Esempio: la rappresentazione per elencazione dell'insieme 

delle vocali : A = {a, e, i, o, u}

Esempio: B ={x/x è un capoluogo di provincia italiano} 

che si legge: B " è l'insieme di tutte le x tali che x  è un  capoluogo di provincia italiano."

Esempio: 
Se M ={x/x è un mese dell'anno che iniziano con la" m "} da quale insieme universo lo abbiamo ricavato ?
Può essere l'insieme U={x/x è un mese dell'anno} 

appartengono ad entrambi gli insiemi

In simboli: A ⊂  B ( A sottoinsieme proprio di B) 
Il simbolo ⊂  è detto simbolo di inclusione

Allora A  ⊂   B. 

Esempio:
A = {cane, gatto, topo)
è uguale a
B ={topo, cane, gatto). 
Anche se gli elementi sono in ordine diverso, sono gli stessi in entrambi gli insiemi. 

Esempio:
A = { x/x  è una città del Piemonte }
C = { x/x  è una città della Lombardia}.
L'insieme intersezione è vuoto perché una citta non può essere contemporaneamente in Piemonte e in Lombardia: 
A ∩ C =   Ø.   A e C sono disgiunti.

Diciamo che A e B sono insiemi complementari se B 

contiene tutti gli elementi di U che non appartengono ad A 

e scriviamo B = A'. 
U = {cane, gatto, topo, mucca, pecora, asino}. 
A= {cane, gatto, topo}, allora A' ={mucca, pecora,asino}.

II prodotto cartesiano è l'insieme di tutte le coppie ( a ; b ) con a ∈ A e b ∈ B.
L'insieme A x B  è formato da coppie che hanno come primo elemento un elemento di A e come secondo elemento un elemento di B, contiene un numero di elementi pari al prodotto del numero di elementi di A per il numero di elementi di B.

A = {1, 2, 3} e B ={2, 3}. 
Allora il prodotto cartesiano è l'insieme
AxB= {(1 ; 2 ),(1 ; 3 ),(2 ; 2 ),(2 ; 3 ),(3 ; 2 ),(3 ; 3 )}

al prodotto dei 3 elementi di A per i 2 elementi di B.
Gli elementi del prodotto cartesiano sono coppie ordinate. 

É importante l'ordine degli elementi nella coppia: infatti 

(2; 3) ≠ (3; 2)

Incredibile, vero?