[Ari1] 5. La divisibilità by Istituto Italiano Edizioni Atlas divisione di Zanichelli editore S.p.A.

Informazioni preliminari

edizioniatlas — 2022-03-07 13:13:40 UTC

- La lezione permette di acquisire e rinforzare conoscenze e competenze fondamentali sul concetto di divisibilità.
- Il percorso offre la possibilità di approcciare attraverso strumenti multimediali: audio, video, slide, esercizi interattivi in formato Google Moduli, pdf scaricabili e software gratuiti online.
- La lezione segue il metodo induttivo: a partire da una situazione reale, lo studente impara ad operare con i criteri di divisibilità e con i numeri primi per determinare il M.C.D. e il m.c.m.

Obiettivi di apprendimento

edizioniatlas — 2022-03-07 13:13:45 UTC

Conoscenze: conoscere i multipli e i divisori di un numero; conoscere i criteri di divisibilità; saper distinguere i numeri primi dai numeri composti; conoscere i concetti di M.C.D. e m.c.m.
Abilità: calcolare i multipli e i divisori di un numero; applicare i criteri di divisibilità; calcolare il M.C.D. e il m.c.m. di due o più numeri
Competenze: muoversi con sicurezza tra multipli e divisori, applicare i criteri di divisibilità e operare con i numeri primi per il calcolo di M.C.D. e m.c.m.
Competenze digitali: utilizzare i mezzi informatici per cercare ed elaborare informazioni; lavorare in gruppo, anche a distanza, condividendo materiali ed elaborati; comprendere e produrre elaborati digitali

Verifiche in Google Moduli

edizioniatlas — 2022-03-07 13:13:51 UTC

Per usare i Moduli Google nelle proprie Google Classroom e, quindi, ricevere in modo automatico i risultati degli studenti, i moduli vanno copiati nel proprio spazio Google Drive e condivisi da lì mediante link. Il modulo nel vostro Drive sarà anche completamente modificabile. Per copiare i moduli vai ai seguenti link:

Il concetto di multiplo

edizioniatlas — 2022-08-24 13:38:11 UTC

Sei per uno: sei; sei per due: dodici; sei per tre: diciotto; sei per quattro: ventiquattro; ...

Quante volte, alla scuola Primaria, hai recitato le tabelline?
Queste "filastrocche matematiche" che tutti noi abbiamo imparato e memorizzato fin da piccoli altro non sono che l’elenco dei primi dieci multipli dei numeri naturali da 1 a 10.
Ma cos'è un multiplo? In generale, si dice multiplo di un numero ciascun numero naturale che contiene più volte il numero stesso.

Guarda il video per scoprire come ottenere i multipli di un numero.

Il tesoro dei pirati

edizioniatlas — 2022-08-24 14:20:00 UTC

Luca e Francesca si sfidano a un avvincente gioco online, Il tesoro dei pirati: l'obiettivo è quello di trovare uno scrigno pieno di gioielli nascosto dai pirati su un’isola deserta. Per arrivare al tesoro si devono superare 5 livelli. Ad ogni livello superato si ottengono 5 monete d’oro. Chi per primo riuscirà a superare tutti i livelli otterrà la vittoria.

Completa la tabella in allegato indicando quante monete si hanno a disposizione dopo aver superato ciascun livello.
Quante monete si devono conquistare per vincere il gioco?
Francesca è riuscita a superare solo i primi due livelli; quante monete ha conquistato?

In matematica i numeri 5, 10, 15, 20 e 25 rappresentano alcuni multipli di 5 e si ottengono moltiplicando il numero 5 per la successione dei primi 5 numeri naturali. Dal punto di vista matematico possiamo rappresentare l'insieme dei multipli di 5 nel modo seguente: M₅ = {5; 10; 15; 20; 25 ...}.

Prova tu - Ora che hai scoperto tutto quello che c'è da sapere sul concetto di multiplo, svolgi i seguenti esercizi.

Rappresenta l'insieme dei primi 10 multipli di 12.
Calcola i multipli di 7 minori di 100.
Calcola i multipli di 3 e i multipli di 6 maggiori di 20 e minori di 50. Ci sono multipli comuni?

La successione di Fibonacci

edizioniatlas — 2022-08-24 14:29:41 UTC

Leonardo Pisano, detto Fibonacci, fu uno dei più grandi matematici europei. Vissuto in Italia a cavallo tra il XII e il XII secolo, a lui va il merito di aver introdotto in Europa il sistema numerico decimale arabo in uso ancora oggi.
Ma la fama del matematico italiano è legata anche all'individuazione di una particolare successione di numeri, oggi nota come successione di Fibonacci; cercando di trovare una legge matematica che descrivesse la crescita di una popolazione di conigli, egli si imbatté infatti in una successione di numeri con una proprietà particolare: ogni termine della successione si ricava sommando i due termini precedenti (eccetto i primi due che sono, per definizione, 0 e 1).

Grazie alle numerose applicazioni che ritroviamo in natura, nell’arte, in geometria e nei più svariati aspetti della matematica, la successione di Fibonacci è divenuta una delle più celebri successioni numeriche: pensa che anche il celebre romanziere statunitense Dan Brown l'ha utilizzata nel suo bestseller Il codice da Vinci!

Alcune proprietà della serie riguardano i multipli di un numero. Consideriamo i primi termini della successione:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, ...

Escludendo lo 0, il numero 2 è il terzo termine della successione; notiamo che i multipli di 2 sono presenti nella successione ogni 3 termini: 2, 8, 34, 144, ecc.
Osserva la successione e prova a rispondere ai seguenti quesiti.

Escludendo lo 0, il numero 3 è il quarto termine della successione; individua tutti i multipli di 3: ogni quanto sono presenti nella successione?
Individua ora i multipli dei termini successivi: 5, 8 e 13. Osserva la loro distribuzione all'interno della successione e prova a stabilire una regola.

Mettiti alla prova - I multipli di un numero

edizioniatlas — 2022-08-25 07:43:54 UTC

Verifica quello che hai imparato sui multipli di un numero con questo breve test.

Il concetto di divisore

edizioniatlas — 2022-08-25 08:29:48 UTC

In Matematica, al concetto di multiplo si lega strettamente quello di divisore: si definiscono divisori di un numero tutti quei numeri che dividono il numero dato in modo esatto, cioè con resto zero.
Ad esempio 18 : 6 = 3 con testo 0. Possiamo quindi dire che 6 è un divisore di 18 e che 18 è divisibile per 6.

Guarda il video per scoprire come ottenere i divisori di un numero.

Tutte in fila!

edizioniatlas — 2022-08-25 08:29:56 UTC

All'inizio di ogni allenamento, la coreografa della nazionale di ginnastica ritmica chiede alle sue atlete di disporsi in una formazione rettangolare. Perché ciò sia possibile ogni fila deve avere lo stesso numero di atlete. Sapendo che all'allenamento odierno sono presenti 36 ginnaste, elenca tutte le possibilità che le atlete hanno per disporsi in file a formare un rettangolo.
Nota Bene - Considera come rettangolo anche la disposizione in un'unica fila di tutte e 36 le atlete contemporaneamente.

Prova tu - Rispondi alle seguenti domande.

Quante sarebbero le possibilità se le atlete fossero 18?
Calcola ora le possibilità nel caso in cui le ginnaste siano 30. Rispetto al caso precedente, vi sono file con lo stesso numero di atlete? Quali sono i numeri che ricorrono in entrambi gli esempi e cosa rappresentano?

Mettiti alla prova - I divisori di un numero

edizioniatlas — 2022-08-25 09:47:16 UTC

Verifica quello che hai imparato sui divisori di un numero con questo breve test.

edizioniatlas — 2022-08-25 10:19:27 UTC

Disporre degli oggetti in insiemi ordinati, formare delle squadre o dei gruppi di lavoro, distribuire qualcosa in modo equo tra diverse persone: per svolgere tutte queste attività e molte altre ancora, dobbiamo operare con i numeri e, in particolare, lavorare con multipli e divisori.
Rifletti e rispondi - Quest’anno al doposcuola 24 alunne e alunni di arte e tecnologia dei corsi F e G hanno realizzato ciascuno una cornice. Visti i bei risultati, si decide di unirli per creare un unico pannello da appendere nell’atrio della scuola. Gli insegnanti hanno incaricato Sandro e Giorgia di trovare il miglior modo per appenderli. Osserva la vignetta: disegna sul tuo quaderno tutti i rettangoli che si possono ottenere con i 24 disegni e per ciascuno stabilisci quanti disegni saranno disposti sul lato orizzontale e quanti su quello verticale.

La spirale di Fibonacci

edizioniatlas — 2022-08-25 15:24:15 UTC

La successione di Fibonacci ricorre in numerosi elementi naturali e architettonici i cui elementi sono tra loro in un ben definito rapporto proporzionale, che conferisce particolare armonia all'insieme.
Tra questi, troviamo la cosiddetta spirale di Fibonacci, una curva policentrica costruita su quadrati di lato pari ai numeri della successione di Fibonacci.
Guarda il videotutorial e prova anche tu a costruire la tua spirale!
Nota Bene: la figura costruita nel videotutorial è una spirale aurea, costruita sulla sezione aurea, un rapporto costante pari a 1,618... e considerato già dagli antichi Greci una proporzione "divina". La spirale di Fibonacci rappresenta un'approssimazione molto vicina alla spirale aurea: le due curve infatti si discostano di pochissimo l'una dall'altra.

Il mago... della divisibilità!

edizioniatlas — 2022-08-30 07:41:48 UTC

- "Dimmi un numero qualsiasi e io, senza fare alcuna divisione, ti dirò se è divisibile per 9!"
- "297"
- "Divisibile!"
- "854"
- "Non divisibile!"
- "1125"
- "Divisibile!"

Incredibile! Lucas è un vero mago della divisibilità: qualsiasi numero gli venga proposto, sa dare la risposta esatta senza usare la calcolatrice!
No, non si tratta di magia, ma di un "trucco" matematico alla portata di tutti: Lucas, infatti, sta applicando uno dei cosiddetti criteri di divisibilità, regole che permettono di stabilire se un numero è divisibile per un altro numero senza dover eseguire la divisione fra i due numeri.
Guarda il video per scoprire i criteri di divisibilità più comuni!

Mettiti alla prova - I criteri di divisibilità

edizioniatlas — 2022-08-30 08:16:54 UTC

Verifica quello che hai imparato sui criteri di divisibilità con questo breve test.

Il criterio di divisibilità per 7

edizioniatlas — 2022-08-30 08:28:04 UTC

Oltre a quelli descritti nel video, esistono altri criteri di divisibilità meno comuni, come ad esempio il criterio di divisibilità per 7.
Un numero è divisibile per 7 quando la differenza tra il numero senza l'ultima cifra (quella delle unità) e il doppio di quest'ultima (o viceversa se il sottraendo è maggiore del minuendo) è 0 o un multiplo di 7.
Ad esempio: 532 è divisibile per 7 perché 53 - (2 · 2) = 49 e come sappiamo 49 è un multiplo di 7, infatti 7 · 7 = 49.

Prova tu - Individua ora quali tra i seguenti numeri sono divisibili per 7. Verifica poi se hai svolto correttamente l'esercizio utilizzando il programma di Scratch in allegato a questo post.
79 - 322 - 414 - 623 - 1050 - 1324 - 1792 - 2450 - 2585 - 4877 - 5439

Connettersi con il mondo

edizioniatlas — 2022-08-30 08:33:13 UTC

Quante volte ti è capitato di cercare un'informazione su un motore di ricerca e ottenere immediatamente migliaia di risultati? O di chattare con parenti e amici lontani? Azioni come queste, che compiamo quotidianamente, sono rese possibili dal moderno sistema di telecomunicazioni, che ci consente di essere sempre connessi con il mondo, accorciando tempi e distanze. In che modo? Grazie a tecnologie quali le fibre ottiche, sottili filamenti raccolti sotto forma di cavi flessibili, che permettono di trasmettere grandi quantità di dati ad altissima velocità.

Rifletti e rispondi - Per installare la fibra ottica nel territorio di un piccolo Comune sono necessari cavi lunghi 25 metri. Sapendo che all'ingrosso la fibra ottica viene venduta in bobine da 320 m, 450 m o 565 m, qual è l'opzione più conveniente da acquistare per non avere scarti? Rispondi applicando i criteri di divisibilità.

L'enigma del compleanno

edizioniatlas — 2022-08-30 12:35:45 UTC

Di fronte alla curiosità degli alunni di conoscere la data di nascita della professoressa di Matematica, l'insegnate propone alla classe il seguente quesito.

ll mio giorno di nascita corrisponde al maggiore numero primo di una cifra; il mese corrisponde al minore numero primo di due cifre e l’anno è dato dal maggiore numero primo minore di 20 seguito dal maggiore numero primo compreso tra 60 e 70.

Ma cos'è un numero primo? L’insieme dei numeri naturali è suddiviso in numeri primi e numeri composti.
Un numero naturale si dice primo se è divisibile solo per 1 e per se stesso, mentre si dice composto se è divisibile oltre che per 1 e se stesso anche per qualche altro numero.

Prova ora a risolvere il quesito della professoressa per scoprirne la data di nascita.

I numeri primi di Sophie Germain

edizioniatlas — 2022-08-30 12:38:44 UTC

Nei secoli passati, salvo rare eccezioni, alle donne era negato l’accesso alla cultura scientifica e ogni loro tentativo di emancipazione nel campo matematico-scientifico veniva ostacolato. Tuttavia, nel corso della storia non sono mancate figure femminili capaci, a dispetto delle difficoltà e dei pregiudizi, di farsi strada nel mondo della matematica.

Tra queste troviamo Sophie Germain (1776-1831), che nel corso della sua vita si dedicò alla ricerca matematica più avanzata interessandosi in particolare alla teoria dei numeri. Con le sue ricerche, Germain arrivò a individuare una particolare categoria di numeri primi, chiamati appunto numeri primi di Sophie Germain.

Un numero primo P viene detto numero primo di Sophie Germain se anche il numero 2P + 1 è primo. Ad esempio, 11 è un numero primo di Sophie Germain in quanto 2 · 11 + 1 = 23, che è anch’esso un numero primo.

Si ipotizza che i numeri primi di Sophie Germain siano infiniti. Anche se finora non è stata dimostrata, questa ipotesi appare assai verosimile, poiché vengono continuamente trovati numeri primi di Sophie Germain sempre più grandi.

Prova tu – Applicando la regola descritta sopra, stabilisci quali sono i numeri primi di Germain minori di 100.

Per saperne di più - Apri la presentazione in allegato e scopri di più sulla vita di Sophie Germain e su come questa donna è riuscita a farsi strada nell'ambito matematico-scientifico.

Acchiappa la talpa! - Multipli e divisori

edizioniatlas — 2022-08-31 07:02:43 UTC

Sfida i tuoi compagni e le tue compagne in questo veloce Acchiappa la talpa a tema multipli e divisori: chi riuscirà a ottenere il punteggio più alto?

Torneo a squadre

edizioniatlas — 2022-08-31 08:33:08 UTC

Guarda il video per una breve introduzione al concetto di massimo comun divisore e minimo comune multiplo.

Minimo comune multiplo

edizioniatlas — 2022-08-31 09:12:54 UTC

Il minimo comune multiplo (m.c.m.) di due o più numeri è il minore tra i multipli comuni ai numeri dati.

Partendo dall'esempio mostrato nel video, determiniamo i multipli dei minuti della durata di una partita di pallavolo e di una partita di calcetto:

M₁₅= {15; 30; 45; 60; 75; 90; 105; 120; 135; ...};
M₂₀ = {20; 40; 60; 80; 100; 120; 140; ...}.

60 e 120 sono multipli comuni di 15 e 20 e per determinare dopo quanti minuti gli alunni e le alunne potranno trovarsi tutti insieme per una pausa senza interrompere alcuna partita scegliamo il multiplo comune minore, ovvero 60.
Quindi si ritroveranno dopo 60 minuti, cioè un'ora. In simboli:
m.c.m. (15; 20)= 60.

Oltre a questo procedimento è possibile calcolare il minimo comune multiplo tra due o più numeri col metodo della scomposizione in fattori primi: dopo aver scomposto i numeri dati in fattori primi, si moltiplicano tra di loro tutti i fattori primi comuni e non comuni, presi ciascuno una sola volta con l'esponente maggiore.

La scomposizione in fattori primi

edizioniatlas — 2022-08-31 10:05:09 UTC

Come hai visto, esistono dei criteri che ci permettono di stabilire se un numero è divisibile per un altro senza eseguire la divisione. Ma cosa succede quando siamo di fronte alla divisione di numeri molto grandi?
Per prima cosa è necessario scomporli in fattori primi: per scomporre un numero in fattori primi si eseguono le divisioni successive tra il numero dato e i suoi divisori primi (meglio se in ordine crescente) fino ad ottenere come quoziente uno.
I divisori primi che compaiono più di una volta si scrivono sotto forma di potenza.
Guarda il video per scoprire come funziona la scomposizione in fattori primi!

Prova tu - Dopo aver visto il video, prova a scomporre in fattori primi i seguenti numeri: 90; 144; 228; 540; 644.

Attivati! - La divisibilità con Scratch

edizioniatlas — 2022-08-31 12:52:21 UTC

Realizza con Scratch un programma per verificare se un numero qualsiasi è divisibile per 11.
Ricorda che per richiedere il numero di partenza in input dovrai utilizzare il blocco "chiedi" presente nel gruppo Sensori, mentre per far comparire il risultato sullo schermo dovrai utilizzare il blocco "dire" del gruppo Aspetto.
Una volta realizzato il tuo programma prova ad eseguirlo per verificarne la correttezza.

Collegati al seguente link per visionare lo sviluppo del programma che verifica se un numero qualsiasi è divisibile per 7: https://scratch.mit.edu/projects/726747344/editor/

Non conosci Scratch? Niente paura! Guarda questo video per una breve introduzione al programma!

Massimo comun divisore

edizioniatlas — 2022-09-02 06:07:45 UTC

Il massimo comune divisore (M.C.D.) di due o più numeri è il maggiore tra i divisori comuni ai numeri dati.

Determiniamo i divisori del numero di alunni maschi e di alunne femmine presenti nel video:

Femmine: D₃₀= {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}
Maschi: D₂₄ = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}

I numeri 1, 2, 3 e 6, sono divisori comuni di 30 e 24 e per determinare il massimo numero di squadre possibili scegliamo il divisore comune maggiore, ovvero 6.
Quindi, per avere gruppi equilibrati, gli alunni dovranno suddividersi in 6 squadre composte ciascuna da 5 maschi e 4 femmine. In simboli:
M.C.D. (30; 24)= 6.

Oltre a questo procedimento è possibile calcolare il massimo comune divisore tra due o più numeri col metodo della scomposizione in fattori primi: dopo aver scomposto i numeri dati in fattori primi, si moltiplicano tra di loro tutti i fattori primi comuni presi ciascuno una sola volta con l'esponente minore.

Gli origami

edizioniatlas — 2022-09-02 06:32:20 UTC

Prova tu - Per realizzare degli origami decorativi Emma deve tagliare in strisce di carta della stessa lunghezza tre fogli lunghi rispettivamente 12 dm, 18 dm e 24 dm. Calcola qual è la massima lunghezza in cui è possibile ritagliare delle strisce di carta senza avere alcuno scarto. Quante strisce ottiene Emma?

Gara di robotica

edizioniatlas — 2022-09-02 06:39:22 UTC

Prova tu - A una manifestazione di robotica viene indetta una gara di velocità tra i robot realizzati da tre diverse squadre. Il primo robot impiega 60 secondi per compiere un giro di pista; il secondo robot termina il primo giro in 90 secondi, mentre il terzo in 100 secondi. Dopo quanti secondi i tre robot si ritroveranno contemporaneamente al punto di partenza? Dopo quanti giri dal primo? Dopo quanti giri dal secondo?

Ragazze nelle STEM

edizioniatlas — 2022-09-02 07:00:27 UTC

Sono passati ormai due secoli da quando Sophie Germain dovette assumere l’identità di un ragazzo per accedere agli studi matematici e oggi la situazione è molto diversa. Tuttavia, nonostante i progressi fatti per garantire pari opportunità di accesso ai corsi scolastici e alle carriere legate a discipline scientifiche, la presenza femminile nelle STEM (Science, Technology, Engineering, Mathematics) è ancora oggi nettamente inferiore a quella maschile.

Rifletti e rispondi – Guarda il video Greta Galli: mestieri da maschi, mestieri da femmine? in cui Greta Galli, studentessa di Informatica all’Università Bicocca di Milano e coach per il progetto Girls code it better, racconta la sua esperienza di giovane donna nel mondo delle STEM. Cerca quindi in Internet i dati aggiornati relativi alla presenza femminile nelle discipline scientifico-tecnologiche in Italia e discuti con la classe.

Com’è la situazione italiana?
Quali sono, secondo te, le principali cause di questo divario di genere?
In che modo si può favorire la parità in questo settore?

edizioniatlas — 2022-10-31 07:06:05 UTC

Il Padlet è abbinato ai corsi MAT 360° e Archimede di Bruno Artuso e Roberto Vacca. La matematica chiara, rigorosa e calata nella realtà.

Coordinamento: Silvia Gadda

Redazione: Giulia Baccanelli, Mario Scalvini

Il Padlet e tutti i suoi contenuti sono di proprietà dell'Istituto Italiano Edizioni Atlas e pubblicati sotto licenza CC BY-NC-SA (uso con obbligo di citazione, fini didattici non commerciali, condividi allo stesso modo).

I codici alfanumerici: multipli e divisori al lavoro

edizioniatlas — 2023-07-21 09:54:51 UTC

Il codice ISBN (dall'inglese International Standard Book Number, cioè 'Numero di Riferimento Internazionale per i Libri') è una sequenza di 13 cifre usata convenzionalmente in tutto il mondo per identificare i libri. Sul tuo libro di matematica lo puoi trovare sul retro della copertina, dove sono presenti i codici di tutti i libri della collana.

Come il codice fiscale o le targhe delle automobili, anche il codice ISBN viene composto seguendo una regola prestabilita, basata sulla corrispondenza tra caratteri e concetti.
Le 13 cifre che formano il codice sono suddivise in 5 settori logici, talvolta separati graficamente l'uno dall'altro da un trattino o da uno spazio:
1. prefisso EAN: sono le prime 3 cifre del codice ISBN, introdotte a partire dal 2007; indicano che si è in presenza di un libro e sono quasi sempre le tre cifre 978;
2. gruppo linguistico: è l'identificativo del Paese o dell'area linguistica dell'editore e può avere da 1 a 5 cifre; i numeri 88 e 12 corrispondono alla lingua italiana;
3. editore: è l'identificativo della casa editrice o del marchio editoriale ed è formato da 2 a 7 cifre; nel caso di Atlas, ad esempio, è 268;
4. identificativo della pubblicazione: è il numero univoco che l'editore ha associato a quel libro tra tutti quelli che ha in catalogo ed è formato da 1 a 6 cifre;
5. carattere di controllo: è l'ultima cifra del codice ISBN e serve a verificare che il codice non sia stato letto o trascritto erroneamente. Ma come si può con una sola piccola cifra controllare la correttezza di un intera stringa così lunga? Ecco il trucco: la cifra di controllo non è altro che il risultato di una serie di operazione numeriche che vengono fatte su tutto il resto del codice; per uno stesso elenco di cifre il numero di controllo dovrà sempre essere il medesimo. In questo modo tutti, macchine comprese, possiamo fare il calcolo.
Vediamo il dettaglio:

· si moltiplicano tutte le cifre che compongono il codice in modo alternato per 1 e 3, partendo dalla prima cifra a sinistra che viene moltiplicata per 1 (la seconda quindi per 3, la terza per 1 e così via);
· si sommano i risultati;
· si calcola la cifra che, aggiunta a questa somma, permette di raggiungere il più prossimo multiplo di 10 (se la somma ad esempio è 113 la cifra è 7). Questa cifra è quella di controllo.

Considerando l’ISBN prima citato, 978-88-268-2431-4, applicando il procedimento si ottiene:
9 · 1 + 7 · 3 + 8 · 1 + 8 · 3 + 8 · 1 + 2 · 3 + 6 · 1 + 8 · 3 + 2 · 1 + 4 · 3 + 3 · 1 + 1 · 3 = 126. Qual è il primo numero successivo a 126 multiplo di 10? 130. A questo punto non ci resta che svolgere il seguente calcolo: 130-126=4. La cifra di controllo è dunque 4.

edizioniatlas — 2023-07-21 13:13:20 UTC

Trova tu ora la cifra di controllo dei seguenti codici ISBN.