Para resolver una ecuación de primer grado se procede del modo siguiente:

a)      Se eliminan los radicales, en caso de que los haya.

b)      Se efectúan las operaciones indicadas en la ecuación, suprimiendo de este modo los paréntesis y los signos de agrupación.

c)      Se suprimen los denominadores, sí los hay.

d)      Se trasponen y reducen términos.

e)      Se despeja la incógnita, descomponiendo el primer miembro en dos factores.

f)        Se dividen ambos miembros por el coeficiente de la incógnita.
Ejemplo

Resolver la ecuación

 

Solución: Trasponemos el término

al primer miembro

 

 

A continuación trasponemos el término 5 al segundo miembro.

5 +x -5 = 7 -5

x = 2

 

Comprobemos que x = 2 satisface la ecuación dada.

5 +4(2) = 3(2) +7

5 +8 = 6 +7

13 = 13, tal como queríamos comprobar

 Para despejar ecuaciones de primer grado deberémos seguir estos pasos:

es decir, se copia la base y se suman los exponentes. 2.

Potencia a potencia, un exponente elevado a otro exponente, es la multiplicación de ambos. ... Regla de cociente a una potencia, una fracción elevada a una potencia es lo mismo que el numerador elevado a la potencia y el denominador elevado a la potencia.

Potencias de exponente 1 y 0. Un número elevado al exponente 1 es igual al mismo número. La potencia elevada a exponente 0 es igual a 1. El decir que 5⁰ =1, en realidad es un convenio, pues tal como se define una potencia no tiene sentido.
Las reglas de los exponentes se basarán en sumar, multiplicar o dividir exponentes y con ellas, los niños aprenderán en qué momento deben realizar cada operación.

Primer ley de los exponentes

Los exponentes se suman para multiplicar dos potencias de la misma base, considerando que los exponentes son enteros positivos: a^maⁿ = a^m+n

Segunda ley de los exponentes

El cociente de potencias con la misma base es igual a la base elevada a la diferencia de los exponentes. a^m/aⁿ=a^m-n

Tercera ley de los exponentes

Los exponentes se multiplican para elevar una potencia a otra potencia. Si los exponentes son enteros positivos tendremos la siguiente expresión: (a^m)ⁿ = a^mn

Cuarta ley de los exponentes

Mediante las propiedades de las potencias asociativa y conmutativa de la multiplicación es posible escribir una potencia de un producto siendo equivalente al producto de las potencias de cada uno de los factores: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ

Quinta ley de los exponentes

Para elevar una fracción a un exponente se elevará el numerador y denominador a dicho exponente: (a/b)ⁿ = aⁿ/b^n. 

Sexta ley de los exponentes

Todo número diferente de 0 elevado a 0 dará como resultado 1: a⁰ = 1

Séptima ley de los exponentes

Si una potencia está elevada a 1 dará como resultado la base de la potencia.

Octava ley de los exponentes

Además, deberemos tener en cuenta que todo número con exponente negativo será igual a su inverso con exponente positivo:
 a^-n = 1/aⁿ
 a¹ = a5¹ = 5a⁰ = 13⁰ = 1a^-1 = 1/a9^-1 = 1/9a^maⁿ = a^m+na²x³ = a²⁺³ = a⁵a^m/aⁿ = a^m-na⁴/a² = a^4-2 = a²(a^m)ⁿ = a^mn(a²)³ = a^2×3 = a⁶(ab)ⁿ = aⁿbⁿ(ab)³ = a³b³(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ(a/b)² = a² / b²a^-n = 1/aⁿa^-3 = 1/a³

2x²y³z

El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables.

La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes.

El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables.

El grado de 2x²y³z es: 2 + 3 + 1 = 6

Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.

2x²y³ z es semejante a 5x²y³ z

 

2. Producto de un número por un monomio

 

3. Multiplicación

 

4. División

5. Potencia de un monomio

Sólo podemos sumar monomios semejantes.

La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.

     axⁿ + bxⁿ= (a + b)x ⁿ

Ejemplo: 2x²y³z + 3x²y³z = (2 + 3)x²y³z = 5x²y³z

Si los monomios no son semejantes, al sumarlos, se obtiene un polinomio.

Ejemplo: 2x²y³+ 3x²y³z

El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente del monomio por el número.

Ejemplo: 5 · (2x²y³z) = 10x²y³ z

La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tengan la misma base, es decir, sumando los exponentes.

      axⁿ· bx^m= (a · b)x^{n + m}

Ejemplo: (5x²y³z) · (2y²z²) = (2 · 5) x²y³⁺²z¹⁺² = 10x²y⁵z³

Sólo se pueden dividir monomios cuando:

1Tienen la misma parte literal

2El grado del dividendo es mayor o igual que el del divisor

La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tengan la misma base, es decir, restando los exponentes.

     axⁿ: bx^m= (a : b)x^{n − m}

Si el grado del divisor es mayor, obtenemos una fracción algebraica.

Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de este, al exponente que indique la potencia.

     (axⁿ)^m = a^m· x^{n · m}

Ejemplos: (2x³)³ = 2³ · (x³)³= 8x⁹(−3x²)³ = (−3)³ · (x²)³= −27x⁶

Un polinomio es un conjunto formado por varios monomios.

Los polinomios suelen nombrarse con letras mayúsculas (normalmente empezando por la P) y se escriben entre paréntesis las variables que tiene el polinomio.

P (a, b, c) = a²bc³ – 3a³c⁶ + 6ac⁴ + 2b

El polinomio P contiene las variables a, b y c. Está compuesto por 4 monomios, por lo tanto podemos decir que el polinomio tiene 4 términos.

Q (p, q) = -10p⁶ + pq²

El polinomio Q contiene las variables p y q. Está compuesto por 2 monomios, por lo tanto podemos decir que el polinomio tiene 2 términos.

El grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus monomios.

Vamos a ver el grado de los polinomios anteriores:

El polinomio P tiene 4 monomios:

a²bc³ –> Grado =6
-3a³c⁶  –> Grado = 9
6ac⁴  –> Grado = 5
2b –> Grado = 1

Por lo tanto, el grado del polinomio P es 9.

El polinomio Q tiene dos monomios:

-10p⁶  –> Grado = 6
pq²  –> Grado = 3

Por lo tanto, el polinomio Q tiene grado 6.

Ahora os propongo un ejercicio: ¿Cuál es el grado de este polinomio?

Un polinomio está ordenado cuando sus monomios están ordenados de mayor a menos grado.

Volviendo a los polinomios anteriores, el polinomio P tiene los monomios de grados: 6, 9, 5, 1. Como no están ordenados de mayor a menos, podemos decir que el polinomio P no está ordenado o, lo que es lo mismo, está desordenado.

El polinomio Q tiene los monomios de grados: 6, 3. En este caso los grados de los monomios se encuentran ordenados de mayor a menor grado, por lo tanto el polinomio Q está ordenado.

Os propongo otro ejercicio: ¿El siguiente polinomio está ordenado?

Un polinomio está completo cuando tiene todos los términos con grados desde el mayor hasta grado cero.

El polinomio P, que contiene los grados  6, 9, 5 y 1. está incompleto, porque faltan los términos de grado 8, 7, 4, 3, 2 y 1.

El polinomio Q también está incompleto porque tiene los términos de grado 6 y 3, por lo tanto faltan los términos de grado 5, 4, 2, 1 y 0.

 

Ya que cada desigualdad individual define todo un rango de valores, encontrar todas las soluciones que satisfacen varias desigualdades puede parecer una tarea difícil. Por suerte, las gráficas nos muestran un atajo.

 

 

La gráfica de una sola desigualdad lineal divide el eje de coordenadas en dos regiones, A un lado están todas las soluciones posibles de la desigualdad. Al otro lado, no hay soluciones. Considera la gráfica de la desigualdad y < 2x + 
 

La línea punteada es y = 2x + 5. Cada par ordenado en el área sombreada a la derecha de la línea es una solución de y < 2x + 5. ¿Escéptico? Intenta sustituyendo las coordenadas x y y de los Puntos A y B en la desigualdad — verás que funcionan.

 

La región sombreada, el área del plano que contiene todas las soluciones posibles a la desigualdad, se llama región limitada. La línea que marca el límite de la región se llama lógicamente línea límite. En este caso, está punteada porque los puntos sobre la recta no satisfacen la desigualdad. Si lo hicieran, como lo sería con la desigualdad y ≤ 2x + 5, entonces la línea límite sería sólida.

 

Grafiquemos otra desigualdad: y > -x. Esta desigualdad también define un medio plano. Los puntos M y N están graficados dentro de la región limitada. Esto significa que ambos puntos producen declaraciones válidas cuando sus coordenadas x y y son sustituidas en la desigualdad y > -x.

 

forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas .

El conjunto de ecuaciones:

forman un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Se llama grado del sistema de ecuaciones al mayor exponente al que se encuentre elevada alguna incógnita del sistema.

Por ejemplo,

es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de segundo grado, porque el mayor exponente es 2  (la x e y al cuadrado). Este sistema con ecuaciones de segundo grado se llaman tambiénsistema de ecuaciones cuadráticas .
El sistema de ecuaciones

es de primer grado con dos incógnitas (porque todos los valores están elevados a 1, que no se escribe).

Cuando el sistema de ecuaciones es de primer grado y además no aparecen términos con las incógnitas multiplicadas entre sí (tipo x • y) se dice que es un sistema de ecuaciones lineales .

Resolviendo sistemas

Para resolver un sistema de ecuaciones existen los siguientes métodos:

Método de sustitución

Lo que debemos hacer:

1.- Despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones.

2.- Sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación.

3.- Resolver la ecuación resultante.

4.- Calcular la otra incógnita en la ecuación despejada.

Resolver

Se despeja x en la segunda ecuación:

x = 8 – 2y

Se sustituyen en la primera ecuación:

3(8 – 2y) – 4y = – 6

Operando:

24 − 6y − 4y = − 6

24 – 10y = – 6

− 10y = − 6 − 24

− 10y = − 30

Se resuelve:

y = 3

Se sustituye este valor en la segunda:

x  + 2(3) = 8

x + 6 = 8

x = 8 – 6 = 2

Solución del sistema:

x = 2, y = 3

Método de reducción

Lo que debemos hacer:

1.- Se igualan los coeficientes de una incógnita, salvo el signo, eligiendo un múltiplo común de ambos.

2.- Puede ser el producto de los coeficientes de esa incógnita.

3.- Se suman o restan, según convenga, las ecuaciones.

4.- Se resuelve la ecuación de primer grado resultante.

5.- Se calcula la otra incógnita sustituyendo el valor obtenido en una de las ecuaciones del sistema.

Resolver

Primero se deben igualar el 6 y el 8 de la incógnita x . Para hacerlo, amplificamos la primera ecuación por 4 y amplificamos la segunda ecuación por –3. Esto porque al multiplicar 6x por 4 queda 24x; y al multiplicar 8x por –3 queda –24x, y se anulan entre sí; o sea, hemos eliminado una incógnita para trabajar solo con la otra  (la y ).  Luego hacemos lo mismo con la y .

Se elimina la x :

| Se elimina la y :

Método de igualación

Lo que debemos hacer:

1.- Se despeja una de las incógnitas en ambas ecuaciones.

2.- Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.

3.- Se resuelve la ecuación resultante.

4.- El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.

5.- Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Resolver

 

Despejamos x en la primera ecuación:

Despejamos x en la segunda ecuación:

x = –1 – 2y

Igualamos ambas expresiones:

 

:Se sustituye este valor en la primera o segunda ecuación:

x = 3 + 2(−1)

x = 3 − 2

x = 1

Solución del sistema:

x = 1, y = –1

Resolver, por el método de igualación, el sistema

 

Despejamos , por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:

 

Igualamos ambas expresiones:

 

Luego, resolvemos la ecuación:

 

Sustituimos el valor de y , en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x :

 

Un polígono convexo es un polígono en el que cada uno de los ángulos interiores miden a lo sumo 180 grados o radianes. ... Todo polígono que no es convexo se denomina Polígono cóncavo.

POLÍGONOnSUMA ÁNGULOS
Pentágono | 5 | 180·3=540
Polígono | n | 180·(n-2)
La suma de los ángulos de un polígono de n lados es 180·(n-2)
¿Cuánto suman los ángulos interiores de un este polígono?

¿Qué es un lado concavo?

El término cóncavo es un término que se utiliza tanto en las matemáticas (especialmente la geometría) como en la física para hacer referencia a un tipo de ángulo que se genera ante una curva y que supone el lado interno de la misma, es decir, donde se genera la cavidad interna.

Los polígonos regulares son aquellos cuyos lados y sus ángulos interiores resultan iguales. Esto quiere decir que todos los lados miden lo mismo, al igual que los ángulos que forman las uniones de estos segmentos
¿Qué es un polígono regular?

Un polígono regular es un polígono en el que todos los lados tienen la misma longitud y todos los ángulos interiores son de la misma medida. Veamos las distintas características de los polígonos regulares, empleando la figura de un Hexágono para representar un polígono regular genérico

Cómo se calcula el área y el perimetro de un polígono?

Sumando las longitudes de los lados de un polígono hallaremos su perímetro. Para calcular el área de un polígono regular cualquiera se divide en triángulos uniendo el centro con cada uno de los vértices. La altura de cada uno de los triángulos coincide con la apotema del polígono.

Elementos de un polígono regula

Propiedades de un polígono regular[editar]

Ángulos de un polígono regular[editar]

Central[editar]

Interior[editar]

{\displaystyle \beta =180^{\circ }\cdot {\frac {(n-2)}{n}}\;}

en grados sexagesimales

en radianes

{\displaystyle \sum \beta =180^{\circ }\cdot {(n-2)}\;}

en grados sexagesimales

}

en radianes

Exterior[editar]

en grados sexagesimales

{\displaystyle \gamma =\pi -\beta ={\frac {2\pi }{n}}\;}

en radianes

{\displaystyle \sum \gamma =360^{\circ }\;}

en grados sexagesimales

{\displaystyle \sum \gamma =2\pi \;}

en radianes

Galería de polígonos regulares[editar]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Observación: A medida que crece el número de lados de un polígono regular, se asemeja más a una circunferencia.

Área de un polígono regular[editar]

Existen diversas fórmulas para calcular el área de un polígono regular, dependiendo de los elementos conocidos.

En función del perímetro y la apotema[editar]

El área de un polígono regular, conociendo el perímetro }

[mostrar]Demostración

En función del número de lados y la apotema[editar]

Sabiendo que:

{}\ }

, ya que es la mitad de un ángulo central (esto en radianes).

Observando la imagen, es posible deducir que:

Sustituyendo el lado:

Finalmente:

{\displaystyle A_{p}=a^{2}\cdot n\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}

Con esta fórmula se puede averiguar el área con el número de lados y la apotema, sin necesidad de recurrir al perímetro.

En función del número de lados y el radio[editar]

Un polígono queda perfectamente definido por su número de lados n, y el radio r, por tanto podemos determinar cual es su área, a la vista de la figura, tenemos que:

{\displaystyle L=2r\sin({\delta })\;}

{\displaystyle a=r\cos({\delta })\;}

donde el ángulo central es:

}

sabiendo que el área de un polígono es:

y sustituyendo el valor del lado y la apotema calculados antes, tenemos:

ordenando tenemos:

sabiendo que:

{\displaystyle 2\sin({\delta })\cos({\delta })=\sin({2\delta })\;}

resulta:

{\displaystyle A_{p}={\frac {nr^{2}\sin({\alpha })}{2}}\;}

o lo que es lo mismo:

{\displaystyle A_{p}={\frac {nr^{2}\sin({\frac {2\pi }{n}})}{2}}\;}

Con esta expresión podemos calcular el área del polígono, conociendo solamente el número de lados y su radio, lo que resulta útil en muchos casos.

En función de la longitud y el número de lados[editar]

Y si queremos expresar el área en función del lado, podemos calcular

Sea {\displaystyle \varphi }

el ángulo formado por el Lado "L" y el radio "r":

El valor de la apotema en función del lado será, por la definición de la tangente:

{

Despejando la apotema tenemos:

}

Sustituimos la apotema por su valor:

Se puede ver en el dibujo que

y la fórmula puede escribirse también como

.

Con lo que conociendo el número de lados del polígono regular y la longitud del lado podemos calcular su superficie.

Diagonales de un polígono regular[editar]

Número de diagonales[editar]

Para determinar el número de diagonales Nd, de un polígono de n vértices realizaremos el siguiente razonamiento:

Según el razonamiento tendremos que:

{\displaystyle N_{d}={\frac {n(n-3)}{2}}}

Longitud de la diagonal más pequeña[editar]

La diagonal más pequeña de un polígono regular es la que une dos vértices alternos, para determinar su longitud, partimos del ángulos central y del radio, el radio que pasa por el vértice intermedio, corta a la diagonal en el punto A, este radio y la diagonal son perpendiculares en A.

Los triángulos acutángulos pueden ser: Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto. Este triángulo es simétrico respecto de su altura sobre el lado distinto. ... Triángulo acutángulo equilátero: sus tres lados y sus tres ángulos son iguales
¿Qué es un triángulo equilátero?

El triángulo equilátero es el polígono regular más simple. Sus tres lados son iguales. Por tanto, sus ángulos también son los tres iguales. Al ser todos los ángulos iguales y ser la suma de los ángulos de 180º, sus tres ángulos interiores son de 60º (180º/3=60º)
¿Qué es un triángulo escaleno Acutangulo?

Definición de triángulo acutángulo. ... Los triángulos acutángulos son aquellos cuyos tres ángulos internos son agudos, ya que miden menos de 90º. Esto quiere decir que un triángulo cuyos ángulos interiores miden 45º, 80º y 55º, por ejemplo, es un triángulo acutángulo: sus tres ángulos son agudos.
¿Cómo se le conoce al triángulo rectangulo?

Triángulo rectángulo escaleno: los tres lados y los tres ángulos tienen diferente medida. Un caso particular es aquél cuyos ángulos interiores miden 30-60-90, en este tipo de triángulo, la hipotenusa mide el doble del cateto menor, y el cateto mayor veces la longitud del cateto menor

Triángulo isósceles

Si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida.

Si son proporcionales significa al comparar dos triángulos, la reacción entre los lados es la misma. Las figuras congruentes son dos figuras que son iguales en forma y con el mismo tamaño. Para que dos formas sean congruentes, cada una debe tener la mismo cantidad de lados y sus ángulos también deben ser los mismos
semejanza de triangulos
Una semejanza es la composición de una isometría con una homotecia. En lasemejanza se puede cambiar el tamaño y la orientación de una figura pero no se altera su forma. Por lo tanto, dos triángulos son semejantes si tienen similar forma. En el caso del triángulo, la forma sólo depende de sus ángulos.

Al observar y comparar figuras geom�tricas, se advierte que, en algunos casos, dos de ellas tienen la misma forma pero no el mismo tama�o y, en otros, puede ser que sean de igual forma y tama�o. Al comparar dos figuras, si observamos que tienen la misma forma y la misma medida, decimos que las figuras son congruentes.

El s�mbolo que se emplea para denotar la congruencia es

Para comparar dos tri�ngulos y determinar si existe congruencia entre ellos, existen tres criterios, que se describen y ejemplifican a continuaci�n.

Dos tri�ngulos son congruentes si los tres lados de uno de ellos son congruentes a los lados del otro tri�ngulo.

Dos tri�ngulos son congruentes si, en el primer tri�ngulo, dos de sus lados y el �ngulo comprendido entre ellos del segundo tri�ngulo

Dos tri�ngulos son congruentes si dos �ngulos y el lado comprendido entre ellos, de uno de los tri�ngulos, son congruentes con dos de los �ngulos y el lado comprendido entre ellos del otro tri�ngulo.

Con la finalidad de ejemplificar los criterios de congruencia de los tri�ngulos, consid�rense los puntos que se dan a continuaci�n.

1. Los siguientes tri�ngulos son congruentes, lo cual puede comprobarse al medir los lados de cada tri�ngulo.

2. Los siguientes tri�ngulos no son congruentes, lo cual se comprueba al medir los lados de cada tri�ngulo.

3. En los siguientes tri�ngulos, los segmentos y los �ngulos congruentes est�n marcados de la misma manera. En funci�n de tal circunstancia, es posible determinar en cu�l de los tres criterios de congruencia son LLL, LAL y ALA.

Como puede observarse, los tres lados del primer tri�ngulo son congruentes con los tres lados del segundo tri�ngulo; por lo tanto, estos tri�ngulos se identifican con el primer criterio de congruencia: lado, lado, lado (LLL).

Puede verse que estos tri�ngulos son congruentes debido a que presentan sus �ngulos y sus lados congruentes, respectivamente; por lo tanto, se identifican con el segundo criterio de congruencia: lado, �ngulo, lado (LAL).

Estos tri�ngulos tambi�n son congruentes, ya que dos �ngulos y el lado comprendido entre los �ngulos del primer tri�ngulo son congruentes con respecto al segundo tri�ngulo; por lo tanto, estos tri�ngulos se identifican con el tercer criterio de congruencia: �ngulo, lado, �ngulo (ALA).

Con base en el conocimiento de los criterios de congruencia se puede demostrar con facilidad cu�ndo dos tri�ngulos son congruentes.

 es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre si. El primer teorema de Tales recoge uno de los postulados más básicos de la geometría, a saber, que:

Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un triángulo :

Dado un triángulo ABC , si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C' , cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC .

Lo que se traduce en la fórmula

Hagamos un ejercicio como ejemplo:

En el triágulo de abajo, hallar las medidas de los segmentos a y b .

Apicamos la fórmula, y tenemos

Como vemos, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario.

Corolario

Al establecer la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.

Por ejemplo, en la figura de arriba se observan dos triángulos que, en virtud del Teorema de Tales, son semejantes. Entonces, como corolario, el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande.

En virtud del teorema de Tales, ambos triángulos son semejantes y se cumple que:

Este corolario es la base de la geometría descriptiva. Su utilidad es evidente; según Heródoto , el propio Tales empleó el corolario de su teorema para medir la altura de la  pirámide de Keops en Egipto.

La leyenda de Tales y las pirámides

Según la leyenda (relatada por Plutarco ), Tales de Mileto en un viaje a Egipto, visitó las pirámides de Guiza ( Keops, Kefrén y Micerinos ), construidas varios siglos antes. 
Admirado ante tan portentosos monumentos, quiso saber su altura.

La leyenda dice que solucionó el problema aprovechando la semejanza de triángulos ( y bajo la suposición de que los rayos solares incidentes eran paralelos ).

Así, estableció una relación de semejanza (Primer teorema de Tales) entre dos triángulos rectángulos, los que se grafican en la figura superior.

Por un lado el que tiene por catetos ( C y D ) a la longitud de la sombra de la pirámide (C, conocible ) y la longitud de su altura (D, desconocida ), y por otro lado, valiéndose de una vara ( clavada en el suelo de modo perfectamente vertical ) otro cuyos catetos conocibles ( A y B ) son, la longitud de la vara (A) y la longitud de su sombra (B). Como en triángulos semejantes, se cumple que

, por lo tanto la altura de la pirámide es

, con lo cual resolvió el problema.

Otra variante del Teorema de Tales

Del primer teorema de Tales se deduce además lo siguiente (realmente es otra variante de dicho teorema, y, a su vez, consecuencia del mismo):Si dos rectas cualesquieras (r y s) se cortan por varias rectas paralelas (AA’, BB’, CC’) los segmentos determinados en una de las rectas (AB, BC) son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra (A’B’, B’C’).

Una aplicación del teorema de Tales se utiliza para dividir un segmento en varias partes iguales (con ayuda de compás, regla y escuadra o cartabón).

Dividir el segmento AB en 3 partes iguales

1. Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del segmento.

2. Tomando como unidad cualquier medida, se señalan en la semirrecta 3 unidades de medida a partir de A.

3. Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento que une B con la última división sobre la semirrecta. Los puntos obtenidos en el segmento AB determinan las 3 partes iguales en que se divide.

Segundo teorema

El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos , las circunferencias y los ángulos inscritos , consiste en el siguiente enunciado:

Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC , distinto de A y de C . Entonces el ángulo ABC , es recto .

Este teorema (véase figuras  1 y 2 ), es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la aplicación de los ángulos inscritos dentro de una circunferencia.

Demostración:

Figura 3.Los triángulos AOB y BOC son isósceles.

En la circunferencia de centro O y radio r (véase figura 3 ), los segmentos

son iguales por ser todos radios de la misma circunferencia.

Por lo tanto, los triángulos AOB y BOC son isósceles.

La suma de los ángulos del triángulo ABC es:

Dividiendo ambos miembros de la ecuación anterior por dos, se obtiene:

 

Con la expresión anterior el segundo teorema queda demostrado.

Semicircunferencia

Como la condición para este enunciado es que la hipotenusa corresponda al diámetro de una circunferencia, también se puede expresar como que el triángulo está inscrito en una semicircunferencia .

Entonces, el Teorema de Tales dirá que "todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es rectángulo con hipotenusa igual al diámetro".

Demostración

Sea el triángulo BCA (en la figura superior)

Como OA y OB son iguales (radios de la semicircunferencia) , los ángulos ABO y BOA también son iguales y como OA y OC también son iguales, los ángulos OAC y OCA son iguales. Por tanto,ángulo BAC es igual a la suma de ABC y ACB .

Teniendo en cuenta que la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es 180º, el ángulo BAC debe ser recto.

Corolarios

Corolario 1“ En todo triángulo rectángulo la longitud de la mediana correspondiente a la hipotenusa es siempre la mitad de la hipotenusa. ”

Ya que aplicando el teorema anterior, se sabe que para cualquier posición que adopte el vértice B vale la igualdad, OA = OB = OC = r , donde OB es la mediana de la hipotenusa, (véase figura 3 ).

Corolario 2“ La circunferencia circunscripta a todo triángulo rectángulo siempre tiene radio igual a la mitad  de la hipotenusa y su circuncentro se ubicará en el punto medio de la misma. ”

El corolario 2 también surge de aplicar el teorema anterior, para una comprensión intuitiva basta observar la figura 2 .

Aplicación del Segundo Teorema de Tales

Construcción de tangentes ( líneas rojas en la figura superior) a una circunferencia k desde un punto P , utilizando el segundo teorema de Tales.

Este segundo teorema ( de Tales de Mileto ) puede ser aplicado para trazar las tangentes a una circunferencia k dada, que además pasen por un punto P conocido y externo a la misma ( véase figura ).

Se supondrá que una tangente cualquiera t ( por ahora desconocida ) toca a la circunferencia k en un punto T ( también desconocido por ahora ).

Se sabe por simetría que cualquier radio r de la circunferencia k es perpendicular a la tangente del punto T que dicho radio define en la misma, por lo que concluimos que ángulo OTP es necesariamente recto.

Lo anterior implica que el triángulo OTP es rectángulo.

Recordando el corolario 2 del segundo teorema de Tales podemos deducir que entonces el triángulo OTP es inscribible en una circunferencia de radio mitad de la hipotenusa OP del mismo.

Entonces, marcando el punto H como punto medio de la hipotenusa OP y haciendo centro en el mismo, podemos dibujar una segunda circunferencia auxiliar ( gris en la figura ) que será la que circunscribe al triángulo OTP .

Esta última circunferencia trazada interceptará a la circunferencia k en dos puntos T y T' , estos son justamente los puntos de tangencia de las dos rectas que son simultáneamente tangentes a k y además pasan por el punto P , ahora ya conocidos los puntos T y T' solo basta trazar las rectas TP y T'P ( rojas en la figura ) para tener resuelto el problema.

Funciones trigonométricas

Ya tenemos las 3 funciones básicas del teorema, y ya lo tenemos representado en el triangulo. Ahora resolveremos ejercicios para entenderle mejor y saber empeñar las formulas.

Ejercicio No 1. Una persona observa el estallido de un cohete con un ángulo de elevación de 20°. 4 segundos después escucho el sonido estando a 20m de distancia. ¿A que altura exploto el cohete?

Primeramente, sabemos que el triangulo tiene un ángulo de 90°, otro de 20°, por ende el tercer ángulo mide 70° ¿Por qué?

Ya teniendo el ángulo, usaremos la formula para saber la altura. En este caso, usamos la formula de la tangente, pues del triangulo mencionado, vamos a usar los dos catetos, que vendrían siendo el cateto adyacente (20m) y el cateto opuesto (altura) siendo la tangente los 20° que la persona vio de elevación el estallido.

Como Altura esta arriba y no puede dividirse por 20m, pasa multiplicando, y queda:

La altura del cohete al explotar fue de 7.27m

Ejercicio No 2. Un hombre deja su carro fuera de un edificio, sube al ultimo piso del edificio que mide 15m de alto y ve su auto con una inclinación de 50° ¿A cuantos metros dejo su automóvil del edificio, y a que distancia se ve desde el edificio?

Para saber la distancia del auto al edificio viéndolo desde arriba, se usa la tangente.

Del auto al edificio son 12.58m de distancia. Ahora veremos la distancia que hay de la persona situada arriba, hasta el auto. Sacaremos el valor de la Hipotenusa. Se puede sacar por 2 métodos ya antes vistos, por el método del Teorema de Pitágoras, o por las funciones trigonométricas del Teorema de Pitágoras. Veré por los 2 métodos.

Los dos quedan iguales con 1 decimal de diferencia. Y el triangulo queda:

Los poliedros son cuerpos geométricos que tienen todas sus caras formadas por polígonos.
Los elementos de un poliedro son caras, vértices y aristas.
Las caras son los polígonos que la limitan, las aristas son los lados de las caras y los vértices son los de las caras. 
Un poliedro es regular cuando todas sus caras son polígonos iguales y regulares. 
Sólo hay 5 poliedros regulares:
- Hay 3 poliedros regulares con sus caras formadas por triángulos equiláteros (tetraedro, octaedro e icosaedro)
- Hay 2 poliedros que tienen las caras formadas por cuadrados (cubo y dodecaedro)

En la siguiente actividad tenemos que identificar los diferentes poliedros regulares que vemos en las imágenes con los números de abajo, para ello tenemos cuatro pistas con las que nos ayudaremos para saber a que número corresponde cada uno de los poliedros.

Una expresión algebraica es cualquier combinación de letras y números ligados por las operaciones elementales de suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación. Las letras, que suelen representar cantidades desconocidas, se denominan variables o incógnitas, y los números coeficientes
¿Cómo se hace una expresión algebraica?

Parte 2 Resuelve una ecuación algebraica

Ejemplos de expresiones algebraicas son:



Longitud de la circunferencia: L = 2r, donde r es el radio de la circunferencia.


Área del cuadrado: S = l2, donde l es el lado del cuadrado.


Volumen del cubo: V = a3, donde a es la arista del cubo.




Valor numérico de una expresión algebraica


El valor numérico de una expresión algebraica, para un determinado valor, es el número que se obtiene al sustituir en ésta el valor numérico dado y realizar las operaciones indicadas. L(r) = 2r


r = 5 cm. L (5)= 2 · · 5 = 10 cm S(l) = l2 l = 5 cm A(5) = 52 = 25 cm2 V(a) = a3 2 a = 5 cm V(5) = 53 = 125 cm3



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Un Sólido o Cuerpo Geométrico es una figura geométrica de tres dimensiones (largo, ancho y alto), que ocupa un lugar en el espacio y en consecuencia tiene un volumen. Son sólidos geométricos de muchas caras, que contienen los siguientes elementos: caras, aristas, vértices.