Kelompok 7 by Meautia Hanifah

Nama Anggota

mutiahani03 — 2021-09-16 03:53:09 UTC

1. Danial Baihaqi Putra Jamal (8)

2. Banu Hidayati Santoso (5)

3. Meautia Hanifah (24)

4. Raisa Puspita Devi (31)

Definisi Kaidah Pencacahan

mutiahani03 — 2021-09-16 03:59:04 UTC

Kaidah pencacahan atau dalam bahasa inggris disebut sebagai Counting Rules adalah sebuah cara atau aturan untuk menghitung seluruh kemungkinan yang bisa terjadi dalam suatu percobaan tertentu. Kaidah pencacahan merupakan sebuah aturan membilang untuk mengetahui banyaknya kejadian atau objek-objek tertentu yang muncul. Disebut sebagai pencacahan sebab hasilnya berwujud suatu bilangan cacah.

Metode dalam Kaidah Pencacahan

mutiahani03 — 2021-09-16 04:41:18 UTC

1. Aturan Penjumlahan
2. Aturan Perkalian
3. Filling Slots
4. Permutasi
5. Kombinasi

1. Metode Aturan Penjumlahan

mutiahani03 — 2021-09-16 04:48:22 UTC

Misalkan, ada n₁cara melakukan kegiatan 1, n₂ cara melakukan kegiatan 2, ..., n_k cara melakukan kegiatan k, dimana semua kegiatan tersebut tidak dapat dilakukan bersamaan, maka banyak cara melakukan seluruh kegiatan adalah:
n₁+n₂+n₃+...+n_k

Aturan penjumlahan dipakai jika:

Ada beberapa kegiatan berbeda namun hanya satu yang dilakukan.
Kita sedang membagi kasus (terkadang ketika membagi kasus, aturan penjumlahan biasanya dipakai beriringan dengan kaidah atau rumus lain).

Contoh:

Sultan memiliki 3 mobil, 2 sepeda motor dan 4 sepeda. Berapa cara Sultan dapat ke kantor dengan kendaraannya?
Penyelesaian:
Perhatikan bahwa Sultan hanya dapat menggunakan salah satu kendaraan (tidak dapat menggunakannya bersamaan).
Jadi, dengan aturan penjumlahan banyak cara Sultan pergi ke kantor dengan kendarannya adalah:
3 + 2 + 4 = 9 cara.

2. Metode Aturan Perkalian

mutiahani03 — 2021-09-16 04:52:18 UTC

Misalkan, ada n₁ cara melakukan kegiatan 1, n₂ cara melakukan kegiatan 2, ..., n_kcara melakukan kegiatan k, dimana semua kegiatan tersebut dilakukan bersamaan, maka banyak cara melakukan seluruh kegiatan adalah:
n₁×n₂×n₃×...×n_k

Aturan perkalian dipakai jika:

Ada satu kegiatan terdiri dari beberapa tahap.
Ada beberapa kegiatan berbeda yang semuanya harus dilakukan.

Contoh 1:

Candra mempunyai 6 buah kaus, 5 buah kemeja dan 4 buah celana panjang. Tentukan banyaknya variasi pakaian yang dapat dipakai Candra?
Penyelesaian:
Candra dapat memakai kaus, kemeja, dan celana panjang secara bersamaan.
Jadi, dengan aturan perkalian banyak variasi pakaian yang dapat dipakai Candra adalah:

Kaus | Kemeja | Celana Panjang
6 variasi | 5 variasi | 4 variasi

= 6 x 5 x 4
= 120 variasi

Contoh 2:

Suatu menu makan siang terdiri dari sayur, lauk, buah dan minuman masing-masing satu macam. Jika terdapat 3 macam sayur, 4 macam lauk, 5 macam buah dan 3 macam minuman. Berapakah banyaknya menu makan siang yang dapat dipilih?
Penyelesaian:
Dengan aturan perkalian banyak menu yang dapat dipilih adalah:

Banyak Cara Memilih:

Sayur | Lauk | Buah | Minuman
3 | 4 | 5 | 3

= 3 x 4 x 5 x 3
= 180 menu

3. Filling Slots

mutiahani03 — 2021-09-16 04:55:03 UTC

Filling Slots atau disebut juga Aturan Pengisian Tempat merupakan cara yang digunakan untuk menentukan banyaknya cara suatu objek menempati tempatnya.

Aturan pengisian tempat, dibagi menjadi tiga cara, yakni :
(a) Aturan Tabel
(b) Aturan Diagram Cabang
(c) Himpunan Pasangan Terurut

3. (a) Aturan Tabel

mutiahani03 — 2021-09-16 04:55:58 UTC

Contoh penyelesaian:

Seseorang mempunyai tiga pasang sepatu dan lima pasang kaus kaki. Dengan aturan tabel tentukanlah banyaknya cara orang tersebut dalam mengenakan sepatu dan kaus kaki.

Jawab:

3. (b) Aturan Diagram Cabang

mutiahani03 — 2021-09-16 04:56:59 UTC

Contoh Penyelesaian:

Ahmad dan Budi adalah calon ketua OSIS di suatu SMA, sedangkan Mahmud, Cici, dan Gani adalah calon wakil ketua, serta Yuli dan Susi adalah calon sekretaris. Dengan menggunakan diagram cabang tentukanlah banyaknya kemungkinan pasangan pengurus inti OSIS di SMA tersebut.

Jawab:

3. (c) Himpunan Pasangan Terurut

mutiahani03 — 2021-09-16 04:58:15 UTC

Contoh penyelesaian:

Gilang memiliki 3 kaos dengan warna putih, merah dan biru dan juga memiliki 2 celana panjang yang berwarna hitam dan cokelat. Tentukan beberapa kemungkinan Gilang akan menggunakan kaos dan juga celana panjang!

Jawab:

{(Putih, Hitam), (Putih, Cokelat), (Merah, Hitam), (Merah, Cokelat), (Biru, Hitam), (Biru, Cokelat)}

4. Metode Permutasi

mutiahani03 — 2021-09-16 05:07:34 UTC

Permutasi adalah susunan yang berurutan dari semua atau sebagian elemen dari suatu
himpunan. Permutasi merupakan pola pengambilan yang memperhatikan urutan (dimana AB ≠ BA). Dalam mempelajari permutasi, perlu dipahami terlebih dahulu terkait faktorial. Hasil
kali bilangan bulat 1 sampai n adalah n (dibaca n faktorial), atau:
n! = n x (n – 1) x (n – 2)…....
Contoh: n! = n x (n – 1) x (n – 2) x ….... x 2 x 1

Jenis – jenis permutasi:

(1) Permutasi dari n elemen, tiap permutasi terdiri dari elemen.

Jika ada unsur yang berbeda diambil dari n unsur, maka banyaknya permutasi yang berbeda
dari n unsur tersebut adalah:
Pⁿ_n= _n!

Contoh:
Aeorang anak akan menata 5 gelas dengan warna berbeda di atas meja. Maka,
banyaknya cara untuk menyusun gelas tersebut adalah:
P⁵_⁵ = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 cara

(2) Permutasi dari n elemen, tiap elemen terdiri dari r unsur dari n elemen dengan n.

Untuk semua bilangan positif n dan r (dengan n), banyaknya permutasi dari n objek yang
diambil r objek pada satu waktu adalah:
Pⁿr = n! : (n – r)!
Rumus ini biasanya digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan pemilihan suatu jabatan kepengurusan, maupun peringkat dalam kejuaraan (dimana urutan diperhatikan).

Contoh:
banyaknya cara untuk memilih seorang ketua, wakil ketua, sekretaris, dan bendahara dari 7 siswa yang tersedia adalah:
Banyaknya siswa: n = 7
Banyak pilihan objek (ketua, wakil ketua, sekretaris, bendahara): r = 4
Maka, banyaknya cara yang bisa dipilih adalah:
Pⁿr = P⁷_⁴ = 7 x 6 x 5 x 4 x 3! : 3! = 840

(3) Permutasi dari n unsur yang mengandung p,q dan r unsur yang sama.

Pⁿ_k1.k2.k3 = n! : K₁!k₂!k_t!
dimana:
n = banyaknya elemen keseluruhan
k₁ = banyaknya elemen kelompok 1 yang sama
k₂ = banyaknya elemen kelompok 2 yang sama
k_t = banyaknya elemen kelompok t yang sama
Sebagai contoh, banyaknya cara untuk menyusun kata dari kata MISSISPPI adalah:
n= banyaknya huruf = 9
k₁ = banyaknya huruf I = 3
k₂= banyaknya huruf S = 3
k₃ = banyaknya huruf P = 2
Maka,
Pⁿ_k1,k2,k3 = Pn3!3!2! = 5040 cara
Permutasi Siklis
Permutasi siklis adalah permutasi melingkar (urutan melingkar).
Pⁿ_siklis = (n – 1)!

Contoh:
4 orang anggota keluarga akan duduk mengelilingi sebuah meja bundar. Banyaknya cara susunan yang dapat dibuat adalah: n = banyaknya anggota
Maka,
Pⁿ_siklis = (4 – 1)! = 3! = 3 x 2 x 1 = 6 cara

5. Metode Kombinasi

mutiahani03 — 2021-09-16 05:17:34 UTC

Kombinasi merupakan suatu pengelompokan dari sebagian atau seluruh elemen dari suatu
himpunan tanpa memperhatikan urutan susunan pemilihannya (AB = BA). Kombinasi dari
beberapa unsur yang berbeda yaitu:
Cⁿ_^r= n! : (n – r)!r!

Contoh:
Kombinasi 2 elemen dari 3 huruf A, B, C adalah dan AB, AC, dan BC. Sedangkan AB, AC, dan BC tidak termasuk ke dalam hitungan karena AB = BA, AC, dan BC = CB, Banyaknya kombinasi adalah:
Cⁿ_^r= C³_² = 3! : (3-2)!2! = 3! : 1!2! = 3

Soal Pemecahan Masalah Kaidah Pencacahan

mutiahani03 — 2021-09-16 05:39:14 UTC