Tengo 40 años

Trabajo independiente, me gusta vivir cada día con la mayor satisfacción posible.

Estoy en segundo semestre de administración de empresa.

Mis expectativas como estudiante en estos temas son desarrollar una comprensión profunda de las funciones, límites y derivadas, aplicar estos conceptos en situaciones prácticas y estar preparado para futuros desafíos en administración y campos relacionados. También espero que las clases sean interactivas y fomenten el pensamiento crítico.

La función es un cociente de polinomios de distinto grado. Como el grado del polinomio del numerador es mayor que el del denominador, el límite es infinito:

Para indicar que se está derivando una función 𝒇(𝒙) se utiliza cualquiera de las siguientes notaciones:

La derivada de una función 𝒇(𝒙) es otra función que se obtiene o se deriva de la función anterior.

Para indicar que se está derivando una función 𝒇(𝒙) se utiliza cualquiera de las siguientes notaciones:

CONCEPTO: La derivada es un concepto fundamental en cálculo matemático y se utiliza para describir cómo cambia una función en relación con la variable independiente. Especifica la tasa de cambio instantánea de una función en un punto dado. En otras palabras, la derivada de una función representa la pendiente de la tangente a la curva de la función en un punto particular.

La derivada de una función f(x) se denota comúnmente como f'(x) o df/dx y se define como el límite de la razón de cambio entre la función y la variable independiente cuando el intervalo entre los puntos tiende a cero. Matemáticamente, se expresa de la siguiente manera:

f'(x) = lim (h -> 0) [f(x + h) - f(x)] / h

Donde f'(x) es la derivada de la función f(x) en el punto x, h es una cantidad infinitesimal que se acerca a cero, y la expresión [f(x + h) - f(x)] / h representa la tasa de cambio en ese punto.

Las derivadas son esenciales en muchos campos de la matemática y la física, ya que permiten analizar cómo cambian las cantidades en función de otras variables, lo que es útil para la modelización, la optimización y la comprensión de fenómenos naturales.

En geometría, las derivadas se utilizan para analizar el comportamiento de curvas y superficies en términos de sus propiedades geométricas. Un concepto fundamental es la derivada direccional, que representa la tasa de cambio de una función escalar a lo largo de una dirección específica en una curva o superficie.

Un ejemplo común de esto es la derivada direccional de una curva en el espacio tridimensional. Supongamos que tenemos una curva paramétrica en el espacio 3D definida por:

r(t) = (x(t), y(t), z(t))

Donde r es el vector de posición y t es el parámetro de la curva. Para encontrar la derivada direccional de esta curva en un punto dado P0 (x0, y0, z0) a lo largo de una dirección dada d = (a, b, c), se utiliza la derivada direccional de la función escalar f(x, y, z) en ese punto, donde f representa la distancia al punto P0:

f(x, y, z) = √((x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2)

La derivada direccional de f en el punto P0 a lo largo de la dirección d se calcula utilizando el gradiente de f en P0:

∇f(P0) = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)

Luego, la derivada direccional en la dirección d se obtiene como el producto escalar del gradiente y la dirección:

Dd(f)(P0) = ∇f(P0) · d

Esta derivada direccional nos proporciona la tasa de cambio de la distancia al punto P0 a lo largo de la dirección d en el punto P0. Puede ser útil en la geometría para comprender cómo una curva se aleja o se acerca a un punto en una dirección específica.

Es importante destacar que en geometría, las derivadas suelen ser utilizadas para analizar propiedades específicas de curvas y superficies en términos de su comportamiento geométrico, como pendientes, curvaturas y tasas de cambio en términos de distancias y ángulos.

En física, las derivadas son fundamentales para describir cómo cambian las magnitudes físicas en función del tiempo, el espacio o cualquier otra variable relevante. Aquí te proporcionaré un ejemplo común en física que implica derivadas: la velocidad en el movimiento rectilíneo.

El concepto clave es la derivada de la posición con respecto al tiempo, que representa la velocidad. La velocidad se define como el cambio de la posición (desplazamiento) por unidad de tiempo. Matemáticamente, la velocidad (v) es la derivada de la posición (x) con respecto al tiempo (t):

v(t) = dx/dt

Donde:

- v(t) es la velocidad en un momento dado t.

- x(t) es la posición en ese mismo momento t.

- dx/dt es la derivada de x con respecto a t.

Ejemplo: Supongamos que un objeto se mueve en línea recta, y su posición x en función del tiempo t está dada por:

x(t) = 2t^2 + 3t + 1

Para encontrar la velocidad del objeto en cualquier momento t, tomamos la derivada de x(t) con respecto a t:

v(t) = dx/dt = d/dt (2t^2 + 3t + 1) = 4t + 3

La velocidad del objeto en cualquier momento t está dada por v(t) = 4t + 3.

Esta es la derivada de la posición en función del tiempo y nos dice cómo cambia la posición del objeto en relación con el tiempo. En este caso, la velocidad es una función lineal del tiempo, lo que significa que el objeto se mueve con una velocidad constante de 4 unidades por unidad de tiempo y una componente inicial de 3 unidades. Este es un ejemplo fundamental de cómo se utilizan las derivadas en física para describir el comportamiento de un objeto en movimiento.

En economía, las derivadas son utilizadas para analizar costos, ingresos y beneficios marginales. Estos conceptos son fundamentales en la toma de decisiones empresariales y en la teoría económica. Aquí te proporcionaré una breve explicación y un ejemplo.

1. Costo Marginal (CM): El costo marginal se refiere al cambio en el costo total cuando se produce una unidad adicional de un bien o servicio. Matemáticamente, el costo marginal se obtiene tomando la derivada del costo total (CT) con respecto a la cantidad producida (Q).

CM = d(CT)/dQ

2. Ingreso Marginal (IM): El ingreso marginal se refiere al cambio en los ingresos totales cuando se vende una unidad adicional de un bien o servicio. Matemáticamente, el ingreso marginal se obtiene tomando la derivada de los ingresos totales (IT) con respecto a la cantidad vendida (Q).

IM = d(IT)/dQ

Ejemplo: Supongamos que una empresa produce y vende camisetas. El costo total de producir Q camisetas se puede expresar como:

CT(Q) = 100Q + 2Q^2

El ingreso total por la venta de Q camisetas se puede expresar como:

IT(Q) = 20Q

Ahora, calculemos el costo marginal (CM) y el ingreso marginal (IM) cuando la empresa produce y vende 10 camisetas:

1. Costo Marginal (CM):

CM = d(CT)/dQ = d(100Q + 2Q^2)/dQ = 100 + 4Q

Cuando Q = 10, CM = 100 + 4(10) = 140.

Esto significa que el costo adicional de producir la undécima camiseta es de 140 unidades monetarias.

2. Ingreso Marginal (IM):

IM = d(IT)/dQ = d(20Q)/dQ = 20

El ingreso marginal por vender la undécima camiseta es constante y equivale a 20 unidades monetarias.

En este ejemplo, el costo marginal nos indica cuánto aumentarán los costos al producir una camiseta adicional, mientras que el ingreso marginal nos dice cuánto aumentarán los ingresos al vender una camiseta adicional. Estos conceptos son esenciales para la optimización de la producción y la toma de decisiones en función de la maximización de beneficios en una empresa.

Vamos a calcular este límite:

Lim(x -> 0) [(e^x - 1)/x]

Si intentamos evaluar directamente en x = 0, obtenemos 0/0, lo cual es una forma indeterminada. Sin embargo, podemos usar la regla de L'Hôpital, que permite tomar el límite de la derivada de la función en el numerador y el denominador.

Lim(x -> 0) [(d/dx e^x - d/dx 1) / (d/dx x)]

Esto se simplifica a:

Lim(x -> 0) [(e^x - 0) / 1]

Ahora, podemos evaluar el límite:

Lim(x -> 0) [e^0] = 1

Entonces, el límite de (e^x - 1)/x cuando x tiende a 0 es igual a

1. Los límites indeterminados a menudo requieren técnicas especiales, como la regla de L'Hôpital, para calcular su valor real.

Rendimiento Académico

ARTÍCULO 15. Para la evaluación del rendimiento académico se tendrá en cuenta el promedio crédito ponderado durante el respectivo periodo académico.

ARTÍCULO 16. Para conservar el derecho en un programa académico de la Institución, un estudiante matriculado requiere un promedio de crédito académico acumulado del último semestre o un promedio acumulado del programa, no inferior a tres punto cero (3.0).

ARTÍCULO 17. El promedio crédito ponderado y el promedio crédito ponderado acumulado se calcularán, en todo caso, después del cierre de todos los procesos académicos en los que esté involucrado el estudiante.

ARTÍCULO 18. Quienes pierdan la calidad de estudiante por bajo rendimiento académico podrán solicitar reingreso al mismo programa habiendo permanecido durante un semestre por fuera de la Institución, acogiéndose al plan de estudios vigente al momento de ser aceptado nuevamente en el programa.

Parágrafo 1: cuando se pierde el derecho al programa por bajo rendimiento, se podrá solicitar trasferencia interna a otro programa en el periodo o semestre inmediatamente siguiente.

Parágrafo 2: la decanatura de la Facultad, al momento de notificar la decisión de reingreso, informará a la Dirección de Bienestar Institucional el nombre del interesado y el programa académico para que se diseñe un plan de acompañamiento y asesoría.

ARTÍCULO 19. El estudiante que repruebe una asignatura por segunda vez -o más veces, la debe matricular en el periodo académico siguiente y no podrá matricular otras materias. En todo caso deberá pagar la mitad del valor de la matrícula correspondiente al semestre en el que estuviera matriculado si no hubiere reprobado ninguna materia.

Parágrafo: si el estudiante volviese a perder la asignatura será retirado de la Institución y podrá solicitar reingreso por una sola vez a otro programa académico.

Según el capitulo anterior podemos concluir que establece políticas académicas que enfatizan la importancia del rendimiento académico, exigiendo a los estudiantes mantener un nivel mínimo de promedio y ofreciendo oportunidades de reingreso y transferencia interna en caso de bajo rendimiento. También se abordan las consecuencias de la reprobación de asignaturas, incluyendo el retiro de la institución en casos graves.