Übersicht Integralrechnung by Olivia Zeiske https://padlet.com/zeiskeolivia/d7397i123vodftet en-us 2020-04-28 11:05:41 UTC 2024-03-19 19:43:42 UTC hello@padlet.com Um den Flächeninhalt A des abgebildeten Parabelsegments zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion z.B. x2 zu bestimmen, unterteilen wir die Fläche in eine Anzahl von vertikalen Rechteckstreifen. Dabei entstehen Unter- und Obersumme, also die Inhaltssumme der Streifen, die jeweils unter und über der Kurve liegen. Um die Genauigkeit zu erhöhen, erhöht man die Anzahl der Streifen. Die Streifen besitzen alle dieselbe Breite z.B. 1/4, während die Höhe der Streifen den Funktionswerten der Funktion an den Stellen 0,1/4,2/4,3/4,1 sind -> 0^2,1/4^2,2/4^2,3/4^2,1^2, sodass man dann Ober- und Untersumme -wie unten- berechnen kann. zeiskeolivia https://padlet.com/zeiskeolivia/d7397i123vodftet/wish/536019682 2020-04-28 11:09:35 UTC https://padlet.com/zeiskeolivia/d7397i123vodftet/wish/536019682 Um den Inhalt exakt zu bestimmen, teilen wir ein Intervall die Streifen in die Breite 1/n. Dafür berechnen wir die Obersumme n und Untersumme n wie zuvor. Anschließend lassen wir also n gegen unendlich als Grenzwert laufen und ermitteln so gegen welche Grenzwerte Ober- und Untersumme zustreben. zeiskeolivia https://padlet.com/zeiskeolivia/d7397i123vodftet/wish/536046429 2020-04-28 11:24:02 UTC https://padlet.com/zeiskeolivia/d7397i123vodftet/wish/536046429 Mithilfe der Flächeninhaltsfunktion zur unten Grenze 0 kann man den Inhalt, der bei 0 "beginnenden" und an einer belieben Stelle x "endenden" Fläche berechnen. zeiskeolivia https://padlet.com/zeiskeolivia/d7397i123vodftet/wish/536082131 2020-04-28 11:43:08 UTC https://padlet.com/zeiskeolivia/d7397i123vodftet/wish/536082131 zeiskeolivia https://padlet.com/zeiskeolivia/d7397i123vodftet/wish/536095842 2020-04-28 11:49:39 UTC https://padlet.com/zeiskeolivia/d7397i123vodftet/wish/536095842 Eine Funktion F ist eine Stammfunktion einer Funktion f, wenn für sie gilt: F'(x)=f(x).Die Umkehrung des Ableitens ist das Bilden von Stammfunktionen und wird deshalb auch umgangssprachlich Aufleiten genannt.Wie schon beim Ableiten gibt es auch hier eine Summenregel (= Eine Summe wird „summandenweise“ aufgeleitet) und eine Faktorregel (= Ein konstanter Faktor bleibt beim Aufleiten erhalten) sowie eine Potenzregel. zeiskeolivia https://padlet.com/zeiskeolivia/d7397i123vodftet/wish/536420897 2020-04-28 13:56:03 UTC https://padlet.com/zeiskeolivia/d7397i123vodftet/wish/536420897 Als unbestimmtes Integral bezeichnet man, wie oben bereits angedeutet, die Gesamtheit aller Stammfunktionen F(x)+C einer Funktion f(x). Die Schreibweise für unbestimmte Integrale lautet zeiskeolivia https://padlet.com/zeiskeolivia/d7397i123vodftet/wish/536437113 2020-04-28 14:01:03 UTC https://padlet.com/zeiskeolivia/d7397i123vodftet/wish/536437113 zeiskeolivia https://padlet.com/zeiskeolivia/d7397i123vodftet/wish/536448259 2020-04-28 14:04:39 UTC https://padlet.com/zeiskeolivia/d7397i123vodftet/wish/536448259 zeiskeolivia https://padlet.com/zeiskeolivia/d7397i123vodftet/wish/536453825 2020-04-28 14:06:23 UTC https://padlet.com/zeiskeolivia/d7397i123vodftet/wish/536453825 Das Anfangswertproblem beschreibt das Problem, eine Stammfunktion zu finden, die durch einen bestimmten Punkt geht. zeiskeolivia https://padlet.com/zeiskeolivia/d7397i123vodftet/wish/536456619 2020-04-28 14:07:14 UTC https://padlet.com/zeiskeolivia/d7397i123vodftet/wish/536456619 Wenn Integrationsgrenzen angegeben sind, handelt es sich nicht mehr um ein unbestimmtes Integral. Man spricht dann von einem bestimmten Integral, da die Integrationsgrenzen ja angegeben – folglich bestimmt – sind.Im Gegensatz zum unbestimmten Integral lässt sich ein bestimmtes Integral mit dem Hauptsatz der Integralrechnung lösen! zeiskeolivia https://padlet.com/zeiskeolivia/d7397i123vodftet/wish/536470568 2020-04-28 14:11:33 UTC https://padlet.com/zeiskeolivia/d7397i123vodftet/wish/536470568 zeiskeolivia https://padlet.com/zeiskeolivia/d7397i123vodftet/wish/536478663 2020-04-28 14:14:06 UTC https://padlet.com/zeiskeolivia/d7397i123vodftet/wish/536478663 Das bestimmte Integral einer Funktion f über dem Intervall (a;b) hat anschaulich die Bedeutung einer Flächeninhaltsbilanz. Die oberhalb der x-Achse liegenden Flächenstücke gehen positiv ein, die unterhalb negativ. zeiskeolivia https://padlet.com/zeiskeolivia/d7397i123vodftet/wish/536480040 2020-04-28 14:14:33 UTC https://padlet.com/zeiskeolivia/d7397i123vodftet/wish/536480040 Die Integralrechnung kann zur Berechnung von Flächeninhalten verwendet werden. Wenn Grenzwerte gegeben sind, liegt ein bestimmtes Integral vor. zeiskeolivia https://padlet.com/zeiskeolivia/d7397i123vodftet/wish/536496150 2020-04-28 14:19:42 UTC https://padlet.com/zeiskeolivia/d7397i123vodftet/wish/536496150 Wenn f und g zwei Funktionen sind, die auf dem Intervall [a; b] stetig sind und f(x)≥g(x) für alle x in [a; b],dann ist die Fläche, die von beiden Funktionen eingeschlossen wird zeiskeolivia https://padlet.com/zeiskeolivia/d7397i123vodftet/wish/536508100 2020-04-28 14:23:28 UTC https://padlet.com/zeiskeolivia/d7397i123vodftet/wish/536508100 zeiskeolivia https://padlet.com/zeiskeolivia/d7397i123vodftet/wish/536521698 2020-04-28 14:27:25 UTC https://padlet.com/zeiskeolivia/d7397i123vodftet/wish/536521698 Wenn du einen Bestand kennst und wissen möchtest, wie sich dieser ändert, betrachtest du die mittlere Änderungsrate oder auch die lokale Änderungsrate. Die lokale Änderungsrate entspricht der ersten Ableitung der Bestandsfunktion an einer gegebenen Stelle. In diesem Fall musst du also ableiten. Der mathematische Fachbegriff hierfür lautet differenzieren.Umgekehrt bedeutet dies: Wenn du von einer Änderungsrate zurück zum Bestand, genauer der Bestandsfunktion kommen möchtest, musst du integrieren. zeiskeolivia https://padlet.com/zeiskeolivia/d7397i123vodftet/wish/536530604 2020-04-28 14:30:03 UTC https://padlet.com/zeiskeolivia/d7397i123vodftet/wish/536530604 zeiskeolivia https://padlet.com/zeiskeolivia/d7397i123vodftet/wish/536536207 2020-04-28 14:31:42 UTC https://padlet.com/zeiskeolivia/d7397i123vodftet/wish/536536207 zeiskeolivia https://padlet.com/zeiskeolivia/d7397i123vodftet/wish/537053319 2020-04-28 17:13:03 UTC https://padlet.com/zeiskeolivia/d7397i123vodftet/wish/537053319 zeiskeolivia https://padlet.com/zeiskeolivia/d7397i123vodftet/wish/537053971 2020-04-28 17:13:17 UTC https://padlet.com/zeiskeolivia/d7397i123vodftet/wish/537053971