LE CONICHE by Elisa Valentino

SEZIONI CONICHE

elisavalentinoev — 2020-05-19 13:55:24 UTC

Le coniche sono curve ottenute come sezioni di una superficie conica con un piano. Al variare dell'angolo α formato dal piano secante con l'asse del cono si ottiene un'iperbole, una parabola, un'ellisse o una circonferenza.

mariadambola04 — 2020-05-19 14:12:00 UTC

Se il piano interseca la superficie conica passa per il vertice, al variare dell'angolo α si ottengono le coniche degeneri.
-iperbole degenere: coppia di rette incidenti nel vertice.
-parabola degenere: coppia di rette coincidenti passanti per il vertice.
-ellisse degenere: un punto, coincidente con il vertice.

EQUAZIONE GENERALE DI UNA CONICA

elisavalentinoev — 2020-05-19 14:26:05 UTC

Ax² + Bxy +Cy² + Dx + Ey + F = 0
Con A,B,C,D,E,F ∈ R e A,B,C non contemporaneamente nulli.
Viceversa, se l'insieme delle soluzioni reali di un'equazione algebriche di secondo grado in due incognite non è vuoto, esso rappresenta, nel piano cartesiano, una conica che può essere anche degenere.

Limitandosi al caso B = 0, dall'equazione Ax²+ Cy²+ Dx + Ey + F = 0 si riconosce il tipo di conica che essa rappresenta utilizzando le seguenti regole.

Se A = 0 oppure C = 0, allora l'equazione rappresenta una parabola.
Se A = C ≠ 0, allora l'equazione rappresenta una circonferenza.
Se A ⋅ C ≠ 0 e A ≠ C, e:

A ⋅ C > 0: l'equazione rappresenta un'ellisse o un'ellisse degenere ( un punto).
A ⋅ C < 0: l'equazione rappresenta un'iperbole o un'iperbole degenere (coppia di rette).

ELLISSE

mariadambola04 — 2020-05-19 14:53:17 UTC

Si definisce ellisse il luogo geometrico dei punti P per cui è costante la somma delle distanze da due punti F₁ e F₂, detti fuochi.

Indichiamo:
con 2c la distanza tra F1 e F2, detta distanza focale
2a la somma costante delle distanze dei punti dell'ellisse dai fuochi
a e c indicano due valori costanti e positivi

IPERBOLE

mariadambola04 — 2020-05-19 14:53:23 UTC

Assegnati nel piano due punti, F₁ e F₂, si chiama iperbole il luogo geometrico dei punti P del piano che hanno costante la differenza delle distanze da F₁e F₂.

F_¹ e F₂sono i fuochi dell'iperbole.
Il punto medio del segmento F₁F₂è il centro dell'iperbole.

CIRCONFERENZA

mariadambola04 — 2020-05-19 14:56:24 UTC

-Si definisce circonferenza il luogo dei punti del piano equidistanti da un dato punto, detto centro della circonferenza. Più in generale una circonferenza è una conica non degenere.

L'equazione in forma implicita della circonferenza è la seguente:

(x-x_C)² + (y-y_C)² = r²

L’equazione in forma esplicita o in forma canonica:

x²+y²+ax+by+c=0 a²+b²−4c>0
Coordinate del centro:
(-a/2 ; -b/2)
Coordinate del raggio:
r²= a²/4 + b²/4 - c

PARABOLA

mariadambola04 — 2020-05-19 14:56:51 UTC

Per definizione la parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso F detto fuoco e da una retta data d detta direttrice

Posizione di una retta rispetto ad una circonferenza

elisavalentinoev — 2020-05-20 09:57:39 UTC

Calcolo dell'asse radicale

mariadambola04 — 2020-05-20 10:12:28 UTC

L'asse è perpendicolare alla retta passante per i centri delle due circonferenze.

Fasci di circonferenze

mariadambola04 — 2020-05-20 10:35:14 UTC

Un fascio di circonferenze è un insieme di circonferenze i cui centri giacciono su una retta, o un insieme di circonferenze aventi il medesimo centro. Il fascio è ottenuto utilizzando due circonferenze le cui equazioni generano le equazioni dell'intero fascio, cioè dalle due generatrici è possibile ottenere le equazioni di tutte le altre circonferenze del fascio.

Tangenti ad una circonferenza

elisavalentinoev — 2020-05-20 10:39:43 UTC

Abbiamo tre casi distinti che dobbiamo analizzare.

Se il punto T è interno alla circonferenza, non ci sono rette tangenti.
Se T appartiene alla circonferenza possiamo utilizzare la formula di sdoppiamento per determinare l’equazione dell’unica retta tangente alla circonferenza passante per T:

r: xx_T+yy_T+a x+x_T/2+b y+y_T/2+c=0

Se T è un punto esterno alla circonferenza, le rette tangenti alla circonferenza passanti per T sono sempre due. Per ottenere i coefficienti angolari di queste rette è sufficiente risolvere il sistema tra l’equazione della circonferenza e il fascio di rette passante per T, imponendo che l’equazione risolvente abbia Δ=0.

Ellisse con i fuochi sull'asse x

elisavalentinoev — 2020-05-20 11:20:55 UTC

x²/a²+ y²/b²=1 con a>b
c=a² - b²ecc.= c/a

Ellisse con i fuochi sull'asse y

elisavalentinoev — 2020-05-20 11:32:48 UTC

x²/a²+ y²/b²=1 con b>a
c²= b² - a²
ecc: c/b

Rette tangenti a un'ellisse

elisavalentinoev — 2020-05-20 11:40:44 UTC

Il metodo generale è il seguente:

Mettere a sistema l’equazione dell’ellisse con l’equazione della generica retta passante per il punto
Trovare l’equazione risolvente
Imporre che l’equazione risolvente abbia una sola soluzione, ponendo Δ=0.

C’è anche un altro metodo, detto formula di sdoppiamento:
dato un punto P di coordinate (x₀;y₀) appartenente a un ellisse di equazione x²/a²+ y²/b²=1 , la retta tangente all’ ellisse in P è data dall’equazione:
xx₀/a²+ yy₀/b²=1

Si noti la forma particolare dell’ellisse: essa ha centro nell’origine. Non è sempre così, infatti in generale si parla di ellissi traslata.

Equazione dell'iperbole con i fuochi sull'asse x

mariadambola04 — 2020-05-20 11:55:23 UTC

x²/ a²- y²/ b²= 1
in questo caso si pone c²- a²= b²
eccentricità= c/a

Equazione dell'iperbole con i fuochi sull'asse y

mariadambola04 — 2020-05-20 12:05:03 UTC

x²/ a²- y²/ b² = -1
in questo caso si pone c² - b² = a²eccentricità= c/b
asintoti: y=- b_/ax e y= b_/ax

Rette tangenti a un'iperbole

elisavalentinoev — 2020-05-20 13:28:07 UTC

Come per i casi precedenti, per determinare le equazioni delle eventuali rette tangenti condotte da un punto P(x_0;y₀) alla generica iperbole di equazione x²/ a²- y²/ b²= 1, si pone la condizione di tangenza Δ=0, nell'equazione risolvente del sistema formato dalle equazioni dell'iperbole e del fascio di rette passanti per P.
Formula di sdoppiamento: xx₀/a²- yy₀/b²=1 o xx₀/a² - yy₀/b²=-1

Iperbole equilatera riferita gli assi di simmetria

mariadambola04 — 2020-05-20 13:31:59 UTC

Se nell'equazione canonica a=b, l'iperbole si dice equilatera.
Se i fuochi sono sull'asse x, l'equazione dell'iperbole equilatera è:
x²- y²= a²Se i fuochi sono sull'asse y, l'equazione dell'iperbole equilatera è:
x²- y²= -a²

Funzione omografica

elisavalentinoev — 2020-05-20 13:49:28 UTC

In generale, si può dimostrare che, se si considera un'iperbole equilatera che ha gli asintoti paralleli agli assi cartesiani, allora tale curva ha un'equazione del tipo: y= ax + b/ cx + d
Questa equazione è una particolare funzione, la funzione omografica.
Le equazioni degli asintoti sono x= -d/c e y= a/c
Le coordinate del centro di simmetria sono: C(-d/c; a/c)

Come varia l'eccentricità

elisavalentinoev — 2020-05-20 14:07:43 UTC

Se e = 0, la conica è una circonferenza;
Se 0 < e < 1 la conica è un'ellisse;
Se e = 1 la conica è una parabola;
Se e > 1 la conica è un'iperbole.

DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO IN DUE INCOGNITE

elisavalentinoev — 2020-05-20 14:22:44 UTC

Si presenta nella forma f(x;y) = ax²+ by² + cx + dy + e ≥ 0
e ha come soluzioni una delle due regioni del piano definite dalla curva di equazione f (x;y) = 0.