Las ecuaciones de la forma ax + b = 0 son muy sencillas de resolver, basta con despejar la x.

Para pasar un número, o una variable, al otro lado del signo tenemos que seguir estas reglas:
·         sí está sumando pasa restando y si está restando pasa sumando. En nuestro caso quedaría ax = -b

·         si está multiplicando pasa dividiendo y si está dividiendo pasa multiplicado 
Una forma más sencilla de ver este método de despejar, es que a los dos miembros de las ecuaciones se le realizan exactamente las mismas operaciones a cada uno. 

Como son iguales, el uno y el otro, al realizarles exactamente la misma operación su resultado variara exactamente de la misma manera (en el caso que sea cero un multiplicando o un dividendo esta regla no se le aplica).
                             ax + b = 0 – b

                             ax = -b
                             ax/a = -b/a
                             x = -b/a

2.- se añaden los mismos términos a cada lado del igual a fin de dejar todas las experiencias con incógnita de un lado de la ecuación y todas las cantidades conocidas del otro lado,

3.- se reducen los términos semejantes

4.- se despeja la incógnita dividiendo entre el coeficiente de la incógnita ambos miembros de la ecuación.
5.- se comprueba que el resultado obtenido sea correcto reemplazándolo en la ecuación original.
Ejemplo

A cabo una de las ecuaciones se les denomina también restricciones o condiciones.
Todo sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, x e y, tiene las siguientes representaciones:

·         Sistema cuadrado: mismo número de ecuaciones que de incógnitas

·         Sistema rectangular: distinto número de ecuaciones que de incógnitas.

2.- Según los términos independientes bi, de las ecuaciones:

·         Sistema homogéneo: los términos independientes son bi = 0

·         Sistema no homogéneo o completo: al menos uno de los términos independientes es distinto de 0.

son equivalentes por tener una única solución a partir de dos incógnitas. En el plano cartesiano, se representan al formarse rectas secantes (solo un punto en la recta). 

Ejemplo:

Ejemplo:
                           2x + 2y =6
                           x+y=3
En este caso, podemos observar que, las ecuaciones de este sistema son exactamente iguales, ya que 2x + 2y = 6 es lo mismo que x + y = 3, pero amplificando por 2. Esto quiere decir, que cualquier punto de la recta es la solución del sistema.

Por lo tanto:

 Intentemos resolver



La primera ecuación se puede reescribir de la forma


Por otra parte, de la segunda ecuación del sistema se deduce que


Sustituyendo  2x    por 1+ y   en

se tiene que

que es una ecuación con solo una incógnita y cuya solución es Y=1

 Sustituyendo( y) por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida obtenemos una ecuación de una sola incógnita.

cuya solución es  X=1

 Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro derecho ( izquierdo ) es la suma de los miembros derechos ( izquierdos ) de las ecuaciones que se suman por algo que sabe venom.
Ejemplo

Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones.
15x - 9y = 1 
 -15x + 20y = 5
Al sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación 

 
La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la  desaparezca al sumar ambas ecuaciones.

 

Sutituyendo  por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene

que es otra ecuación con una sola incognita y cuya solución es   .

donde a, b,  y c  representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son expresiones algebraicas ).

De las dos igualdades anteriores se deduce que

Si resulta que una incógnita del sistema de ecuaciones no aparece ni en  ni en , entonces la ecuación

no contendría dicha incógnita.
Este proceso de eliminación de incógnitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una ecuación con solo una incógnita, digamos  .
Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye  por su solución en otras ecuaciones donde aparezca  para reducir el número de incógnitas en dichas ecuaciones.
Ejemplo

 El sistema de ecuaciones

es equivalente a este otro

El segundo sistema lo he obtenido pasando los términos en  del miembro de la izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer sistema.

Del segundo sistema se deduce que

que es una ecuación con una sola incógnita cuya solución es  Y=1

Sustituyendo Y por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que

que es una ecuación con una sola incognita y cuya solución es  X=1

 

Sin duda, el resultado más relevante es el teorema de Rouché-Frobenius, que nos permite clasificar el SEL a partir del rango de la matriz ampliada del SEL. 
Asumimos que ya conocemos el concepto de matriz y sus operaciones básicas (suma, resta, producto, transpuesta, determinante, matriz inversa, rango, etc.).

Notación: llamaremos xixi a las incógnitas de los sistemas para poder hablar de forma genérica de un sistema con nn incógnitas.

1. Según su dimensión:

2. Según los términos independientes bibi de las ecuaciones:

Math Homework. (2007). Resolviendo sistemas de ecuaciones lineales. Recuperado de (03/03/19): https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/solving-systems-of-linear-equations

Portal educativo (2015). Sistema de ecuaciones lineales. Recuperado de (03/03/19): https://www.portaleducativo.net/segundo-medio/45/sistema-de-ecuaciones-lineales

Problemas y ecuaciones (2007). Sistemas de ecuaciones. Recuperado de (03/03/19): https://www.problemasyecuaciones.com/Ecuaciones/sistemas/metodos-resolucion-sistemas-sustitucion-igualacion-reduccion-ejemplos.html

Llopis, J. (s.f.) Matrices y sistemas de ecuaciones. Recuperado de (03/03/19): https://www.matesfacil.com/matrices/matrices-sistemas.html