(x₁,y₁) = igual a (24,1400)
Pareja ordenada 2 (x₂,y₂), donde x₂=36y y2=3200, igual a (36,3200) (x₂,y₂) = igual a (36,3200)
Pendiente: m=  3200-1400/36-24=1800/12
m = 150
La pendiente de la recta de los cultivos con densidad de 2500 plantas/ha es de 150.
Pendiente de la recta de los cultivos con densidad 5000 plantas/ha
Pareja ordenada 1 (x₁,y₁), donde x₁=24 y y1=1760

(x₁,y₁) = igual a (24,1760)
Pareja ordenada 2 (x₂,y₂), donde x₂=36 y y2=4120, igual a (2,4120)

(x₂,y₂) = igual a (36,4120)
Pendiente: m= 4120- 1760/36-24= 2360/12
m = 197

La pendiente de la recta de los cultivos con densidad de 5000 plantas/ha es de 197

Pendiente de la recta de los cultivos con densidad 10000 plantas/ha
Pareja ordenada 1 (x₁,y₁), donde x₁=24 y y1=1840

(x₁,y₁) = igual a (24,1840)
Pareja ordenada 2 (x₂,y₂), donde x₂=36 y y2=3080, igual a (2,3080) (x₂,y₂) = igual a (36,3080)
Pendiente: m=3080-1840/36-24=1240/12
m = 103

La pendiente de la recta de los cultivos con densidad de 10000 plantas/ha es de 103

 

En el plano cartesiano, la intersección de dos copias del eje o recta real, uno horizontal y otro vertical, de modo que se intersecten en los puntos cero de las rectas se denominan ejes coordenados, su intersección se marca como 0 y se llama origen.

 

Por convención la línea horizontal se llama eje de las x y la vertical eje de las y u ordenadas. La mitad positiva del eje de las x hacia la derecha; la mitad positiva del eje de las y hacia arriba (Purcell Edwin, 4 ed.) ⁴

 

Los ejes coordenados dividen al plano en cuatro regiones, llamados cuadrantes. 

 

Acorde con el análisis de variables realizado, nuestra variable independiente (X) corresponde a la edad de la planta (en meses) y nuestra variable dependiente (Y), al número de hojas del árbol que depende de la densidad de la población en el cultivo y de la edad de las plantas.

 

 

La pendiente de la recta se define como la medida de la inclinación de una línea, según la cual una línea horizontal tiene pendiente cero y que una que lleva a la derecha tiene pendiente positiva y que una que cae a la derecha tiene pendiente negativa. Cuanto mayor sea la magnitud de a pendiente, más empinada estará la línea (Purcell Edwin, 4 ed.) ⁴

En general se define la pendiente m de una línea que pasa por los puntos A (X₁,Y₁) y B (X₂,Y₂), donde X₁ ≠ X<sub>2,

M= Elevación/Avance = (y2-y1/x2-x1)</sub>

Y la ecuación de la pendiente, donde m= pendiente, es:

 

y=mx+b 

 

 Así las cosas, procedemos a hallar las pendientes de cada una de las rectas obtenidas, estableciendo las parejas ordenadas y aplicando la fórmula indicada, de la siguiente manera:

ü  Pareja ordenada 1 (x₁,y₁), donde x₁=24 y y1=1400

(x₁,y₁) = igual a (24,1400)

 

ü  Pareja ordenada 2 (x₂,y₂), donde x₂=36y y2=3200, igual a (36,3200)

(x₂,y₂) = igual a (36,3200)

ü    Pendiente:  _{M=3200-1400/36.24 =
1800/12}

m = 150

 

La pendiente de la recta de los cultivos con densidad de 2500 plantas/ha es de 150.

 

ü  Pareja ordenada 1 (x₁,y₁), donde x₁=24 y y1=1760

(x₁,y₁) = igual a (24,1760)

 

ü  Pareja ordenada 2 (x₂,y₂), donde x₂=36 y y2=4120, igual a (2,4120)

(x₂,y₂) = igual a (36,4120)

m = 197

 

La pendiente de la recta de los cultivos con densidad de 5000 plantas/ha es de 197

ü  Pareja ordenada 1 (x₁,y₁), donde x₁=24 y y1=1840

(x₁,y₁) = igual a (24,1840)

 

ü  Pareja ordenada 2 (x₂,y₂), donde x₂=36 y y2=3080, igual a (2,3080)

(x₂,y₂) = igual a (36,3080)

ü    Pendiente:  _{3080-1840/36-24=
1240/12}

m = 103

 

La pendiente de la recta de los cultivos con densidad de 10000 plantas/ha es de 103

Con el objeto de seleccionar la muestra de datos que serán objeto de análisis, procedimos a determinar la variación porcentual del número de hojas obtenidas al final de cada periodo con respecto al corte anterior, excluyendo los primeros 12 meses, en razón a que es a partir de esta etapa cuando comienza la floración del árbol, por lo que se considera que hasta esta edad las plantaciones se encuentran en etapa netamente vegetativa. Los datos obtenidos son los siguientes:

Teniendo en cuenta las cifras obtenidas en este primer análisis, seleccionamos los periodos a los cuales corresponde la mayor variación porcentual, que, en este caso, comprende los meses 13 - 24 y 25 a 36, que arrojan un promedio total de variación que asciende al 208%. 

 

Por ello es importante analizar el comportamiento de cada recta de manera independiente, comparando los valores obtenidos en cada escenario al comienzo y final del experimento para determinar el comportamiento de la floración en la planta de café y determinar si existe alguna relación entre estas variables que pueda considerarse afecte la rentabilidad de la plantación:

 

Los puntos de corte de las rectas en el eje x, tienen como condición que valor de y=o.

 

Por tanto, si reemplazamos en nuestras ecuaciones lo valores de y por cero, hallaremos el punto exacto en el cual las rectan cortan nuestra recta en x.

 

 -  Punto de corte en x de la recta de plantaciones con densidad 2500 plantas/ha:

Ecuación de la recta: 

 

Y = 150 x – 2200

150x – 2200 = 0

150x = 2200; despejamos x

X = 2200 / 150

X = 14.66

 

La recta corta al eje x en 14,66. Por tanto, la pareja ordenada del punto será (14.66,0)

  

-   Punto de corte en x de la recta de plantaciones con densidad 5000 plantas/ha:

Ecuación de la recta:

 

Y = 197 x – 3328

197x – 3328 = 0

197x = 3328; despejamos x

X = 3328 / 197

X = 16.89

 

La recta corta al eje x en 16.89 Por tanto, la pareja ordenada del punto será (16.89,0)

-   Punto de corte en x de la recta de plantaciones con densidad 10000 plantas/ha:

Ecuación de la recta de:

 

Y = 103 x – 632

103x – 632 = 0

103x = 632; despejamos x

X = 632 / 103

X = 6.13

 

La recta corta al eje x en 6.13 Por tanto la pareja ordenada del punto será (6.13,0)

 

 

De los 3 escenarios analizados, las plantas de cafeto sembradas en plantaciones con densidad de 2.500 árboles/ha., presentan al inicio del segundo año el punto de floración más bajo (1.400 hojas) respecto de las 1.667 hojas del promedio, lo que supone un rendimiento negativo de 14%.

 

Ahora bien, al analizar los datos del mes 36, encontramos que el total de flores producidas en este tipo de plantación es de 3.200, cifra también inferior al promedio de 3.467 hojas, correspondiente a un 7.7% por debajo de la media (267 hojas menos). (Ver tabla No.1)

 

 Plantaciones con densidad de 5000 árboles/ha

 

Las plantas pertenecientes a siembras con densidad de 5.000 árboles/ha., presentan un comportamiento interesante:

 

Al inicio del experimento cuentan con el segundo nivel de floración (1.760 hojas) cifra que comparada con el promedio (1.667), se traduce en un rendimiento de 5.6% por encima de la media.

 

Lo más interesante de la floración en este tipo de plantación, es el final del experimento, siendo el único tipo de plantación analizado que arroja cifras por encima de la media (18.8%) al alcanzar un total de 4.120 hojas: 653 más hojas que el promedio, 920 más hojas que el cultivo con densidad 2.500 y 1.010 más hojas que el cultivo con densidad 10.000 plantas/ha. (Ver tabla No.1)

 

 Plantaciones con densidad de 10000 árboles/ha

 

Es muy importante el análisis de los resultados obtenidos en este tipo de plantación, en especial para quienes consideran que a mayor densidad de siembra mayor número de flores y por ende mayor productividad.

 

Al inicio del experimento esta plantación tiene el mayor número de flores (1.840 hojas por planta) cifra que comparada con el promedio (1.667), equivale a un rendimiento superior de 10.4% por encima de la media.

 

Sin embargo, las cifras obtenidas al mes 36, indican que este rendimiento tiene una fuerte caída, pasando de 10.4% a -11.2% (3.080 hojas vs. 3.467 del promedio), siendo de los 3 escenarios comparados, la cifra de menor rendimiento. (Ver tabla No.1)

 
En conclusión, la gráfica permite evidenciar que el tipo de plantación que presenta un mejor rendimiento corresponde a aquellas con una densidad de 5.000 árboles/ha., siendo este tipo de plantaciones las que presentan indicadores positivos de número de hojas por árbol tanto al inicio como al final del experimento, lo que se traduce en mayor capacidad de captación de energía solar permitiendo que las planas obtengan mayores niveles de energía química requerida dentro del proceso fotosintético.

Si tenemos una línea recta esta tendrá una razón constante de cambio de y con respecto a x, es decir, nuestra recta tendrá una inclinación o pendiente constante, determinado por el cambio en y (elevación) sobre el cambio en x (avance), de la siguiente manera:                                                            

Para comprobarlo, utilizaremos triángulos similares, teniendo en cuenta que por principio de similitud se tienen ángulos correspondientes congruentes o iguales entre los triángulos.

 

Por lo anterior, por triángulos semejantes, se demuestra que:

 De manera que siendo A´ un triángulo rectángulo sobre la recta conformado por las parejas ordenadas (X₁´,Y₁´), (x₂´,y₂´), da justo lo mismo que el triángulo A, conformado por las parejas ordenadas (X₁,Y₁), (x₂,y₂). (Purcell Edwin, 4 ed.) ⁴

 

 

Las hojas del cafeto son las partes de la planta encargadas de realizar los tres procesos fisiológicos más importantes que soportan el crecimiento y desarrollos vegetativo y reproductivo, éstos son: la fotosíntesis, la respiración y la transpiración (Arcila et al. 2010).

En relación con el crecimiento de la planta, este es “más activo cuando hay buen suministro de energía solar, agua y nutrimentos, encontrándose que un aumento de la radiación (plena exposición solar) induce la formación de plantas más bajas, en las cuales ha ocurrido mayor diferenciación y que son más productivas, mientras que la sombra estimula la formación de plantas más altas con menor diferenciación y menos productivas” Castillo, 1957, 1966.

Según un estudio adelantado por el Banco de la República, “La pérdida de importancia económica de la caficultura en Colombia, tanto en el contexto nacional como en el internacional, se explica, principalmente, por la caída dramática de su productividad; el consiguiente empobrecimiento  de los caficultores, así como por el envejecimiento de estos y de los cafetos; la lentitud de los procesos de adopción de nuevas tecnologías y variedades resistentes a las plagas, en especial la roya; y la baja fertilización, entre otros factores” Cano Sanz et al. 2012 ^₂

 

Los sistemas de producción del café, son por tanto uno de los pilares para el desarrollo de este importante sector en la economía colombiana, siendo las hojas del cafeto uno de los aspectos más relevantes respecto a la producción del café; por tanto, el éxito del cultivo dependerá del follaje puesto que estas son capaces de atrapar la radiación solar para desarrollar productividad biológica. Es importante que la cantidad del follaje sea estimulada con el fin de desarrollar la fotosíntesis según el artículo “El área foliar y la productividad del cafeto Valencia Aristizábal, German 1983 ^₃

A los dos meses después de la germinación, la planta forma el primer par de hojas verdaderas y luego, en la fase de almácigo, la planta adquiere de 6 a 8 pares de hojas verdaderas o nudos. El primer par de ramas se forma entre los 7 y los 8 meses aproximadamente, y a partir del momento de la siembra en el sitio definitivo, la planta comienza la formación de las ramas que van a ser responsables de la producción (Arcila et al., 2001).

 

En el tallo, un par de hojas o un nudo se origina en promedio cada 25 ó 30 días. En un año se forman aproximadamente de 12 a 14 pares de ramas primarias o cruces. 

Teniendo en cuenta las anteriores consideraciones y en razón a que la productividad de la planta guarda relación directa con la superficie foliar ya que es a través de las hojas que se garantiza captar mayores niveles de energía solar para ser convertida en energía química dentro del proceso de la fotosíntesis, es conveniente determinar el área foliar de la plantación y su comportamiento relacionado con el tiempo de crecimiento después de la siembra.

Analizadas las variables mencionadas y de acuerdo con los datos de investigación reportados por Valencia Aristizábal en el documento relacionado con taller sobre Roya del Cafeto, optamos por analizar el comportamiento que se presenta entre dos variables a saber: Edad del cafeto (en días) y número de hojas del cultivo en los dos primeros años después de la siembra. 

 

-  Variable independiente (X): Edad de la planta (en meses) y

 

-   Variable dependiente (Y): Número de hojas del árbol (Depende de la densidad de la población en el cultivo y de la edad de las plantas).

 

Los datos fueron incluidos en una hoja de cálculo electrónica, obteniendo 3 líneas rectas que representa el número de hojas del árbol por densidad de siembra en un período de tiempo determinado, según se muestra a continuación: 

De todas las curvas, la línea recta es en muchos aspectos la más simple. Una línea es un objeto geométrico, que cuando está situada en el plano coordenado, debe tener una ecuación, para lo cual se requiere de la noción de pendiente. (Purcell Edwin, 4 ed.) ⁴

 

La pendiente de la recta se define como la medida de la inclinación de una línea, según la cual una línea horizontal tiene pendiente cero y que una que lleva a la derecha tiene pendiente positiva y que una que cae a la derecha tiene pendiente negativa. Cuanto mayor sea la magnitud de a pendiente, más empinada estará la línea (Purcell Edwin, 4 ed.) ⁴

En general se define la pendiente m de una línea que pasa por los puntos A (X₁,Y₁) y B (X₂,Y₂), donde X₁ ≠ X_2,

                                                                                            

Y la ecuación de la pendiente, donde m= pendiente, es:

  y = mx + b

ᶧ Sistemas de producción de café en Colombia, Arcila et Al. Sistemas de producción de café en Colombia. Chinchiná, FNC - Cenicafé, 2007.

^₂ (Cano Sanz et al. 2012) Cano Sanz et al. Borradores de economía. El mercado mundial del café y su impacto en Colombia. Banco de la República. Num 710 (2012)

^₃ Valencia Aristizábal, German (1983). Taller sobre Roya del Cafeto. El Área del Foliar y la productividad del cafeto

⁴Joseph, Kindle (1987). Geometría analítica plana y del espacio.

⁵Pator (1938)/ geometría segunda parte
Purcell Edwin. Cálculo con Geometria Analítica, 4 ed.

⁶Purcell Edwin. Cálculo con Geometria Analítica, 4 ed. 

 

Pendiente recta cultivos densidad 2500 plantas/ha: m = 150

 
Pendiente recta cultivos densidad 5000 plantas/ha: m = 197

 
Pendiente recta cultivos densidad 10000 plantas/ha: m = 103

Al respecto podemos concluir lo siguiente:

 

Las pendientes de las 3 rectas al ser valores positivos indican que estas son crecientes, es decir, las gráficas de las rectas suben de la izquierda a la derecha.

 

La pendiente de la recta para cultivos con densidad 5000 plantas/ha es mayor que la de los otros cultivos (197), lo cual indica que de las tres es la que se encuentra más empinada, lo cual concuerda con el gráfico obtenido.

La pendiente de la recta para cultivos con densidad 10000 plantas/ha., es la de menor magnitud de las 3 pendientes (103), indicando que es la recta con menor grado de elevación, lo cual también se constata en la gráfica obtenida.

 
La pendiente de la recta para cultivos con densidad 250 plantas/ha., tiene un valor intermedio (150), indicando que es el grado de elevación de la recta es un intermedio entre los otros 2 cultivos, lo cual se evidencia en la gráfica obtenida

Rectas paralelas

Si dos rectas tienen la misma pendiente son paralelas (Purcell Edwin, 4 ed.) ⁴

Por lo anterior, se concluye que nuestras rectas no presentan paralelismo, al ser los valores de sus pendientes diferentes.

Rectas perpendiculares

Dos rectas no verticales son perpendiculares sí y sólo si sus pendientes son reciprocas y de signo contrario (Purcell Edwin, 4 ed.) ⁴

Las anteriores condiciones nos permiten concluir que no se cumple la condición requerida pues los valores de la pendiente no son recíprocas ni de signo contrario. Por lo anterior, se concluye que nuestra grafica no presenta condición de perpendicularidad.

 

y – y1 = m ( x - x1) 

 

Ecuación que despejada nos arroja lo siguiente:

 y = y1 + m (x-x1) 

Ahora aplicamos la fórmula, reemplazado por los valores conocidos: 

 

 

 

-  Puntos ordenados de la recta: (24,1400) (36,3200)

 

-  Pendiente: 150

 

-  Escogemos la pareja ordenada (x₁,y₁) = (24,1400)

 

y = y1 + m (x - x1)

y = 1400 + 150 (x - 24)

y = 1400 + 150x – 3600

y = 1400 -3600 + 150x

_{y = 150x – 2200}  

 

 

-  Puntos ordenados de la recta: (24,1760) (36,4120)

 

-  Pendiente: 197

 

-  Escogemos la pareja ordenada (x₁,y₁) = (24,1760)

 

y = y1 + m (x – x1)

y = 1760 + 197 (x – 24)

y = 1760 + 197x – 4728

y = 197x - 3328

y = 197x - 3328

Ecuación de la recta densidad 10000 plantas/ha:

 

-  Puntos ordenados de la recta: (24,1840) (36,3080)

 

-  Pendiente: 103

 

-  Escogemos la pareja ordenada (x₁,y₁) = (24,1840)

 
y = y1 + m (x – x1)

y = 1840 + 103 (x – 24)

y = 1840 + 103x – 2472

y = 103x - 632

 

Y= 103x - 632 

Ahora, que tenemos las ecuaciones de las rectas, podemos hallar los puntos de corte igualando sus ecuaciones. 

 

-   Ecuación de la recta de plantaciones con densidad 2500:

 

-  Ecuación de la recta de plantaciones con densidad 5000:

 

-  Ecuación de la recta de plantaciones con densidad 10000:

 

 Vamos a iniciar encontrando el primer punto de intersección, conformado por las rectas con densidades de 2500 y 10000 árboles/ha:

 

Ecuación de la recta de plantaciones con densidad 2500:

 

Ecuación de la recta de plantaciones con densidad 5000:

  

1.     Igualamos las ecuaciones:                150x – 2000 = 103x – 632

2.     Despejamos y efectuamos operaciones:  

     150x – 103x = - 632 + 2000

                                                                                47x = 1568

                                                                                 X = 1568 / 47

                                                                                  X = 33.36

 

3.     Reemplazamos el valor hallado para x en cualquiera de las dos ecuaciones, y así obteneos las coordenadas del punto de corte de estas dos rectas:

                                                                         Y = 150 x – 2200

                                                                          Y = 150 (33.36) – 2200

                                                                          Y = 2804

El punto de corte de estas 2 rectas, está conformado por la pareja ordenada (33.36,2804), lo cual concuerda con la gráfica.

 

 

Los puntos de corte de las rectas en el eje y, tienen como condición que valor de x=o.

 

Por tanto, si reemplazamos en nuestras ecuaciones lo valores de x por cero, hallaremos el punto exacto en el cual las rectan cortan nuestra recta en y.

 

Ecuación de la recta: 

 

Y = 150 x – 2200

Y = 150 (0) – 2200

Y = - 2200

 

La recta corta al eje y en -2200. Por tanto, la pareja ordenada del punto será (0,-2200)

 

 

Ecuación de la recta:

 

Y = 197 x – 3328

Y = 197 (0) – 3328

Y = -3328

 

La recta corta al eje y en -3328 Por tanto, la pareja ordenada del punto será (0,-3328)

Ecuación de la recta de:

 

 

Y = 103 x – 632

Y = 103 (0) – 632

Y = -632

 

La recta corta al eje y en -632. Por tanto, la pareja ordenada del punto será (0,-632)