Analysis Kursstufe by

Grundfunktionen

eb_pg — 2021-05-27 09:46:18 UTC

- Potenzfunktionen
- ganzrationale Funktionen
- gebrochen rationale Funktionen
- Exponentialfunktionen
- trigonometrische Funktionen

Grundlagen

eb_pg — 2021-05-27 09:49:45 UTC

- Ableitung f'
- höhere Ableitungen f'', f''', ...
- Ableitungsregeln (Potenz-, Summen-, Faktor-, Produkt- und lineare Kettenregel

Monotonie und Krümmung

eb_pg — 2021-05-27 09:56:21 UTC

- Monotonie: Bergauf bzw. bergab laufen
- Krümmung: Motorradfahrer in der Kurve

Berechnung nach Schema:
1. Ableitung f' = 0 bzw. f'' = 0
2. Stellen auf Zahlenstrahl
3. Testwerte links und rechts
4. Intervalle aufschreiben

Extrem- und Wendepunkte

eb_pg — 2021-05-27 10:00:31 UTC

Extrempunkte sind höchste/tiefste Punkte in einem Bereich. Es gibt lokale Extrema (höchste/tiefste Stellen in einem Intervall) und globale Extrema (höchste/tiefste Stelle überhaupt). Jedes globale Extremum ist auch ein lokales.
Wendestellen sind die Stellen, an denen sich das Krümmungsverhalten verändert (z.B. von Links- in Rechtskurve). An den Wendestellen ist die Steigung maximal/minimal in einem Bereich.

Berechnung nach Schema:
1. Ableitung f' = 0 bzw. f'' = 0 (notwendiges Kriterium)
2. VZW-Kriterium oder f''-Kriterium (hinreichende Krieterien)
3. Stellen in f einsetzen

Thema Integralrechnung

eb_pg — 2021-05-27 10:05:03 UTC

Thema Differenzialrechnung

eb_pg — 2021-05-27 10:13:15 UTC

Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

eb_pg — 2021-05-27 10:15:09 UTC

Berechnung von Integralen (Flächen unter einer Kurve) über die obere und untere Grenze, die in die Stammfunktion eingesetzt werden:
F(b)-F(a)

Stammfunktionen (don't call it Aufleitung)

eb_pg — 2021-05-27 10:17:52 UTC

Regeln zum Bilden von Stammfunktionen:
1. Potenzregel
2. Faktorregel
3. Summenregel
4. Lineare Substitution

Aus diesen vier Regeln folgen die Rechenregeln für Integrale (Linearität des Integrals - S. 87)

Graphisches Integrieren

eb_pg — 2021-05-27 11:25:15 UTC

Aus gegebenem Graphen der Ableitung f den Graphen der Stammfunktion F rekonstruieren.

Vorgehen:
1. Nullstellen der Ableitung --> Extremstellen der Stammfunktion
2. Verläuft der Graph von f unterhalb der x-Achse, ist F monoton fallend (oberhalb --> steigend)
3. Extremstellen von f sind Wendestellen von F

Fläche zwischen Graphen

eb_pg — 2021-05-27 11:27:49 UTC

Berechnung nach Schema:
1. Schnittstellen berechnen (gleichsetzen)
2. Differenzfunktion bilden
3. Innerhalb der Grenzen der Schnittstellen (mit Betragsstrichen vorne und hinten) integrieren

Thema Wirkung von Parametern auf Graphen

eb_pg — 2021-05-27 11:31:47 UTC

Grundlagen

eb_pg — 2021-05-27 11:33:53 UTC

Lösen von Gleichungen -
4 Verfahren:
1. Mitternachtsformel
2. Satz vom Nullprodukt
3. Ausklammern + Satz vom Nullpr.
4. Substitution

Verschieben und Strecken von Graphen von Potenzfunktionen

eb_pg — 2021-05-27 11:40:42 UTC

g(x) = a · f(x-c) + d
(z.B. g(x) = 5 · (x-3)² + 2)
- Streckung um den Faktor a
(im Bsp. 5)
- Verschiebung in x-Richtung um c
(im Bsp. + 3)
- Verschiebung in y-Richtung um d
(im Bsp. 2)

Anmerkung: Spiegelung an der x-Achse, wenn a<0.

Verschieben und Strecken von trigonometrischen Funktionen

eb_pg — 2021-05-27 11:42:42 UTC

Verschiebungen analog wie bei den Potenzfunktionen
Zusatz: Streckungen in y- und x-Richtung möglich

f(x) = a · sin(b(x-c)) + d

- Streckung in y-Richtung mit dem Faktor a ( |a| = Amplitude)
- Streckung in x-Richtung mit dem Faktor 1/b ( 2π/b = p = Periode)

Übersicht mit GeoGebra-Animationen

ACHTUNG: Um die Verschiebung in x-Richtung zu bestimmen, muss innerhalb des Sinus ausgeklammert werden.

Grundlagen 2

eb_pg — 2021-05-27 11:49:53 UTC

Verläufe der Graphen trigonometrischer Funktionen kennen:
f(x) = sin(x)
f(x) = cos(x)

Graphisches Ableiten

eb_pg — 2021-05-27 11:51:20 UTC

Aus einem gegebenen Graphen den Graphen der Ableitungsfunktion konstruieren.

Vorgehen:
1. Extremstellen von f werden zu Nullstellen (mit VZW) von f'
2. Wendestellen von f werden zu Extremstellen von f'
3. Monotonie von f beachten: f str. mon. fallend --> Graph von f' unterhalb der x-Achse (f↗↗ analog)

Graphen skizzieren

eb_pg — 2021-05-27 11:57:35 UTC

Graphen mithilfe ihrer Null-, Extrem- und Wendestellen sowie Symmetrieeigenschaften skizzieren.

Vorgehen:
1. Nullstellen inkl. Vielfachheit bestimmen
2. Verhalten der Funktion für x-->±∞ untersuchen
3. Symmetrieeigenschaften überprüfen
4. Extrem- und Wendepunkte bestimmen
5. Graphen skizzieren

Thema Natürliche Exponentialfunktion

eb_pg — 2021-05-27 12:07:59 UTC

Grundlagen

eb_pg — 2021-05-27 12:09:18 UTC

Die euler'sche Zahl e (≈2,718) ist über ihre zugehörige Exponentialfunktion definiert. Bei ihr stimmen Funktion und Ableitungsfunktion überein.

Lösen von Exponentialgleichungen - Der ln

eb_pg — 2021-05-27 12:13:39 UTC

Die Zahl ln(b) ist die Lösung der Gleichung e^x=b.

Rechnen mit e und ln:
Stehen e und ln in einem Term direkt nebeneinander, so "fallen beide weg".
Bsp.: e^ln(2) = 2 oder ln(e⁵) = 5

Graphen gemischter Funktionen untersuchen

eb_pg — 2021-05-27 12:19:49 UTC

Form: f(x) = xⁿ · e^xIm Bereich nahe des Ursprungs dominiert die Potenzfunktion xⁿ den Verlauf des Graphen.
Für x-->±∞ bestimmt die e-Funktion den Verlauf, die Potenzfunktion gibt das Vorzeichen vor.

Vorgehen:
Untersuchung getrennt:
Für x-->+∞ gilt: xⁿ --> ...
Für x-->+∞ gilt: e^x --> ...
Anschließend multiplizieren, dabei beachten: 0 · ∞ = 0

Strebt der Graph in eine Richtung gegen eine Zahl c (z.B. 0), so besitzt die Funktion eine waagrechte Asymptote bei c.

Wirkung von Parametern bei Exponentialfunktionen

eb_pg — 2021-05-27 12:29:50 UTC

Wirkungen von Parametern auf die Exponentialfunktion:

f(x) = a · e^bx-c + d

- Streckung um den Faktor a in y-Richtung
- Streckung um den Faktor b in x-Richtung
- Verschiebung um c in x-Richtung
- Verschiebung um d in y-Richtung

Siehe GeoGebra-Datei

Für Funktionen der Form

f(x) = (x-c)^a · e^bx siehe GeoGebra-Datei im Kopfbereich.

Exponentielles Wachtum

eb_pg — 2021-05-27 12:55:40 UTC

Exponentielles Wachstum lässt sich mithilfe der Funktionsgleichung
f(x) = f(0) · e^ktmodellieren.

Klassische Aufgabentypen sind:
- Halbwerts- und Verdopplungszeit (auch: Generationszeit) bestimmen
- Konstante k berechnen

2021-07-04 10:24:21 UTC