Во 2 книге «Начал» (около 300 г. до н. э.) средствами геометрической алгебры доказывается тождество для разложения квадрата суммы. 

1. Г.И. Глейзер. История математики в школе., М. «Просвещение», 1964 г., стр.139, 252. 

2. К.А. Рыбников. Возникновение и развитие математической науки. , М., «Просвещение», 1987 г., стр.21.

Омар Хайям знал о существовании треугольника около 1100 г., в свою очередь заимствовав его из более ранних китайских или индийских источников.

Работа посвящена методу извлечения корней любой степени из целых чисел; в основе этого метода Хайяма лежала формула, получившая впоследствии название бинома Ньютона. Хайям писал: "Индусские методы нахождения сторон квадратов и кубов основаны ... на знании квадратов девяти чисел 1,2, ... ,9 вместе с их произведениями, образованными при перемножении их друг с другом, двух и трех одновременно. Я написал работу, которая устанавливает корректность этих  методов, и ... расширил метод для случая 4, 5, 6, корней [столь высоких, как пожелаете], которого до сих пор не было. Доказательства я дал ... чисто арифметические, основанные на арифметике "Элементов" [Евклида] ".

Данный метод в литературе называют  «методом индийцев». Основываясь на известных фактах, ученые предполагают, что Хайям открыл формулу возведения двучлена a+b в степень n.

1. М.Гарднер. Математические новеллы., М., «Мир»,1974 г. стр.203  

2. Ал-Каши Г.Д. Ключ арифметики. Трактат об окружности / пер. Б.А.Розенфельда, коммент. А.П.Юшкевича, Б.А. Розенфельда. М.: Гостехиздат, 1956, стр.263.

приведена таблица, составленная Туси для коэффициентов бинома вплоть до n = 12 и алгоритм для ее составления в форме треугольника и привёл общее правило для их получения.

Он пользовался арифметическим треугольником при извлечении корней любой натуральной степени, а сама процедура была скорее техническим новшеством, чем открытием.

Источник:
 А.Бабаев. О математических работах Насиреддина Туси, стр.11-12.

В работе  «Arithmetica integra» (1544 г.) ввел термин биноминальный коэффициент. Опубликовал правило образования биноминальных коэффициентов,  составил их таблицы до 18-й степени.

Штифель знал рекуррентную формулу  и использовал её при заполнении таблицы.
Биномиальные коэффициенты понадобились ученому также для вычисления дробной части корня -й степени из натурального числа по формуле.

Источники: 

 

В книге «Ключ к арифметике» (1427 г.)  математик  изложил  правило возведение двучлена в любую натуральную степень (правило определения биноминальных коэффициентов даёт для бинома 5-ой степени) и треугольник.

1. Г.И.Глейзер. История математики в школе., М. «Просвещение», 1983 г., стр.215.

 

В 1303 году в свет вышла книга «Яшмовое зеркало четырех элементов». Это сочинение — пик развития китайского учения о рядах. В работе Чжу нашёл квадрат и корни куба, решив квадратные и кубические уравнения, и добавил к пониманию ряда и прогрессий, классифицировав их согласно коэффициентам треугольника Паскаля.

Он рассматривал ряды, для построения которых подсчитывались связки стрел, уложенных в различные секции типа кругов и квадратов, и шары, собранные в треугольники, пирамиды, конусы и т.д. 

В работе выполнено разложение степеней   до n = 8. Диаграмма, которая позже стала известной на Западе как «треугольник Паскаля» в работе называется «диаграммой старого метода обнаружения восьмых и более низких степеней». 
Изображение чисел в треугольнике из книги Чжу Ши_цзе позволяет предположить, что его основание первоначально стояло вертикально слева. Таким образом, коэффициенты биноминального уравнения каждой степени будут располагаться столбцами, подобно тому, как начиная с ханьских времен «записывались» уравнения на счетной доске. Если же предположить, что первоначально основание треугольника размещалось не вертикально, а под углом в 45°, то можно увидеть аналогию между треугольником Паскаля. Довольно вероятной гипотеза, что треугольник биноминальных коэффициентов был порожден в Китае в процессе формирования метода тянь юань.

 Источники:

таблицы биноминальных коэффициентов до 6-ой степени при решении уравнений математиком Цзя Сянь.

В сочинении «Подробный анализ методов счета в „Девяти разделах“» 1262 г. представлена самая ранняя существующая китайская репрезентация треугольника (с 6_й степенью).

Источник:
Специфика традиционной китайской, стр.57

1556- 1560 г. г. впервые  применил  для записи круглые скобки. Опубликовал таблицу «биномиальных коэффициентов», получаемых при возведении в 1, 2, 3, ... п степень двучлена (бинома) а + b, 

Коэффициенты разложения степени бинома расположил вдоль диагонали, соединяющей соответствующие номера строк и столбцов. Таблица была нужна Тарталье для нахождения количества существенно различных вы-паданий в случае 1, 2, … игральных костей и составлена для n=1,18. Таблица была названа  прямоугольником Тартальи. 

Источник: 

А. Е. Малых. Из истории развития биномиальной теоремы. Ярославский педагогический вестник № 3–2010, стр.27.  

 

для  для m = 1,17.

А. Е. Малых. Из истории развития биномиальной и полиномиальной теорем. Ярославский педагогический вестник № 3, 2010 г., стр. 27. 

Эригон (1580-1643 г.г.) - французский математик и астроном. 
В работе «Практическая  арифметика»  1634 г. рассматривает сочетания  из n элементов, взятых по m.
Источник: 
Г.И.Глейзер. История математики в школе., М. «Просвещение», 1983 г., стр.213 

Б.Тарасов. Паскаль. Жизнь замечательных людей. «Молодая гвардия», 1982 г., стр.99-100. Электронная библиотека ModernLib.Net 

рациональным или иррациональным, положительным или  

отрицательным числом. Свою формулу Ньютон считал одним из самых значительных результатов. От нее он в конце концов пришел к интегральному исчислению.
Ньютон пришёл к  открытию общего биномиального ряда.
Источники: 

1. Г.И. Глейзер. История математики в школе. Пособие для учителя под редакцией В.Н. Младшого, М. «Просвещение», 1983 г., стр.215-216

2.Энциклопедический словарь юного математика, М. «Педагогика», 1989 г., стр.219

3.И.Ньютон. Математические работы .(перевод Д.Д.Мордухай-Болтовского), М., «НКТЛ», 1937 г.,стр.218 

А. Е. Малых. Из истории развития биномиальной теоремы. Ярославский педагогический вестник № 3–2010, стр.27  

под названием  лестницы  на гору Меру - meru-prataara.
Источники: 

(1570 г.)  ввёл со ссылкой на Штифеля биномиальные коэффициенты. В этой работе содержится ряд задач, связанных с комбинаторикой.
Источник:

  

Третья степень разложения бинома представлена в работах.
Источник

1. А. Е. Малых. Из истории развития биномиальной и полиномиальной теорем, стр.84