Formalmente, una sucesión {an} es una lista ordenada de números reales a1,a2,a3, donde cada término depende de su posición en la secuencia. Las sucesiones juegan un papel fundamental en el análisis, ya que permiten estudiar el comportamiento de funciones a través de límites. En cálculo integral, las sucesiones son esenciales en la definición de series infinitas y en procesos como la integración por aproximación y el desarrollo de series de potencias.

Stewart, J. (2018). Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas (8.ª ed.). Cengage Learning.

Donde N es un número natural que indica la cantidad total de términos que se suman. En cálculo integral, las series finitas se relacionan con las sumas de Riemann, que son aproximaciones del área bajo una curva mediante sumas de áreas de rectángulos. Estas sumas permiten estimar el valor de una integral definida y constituyen la base del concepto de integración.

Para que una serie infinita tenga sentido práctico, debe converger, es decir, su suma parcial debe tender a un valor finito a medida que se agregan más términos. De lo contrario, se dice que la serie diverge.

Criterio de la razón (Criterio de D’Alembert)

Consiste en evaluar el límite del cociente entre términos consecutivos.

Criterio de la raíz (Criterio de Cauchy)

Se analiza el límite de la raíz n-ésima del valor absoluto del término general.

Criterio de la integral

Se utiliza para series del tipo ∑n=1∞f(n, donde f(x) es una función continua, positiva y decreciente para x≥1x

Este criterio establece una conexión importante entre las series y el cálculo integral.

Las series de potencias son herramientas fundamentales en cálculo porque permiten expresar funciones complicadas como sumas infinitas de términos simples, facilitando su análisis, derivación, integración, y solución de ecuaciones diferenciales.

Esta serie es útil para aproximar funciones mediante polinomios cuando los cálculos exactos son complejos, y se utiliza ampliamente en análisis, física, ingeniería y otras ciencias aplicadas.

Este método facilita el cálculo de integrales de funciones complejas al convertirlas en la integración de polinomios, que es un procedimiento sencillo y directo.

f(x) = x^2` en el intervalo de 1 a 3.

Podemos calcular la integral definida de esta función en el intervalo mencionado:

1. Paso 1: Escribimos la integral:

∫(1 a 3) x^2 dx

2. Paso 2: Encontramos la antiderivada de x^2, que es x^3 / 3.

3. Paso 3: Evaluamos la antiderivada en los límites:

[(3^3)/3] - [(1^3)/3]

4. Paso 4: Calculamos:

[(27/3) - (1/3)] = (9 - (1/3)) = (27/3 - 1/3)

=(26/3)

Entonces, el resultado de la integral definida es 26/3.

Podemos calcular la suma de esta serie infinita:

1. Paso 1: Escribimos la serie:

Σ(1/n^2) desde n=1 hasta ∞.

2. Paso 2: Sabemos que la suma de esta serie infinita es:

Σ(1/n^2) = π^2 / 6.

Por lo tanto, el resultado de la suma de la serie infinita es π^2 / .

Edith García Juárez 24030335

Alisson Safed Islas Blas 24030182

Jaretzy Romero Rodríguez 24030634

Si o es infinito, la serie diverge.

Si el criterio es inconcluso

Si la serie diverge.

Si no se puede concluir

converge.

Si la serie converge

Si la serie diverge

En hay que analizar aparte

es la derivada n-ésima evaluada en el punto

es el factorial

es el punto alrededor del cual se construye la serie