Канторово множество есть один из простейших фракталов, подмножество единичного отрезка вещественной прямой, которое является классическим примером Георг Кантор «плохого множества» в математическом анализе.

 

 Георг Кантор описал это множество, которое теперь называют множество Кантора или пыль Кантора, в 1883 году. Это множество имеет мощность континуума, но мера его равна нулю. Каждый из фрагментов  множества Кантора выглядит как множество в целом, то есть оно является самоподобным.

 В 1886 году Карл Вейерштрасс построил функцию, не имевшую производной ни в одной точке. График этой функции – бесконечно изломанная линия. При увеличении любой участок кривой выглядит подобно всей кривой. В 1904 году Хелге фон Кох построил пример непрерывной кривой, которая нигде не имеет касательной. Можно построить снежинку или о треугольник, а не единичный отрезок. Снежинка или остров Коха будут иметь бесконечный периметр, но при этом будут ограничивать конечную область.

 

  Кривая Коха — фрактальная кривая описанная шведским математиком Хельге фон

Кохом(1870-1924). Кривая Коха примечательна тем, что нигде не имеет касательной, т. е. нигде не дифференцируема, хотя всюду непрерывна. Три копии кривой Коха, расположенные на сторонах правильного треугольника, образуют замкнутую кривую, называемую снежинкой Коха.

 

 В 1915 году Вацлав Серпинский построил ряд конструкций, в частности, салфетку Серпинского и ковер Серпинского. Можно построить трехмерные аналоги этих объектов. Их называют губками.

 

 Ковер Серпинского. Берётся сплошной квадрат, разрезается на 9 равных квадратов и удаляется внутренность центрального квадрата. На втором шаге удаляется 8 центральных квадратов из 8 оставшихся квадратов и т. д. После бесконечного повторенияэтой процедуры, от сплошного квадрата остаетсязамкнутое подмножество — ковер(квадрат) Серпинского.

 

 Губка Менгера Губка Менгера — геометрический фрактал, трёхмерный аналог ковра Серпинского.

 

 Рассмотренные объекты называют конструктивными фракталами. Они получаются в результате простой рекурсивной процедуры (комбинации линейных преобразований). Именно 

Изучение таких объектов составляет основное содержание фрактальной геометрии. Своей популярностью в последние десятилетия фракталы в значительной степени обязаны появлением 1983 году книги сотрудника исследовательского

центра имени Томаса Дж. Уотсона корпорации IBM франко-американского математика Бенуа Мальденброта «Фрактальная геометрия природы». Мальденброт ввел в 1975 году термин «фрактал» от латинского слова fractus – изломанный, дробный.