
por um número conveniente.
3º passo Deixamos de lado a 1ª equação e aplicamos o 1º e o 2º passos nas equações
restantes.
4º passo Deixamos de lado a 1ª e a 2ª equações e aplicamos o 1º e o 2º passos nas
equações restantes, e assim por diante, até o sistema ficar escalonado. Os exemplos
a seguir esclarecerão o assunto.

2021-08-01 02:05:41 UTC
Seja M uma matriz de ordem n >= 2. Se trocarmos de posição duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas), obteremos uma nova matriz M' tal que det M' = -det M.