Una función trigonométrica fundamental, válida para cualquier valor de x: cos2x+sen2x=1cos2x+sen2x=1

Cambiando el seno de miembro y despejando el coseno, se tiene: cos2x=1−sen2xcos2x=1−sen2x y cos(x)=1−sen2x−−−−−−−−√cos(x)=1−sen2x

Sumando uno a cada miembro y elevando al cuadrado: (1+cos(x))2=(1+1−sen2x−−−−−−−−√)2(1+cos(x))2=(1+1−sen2x)2

Particularizando la igualdad anterior para x= π y operando: (1+cos(π))2=(1+1−sen2π−−−−−−−−√)2(1+cos(π))2=(1+1−sen2π)2, (1+(−1))2=(1+1−0−−−−√)2(1+(−1))2=(1+1−0)2, (1−1)2=(1+1–√)2(1−1)2=(1+1)2 y (0)2=(2)2(0)2=(2)2

Y resulta que:0=4

Es posible que 2>3

Partimos de la siguiente desigualdad: (1/2)² > (1/2)³

Dado que la función logarítmica es creciente cuando la base es mayor que 1, tomando logaritmo neperiano en los dos miembros de la expresión anterior, se conserva el sentido de la desigualdad. Se tiene pues: log (1/2)² > log (1/2)³

Aplicando una de las propiedades de los logaritmos, los exponentes de los logaritmos pueden escribirse como coeficientes delante de los logaritmos, es decir: 2 * log (1/2) > 3 * log (1/2)

Entonces, como que el logaritmo que multiplica a los dos términos de la desigualdad es el mismo, si despejamos:  2 > 3

Demostración de que 2 + 2 = 5

Supongamos que: 16-36 = 25-45

Sumamos (81/4) en ambos lados y queda: 16-36+(81/4) = 25-45+(81/4)

Los factorizamos como trinomio cuadrado perfecto: (4-(9/2))2 = (5-(9/2))2, y sacamos raíz cuadrada a ambos términos. Entonces 4-(9/2) = 5-(9/2), y el -9/2 lo pasamos sumando al otro lado y queda: 4 = 5

Como 4=2+2 concluimos que: 2+2=5

Trazamos ahora desde  un segmento de la misma longitud que el lado , pero un poco desplazado. Obtenemos el punto , a partir del cual se cumple (por construcción) que . Construimos el segmento , tomamos su punto medio, digamos , y desde él se traza una perpendicular a .

Como  y  no son paralelas,  y la perpendicular a  trazada anteriormente desde  tampoco lo son. Por tanto deben cortarse en algún punto. Llamamos  a ese punto de corte entre ellas. Desde este punto  tracemos los segmento  y .

Los triángulos  y  son iguales, ya que ,  es un lado común y los ángulos en  son rectos. Por tanto se tiene que .

Lo mismo ocurre con los triángulos  y . Son iguales ya que , el lado  es común y los ángulos en  son rectos. En consecuencia , y el ángulo  es igual al ángulo .

Por otra parte, se tiene que  (son dos de los lados del cuadrado inicial) y además también son iguales a  (por construcción de este segmento). Esto significa que los triángulos  y  tienen iguales todos sus lados, por lo que los ángulos  y  son iguales.

Ya lo tenemos: como los ángulos  y  son iguales (visto antes), se los podemos restar a los dos ángulos que hemos visto que son iguales en el párrafo anterior, quedando por consiguiente dos ángulos iguales. Lo vemos:

Es decir, los ángulos  y  deben ser iguales…pero el primero es un ángulo recto y el segundo un ángulo obtuso.

Suponemos que a² = b² + c², entonces:  a² = 4a² - 3a²    y,  b² = 4b² - 3b²    y,  c² = 4c² - 3c². Entonces: 4a² - 3a² = (4b² - 3b²) + (4c² - 3c²), 4a² - 4b² - 4c²  =  3a² - 3b²- 3c², y 4(a² - b² - c²) = 3(a² - b² - c²). El resultado: 4=3
Demostración de que: 1 = 2
Suponemos que a = b. Entonces, si multiplicamos por b ambos lados de la ecuación:
ab = b²
Si cambiamos el signo a ambos miembros de la ecuación y sumamos a2:
a²-ab = a² - b²
Aplicando la conocida identidad notable en el lado de la derecha y sacando factor común el el lado de la izquierda:
a(a-b) = (a+b)(a-b)
Dividiendo por (a-b) a ambos lados:
a = (a+b), como a = b; sustituyendo b:
a = (a+a)
a = 2a
Y ahora solo queda dividir por "a" a ambos lados, con lo que la "a" desaparece: 1 = 2

Demostración de que: 1 = -1:
Partimos de la igualdad −1=−1−1=−1
La expresión anterior puede escribirse con denominadores:
−11=−11−11=−11
Por la regla de los signos, podemos colocar el signo en el denominador en una de las fracciones, conservando la igualdad:
1−1=−111−1=−11
Tomando raíz cuadrada en ambos miembros: 1−1−−−√=−11−−−√1−1=−11
La igualdad anterior también puede escribirse de la siguiente manera:
1–√−1−−−√=−1−−−√1–√1−1=−11

Ahora, teniendo en cuenta que la raíz cuadrada de -1 es la unidad imaginaria, tenemos: 1–√i=i1–√1i=i1
 Que es equivalente a: 1i=i11i=i1
Pasando los denominadores al otro miembro multiplicando, se tiene:
1∗1=i∗i1∗1=i∗i
Operando:
12=i212=i2 y 1=i21=i2
Se sabe que i2=1i2=1, entonces, sustituyendo, tenemos que: 1=-1

1.- La bisectriz no corta a : entonces ambas rectas son paralelas. Por tanto la bisectriz es perpendicular a . Esto nos lleva a que , esto es, el triángulo  es isósceles.

2.- La bisectriz corta a : llamemos  al punto de intersección entre ellas. Trazamos  y  y también  y , perpendiculares a  y a  respectivamente.

A partir de aquí se tiene que los triángulos  y  son iguales, al tener a  como lado común y los ángulos  y  iguales a los ángulos  y  respectivamente. Por tanto,  y . Por otra parte, los triángulos  y  son iguales, al ser ,  lado común y los lados del vértice  iguales. De aquí .

Además los triángulos  y  son rectángulos. Por ello, el cuadrado de  es igual a la suma de los cuadrados de  y  (teorema de Pitágoras) y el cuadrado de  es igual a la suma de los cuadrados de  y . Pero tenemos que  y . Por ello el cuadrado del lado  es igual al cuadrado de . Entonces . Como teníamos de antes que  se cumple que , lo que implica que el triángulo  es isósceles.

Tomamos un cuadrilátero , como el de la figura. Trazamos , perpendicular a  y , perpendicular a . Ahora trazamos el segmento .

Los triángulos  y  son congruentes (es decir, sus lados y sus ángulos son iguales, aunque no están colocados en la misma posición). Por ello  es igual a  y  es igual a . De aquí los triángulos  y  también son congruentes, por lo que  es igual a .
Como  es igual a  y  es igual a , el cuadrilátero  es un paralelogramo.