AUDREYMATHS by Aude Rey

1- Propriété héréditaire

auderey15 — 2018-10-24 07:53:44 UTC

2 - Limites de la suite géométrique

auderey15 — 2018-10-24 07:56:17 UTC

a- Inégalité de Bernoulli

auderey15 — 2018-10-24 07:59:27 UTC

b- Limite de q^n

3 - Suite majorée, minorée, bornée

auderey15 — 2018-10-24 08:06:40 UTC

4 - Propriétés de convergence

auderey15 — 2018-10-24 08:09:38 UTC

A - THEOREME 1 DE CONVERGENCE DES SUITES MONOTONES

Toute suite croissante majorée est convergente.

• Toute suite décroissante minorée est convergente.

auderey15 — 2018-10-24 08:29:09 UTC

B - THEOREME 2

On dispose des propositions suivantes :
• (P₁), si la suite u est majorée par M et convergente vers le nombre L, alors L ≤ M.
• (P₂), si la suite u est minorée par m et convergente vers le nombre L, alors L ≥ m.

CHAPITRE 1 : Exercices

auderey15 — 2018-10-24 08:36:29 UTC

EXERCICE 1

auderey15 — 2018-10-24 09:01:50 UTC

CORRECTION 1

auderey15 — 2018-10-24 09:02:20 UTC

EXERCICE 2-b

auderey15 — 2018-10-24 09:03:25 UTC

CORRECTION 2-b

auderey15 — 2018-10-24 09:04:17 UTC

EXERCICE 2 a-(démonstration)

auderey15 — 2018-10-24 09:07:09 UTC

EXERCICE 3

auderey15 — 2018-10-24 09:08:26 UTC

CORRECTION 3

auderey15 — 2018-10-24 09:08:58 UTC

EXERCICE 4 - a

auderey15 — 2018-10-24 09:09:50 UTC

CORRECTION 4 - a

auderey15 — 2018-10-24 09:10:26 UTC

CHAPITRE 1 : Suites et récurrence

auderey15 — 2018-10-24 09:29:59 UTC

EXERCICE 4- b ( démonstration )

auderey15 — 2018-10-24 09:42:56 UTC

Fenetres

auderey15 — 2018-10-24 10:06:33 UTC

CHAPITRE 2 : Limites de suites

auderey15 — 2018-10-24 15:31:27 UTC

1 - Limite finie ou infinie

auderey15 — 2018-10-24 15:39:57 UTC

a- Suite convergente

auderey15 — 2018-10-24 15:46:59 UTC

b - Suite divergente

2 - Limites et comparaison

auderey15 — 2018-10-24 15:56:20 UTC

a- Suite divergente

Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle ] b ; +∞ [ .
• Si pour tout x ∈ ] b ; +∞ [ g ( x ) ≤ f ( x ) et si lim x → +∞
g ( x ) = +∞
, alors lim x → +∞
f ( x ) = +∞
• Si pour tout x ∈ ] b ; +∞ [ f ( x ) ≤ g ( x ) et si lim x → +∞
g ( x ) = –∞
, alors lim x → +∞
f ( x ) = –∞

DEMONSTRATION

auderey15 — 2018-10-24 15:59:59 UTC

Preuve : Soit M > 0. lim x → +∞ g ( x ) = +∞ ,
Il existe donc un réel m tel que, si x > m , alors g ( x ) > M . Or g ( x ) ≤ f ( x ) .

On en déduit que, si x > m , alors f ( x ) > M.
Ce résultat est vrai pour tout M . Donc lim x → +∞ f ( x ) = +∞ Le deuxième résultat se démontre de la même façon.

DEMONSTRATION q>1

auderey15 — 2018-10-24 16:03:34 UTC

GRACE à Bernoulli

auderey15 — 2018-10-24 16:09:37 UTC

b - Théorème des gendarmes

Soit f, g et h trois fonctions définies sur un intervalle ] b ; + ∞ [ et L ∈ IR .

Si pour tout x ∈ ] b ; + ∞ [, g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x ) et lim x → +∞
lim g ( x ) = L
lim h ( x ) = L ,

alors, lim x → +∞
f ( x ) = L

DEMONSTRATION

auderey15 — 2018-10-24 16:11:53 UTC

Preuve : Soit ε > 0. Il existe un réel M1 , tel que, si x ≥ M1 , L – ε < g ( x ) < L + ε
De même, il existe un réel M2 , tel que, si x ≥ M2, L – ε < h ( x ) < L + ε
Soit M le plus grand des réels M1 et M2 .
Ainsi pour tout x ≥ M, on a L – ε < g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x ) < L + ε et donc L – ε < f ( x ) < L + ε
Ce résultat est vrai pour tout ε > 0 . Donc lim x → +∞ f ( x ) = L

auderey15 — 2018-10-24 16:23:08 UTC

c - Suite convergente

U suite convergente vers un réel l.
Si u est croissante Un < l
Si u est décroissante Un > l

CHAPITRE 2 : Exercices

auderey15 — 2018-10-24 16:26:44 UTC

3 - Limites et opérations

auderey15 — 2018-10-24 16:33:10 UTC

EXERCICE 1

auderey15 — 2018-10-24 16:39:13 UTC

CORRECTION 1

auderey15 — 2018-10-24 16:40:10 UTC

EXERCICE 2

auderey15 — 2018-10-24 16:41:49 UTC

CORRECTION 2

auderey15 — 2018-10-24 16:42:20 UTC

EXERCICE 3

auderey15 — 2018-10-24 16:43:08 UTC

CORRECTION 3

auderey15 — 2018-10-24 16:43:45 UTC

EXERCICE 4

auderey15 — 2018-10-24 16:44:26 UTC

CORRECTION 4

auderey15 — 2018-10-24 16:44:55 UTC

EXERCICE 5 COMPLET

auderey15 — 2018-10-24 16:45:52 UTC

EXERCICE 6 COMPLET

auderey15 — 2018-10-24 16:46:41 UTC

CHAPITRE 3 : Limites de fonction

auderey15 — 2018-10-25 07:06:41 UTC

Propriété

auderey15 — 2018-10-25 07:15:34 UTC

Une suite convergente est bornée ( pas forcément l'inverse )
Une suite non-bornée diverge

1 - Limites à l'infini

auderey15 — 2018-10-25 07:23:05 UTC

a - Limites infinie en + OU - l'infini

auderey15 — 2018-10-25 07:24:55 UTC

b - Limites finie en + ou - l'infini

y = l , asymptote horizontale à la courbe C

auderey15 — 2018-10-25 07:29:29 UTC

2 - Limites infinie en un réel a

auderey15 — 2018-10-25 07:36:07 UTC

a - Définition

auderey15 — 2018-10-25 07:37:09 UTC

b - Limite à droite à gauche

x = a , asymptote verticale à la courbe C

auderey15 — 2018-10-25 07:38:04 UTC

3 - Limites et opérations

auderey15 — 2018-10-25 07:44:41 UTC

Même chose que pour les suites

Limite de la composée de deux fonctions

auderey15 — 2018-10-25 07:46:33 UTC

4 - Limites et comparaison

auderey15 — 2018-10-25 07:50:19 UTC

a - Théorème de comparaison

auderey15 — 2018-10-25 07:52:15 UTC

b - Théorème des gendarmes

CHAPITRE 3 : Exercices

auderey15 — 2018-10-25 07:54:07 UTC

EXERCICE 1-a

auderey15 — 2018-10-25 08:00:49 UTC

EXERCICE 1-b

auderey15 — 2018-10-25 08:02:30 UTC

EXERCICE 2

auderey15 — 2018-10-25 08:03:22 UTC

auderey15 — 2018-10-25 08:04:18 UTC

EXERCICE 3

auderey15 — 2018-10-25 08:05:07 UTC

EXERCICE

auderey15 — 2018-10-25 08:06:20 UTC

EXERCICE 4

auderey15 — 2018-10-25 08:07:04 UTC